Distribución logístico-logística

En probabilidad y estadística , la distribución log-logística (conocida como distribución de Fisk en economía ) es una distribución de probabilidad continua para una variable aleatoria no negativa . Se utiliza en análisis de supervivencia como modelo paramétrico para eventos cuya tasa aumenta inicialmente y disminuye después, como, por ejemplo, la tasa de mortalidad por cáncer después del diagnóstico o tratamiento. También se ha utilizado en hidrología para modelar el caudal de los ríos y las precipitaciones , en economía como un modelo simple de la distribución de la riqueza o los ingresos , y en redes para modelar los tiempos de transmisión de datos considerando tanto la red como el software.

La distribución log-logística es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria cuyo logaritmo tiene una distribución logística . Tiene una forma similar a la distribución log-normal pero tiene colas más pesadas . A diferencia de la distribución log-normal, su función de distribución acumulativa se puede escribir en forma cerrada .

Existen varias parametrizaciones diferentes de la distribución en uso. La que se muestra aquí proporciona parámetros razonablemente interpretables y una forma simple para la función de distribución acumulativa . ^{[4] [5]} El parámetro es un parámetro de escala y también es la mediana de la distribución. El parámetro es un parámetro de forma . La distribución es unimodal cuando y su dispersión disminuye a medida que aumenta. ${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle \beta >1}$${\estilo de visualización \beta}$

La función de distribución acumulativa es

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&={1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}\\[5pt]&={(x/\alpha )^{\beta } \over 1+(x/\alpha )^{\beta }}\\[5pt]&={x^{\beta } \over \alpha ^{\beta }+x^{\beta }}\end{aligned}}}$

dónde , ,${\displaystyle x>0}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >0.}$

La función de densidad de probabilidad es

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}}$

Una parametrización alternativa la da el par en analogía con la distribución logística: ${\displaystyle \mu ,s}$

${\displaystyle \mu =\ln(\alpha )}$

${\displaystyle s=1/\beta }$

El momento bruto sólo existe cuando está dado por ^{[6] [7]}${\displaystyle k}$${\displaystyle k<\beta ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta ,1+k/\beta )\\[5pt]&=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta )}\end{aligned}}}$

donde B es la función beta . De esto se pueden derivar expresiones para la media , la varianza , la asimetría y la curtosis . Escrito para mayor comodidad, la media es ${\displaystyle b=\pi /\beta }$

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta >1,}$

y la varianza es

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta >2.}$

Las expresiones explícitas para la asimetría y la curtosis son largas. ^[8] Como tiende a infinito, la media tiende a , la varianza y la asimetría tienden a cero y el exceso de curtosis tiende a 6/5 (ver también las distribuciones relacionadas a continuación). ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

La función cuantil (función de distribución acumulativa inversa) es:

${\displaystyle F^{-1}(p;\alpha ,\beta )=\alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }.}$

De ello se deduce que la mediana es , el cuartil inferior es y el cuartil superior es . ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 3^{-1/\beta }\alpha }$${\displaystyle 3^{1/\beta }\alpha }$

La distribución log-logística proporciona un modelo paramétrico para el análisis de supervivencia . A diferencia de la distribución Weibull más comúnmente utilizada , puede tener una función de riesgo no monótona : cuando la función de riesgo es unimodal (cuando  ≤ 1, el riesgo disminuye monótonamente). El hecho de que la función de distribución acumulativa se pueda escribir en forma cerrada es particularmente útil para el análisis de datos de supervivencia con censura . ^[9] La distribución log-logística se puede utilizar como base de un modelo de tiempo de falla acelerado al permitir la diferencia entre grupos, o más generalmente al introducir covariables que afectan pero no al modelar como una función lineal de las covariables. ^[10]${\displaystyle \beta >1,}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \log(\alpha )}$

La función de supervivencia es

${\displaystyle S(t)=1-F(t)=[1+(t/\alpha )^{\beta }]^{-1},\,}$

y entonces la función de riesgo es

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{S(t)}}={\frac {(\beta /\alpha )(t/\alpha )^{\beta -1}}{1+(t/\alpha )^{\beta }}}.}$

La distribución log-logística con parámetro de forma es la distribución marginal de los tiempos intermedios en un proceso de conteo distribuido geométricamente . ^[11]${\displaystyle \beta =1}$

La distribución log-logística se ha utilizado en hidrología para modelar los caudales de los arroyos y las precipitaciones. ^{[4] [5]}

Los valores extremos, como la precipitación máxima diaria y el caudal fluvial mensual o anual, suelen seguir una distribución log-normal . ^[12] Sin embargo, la distribución log-normal necesita una aproximación numérica. Como la distribución log-logística, que se puede resolver analíticamente, es similar a la distribución log-normal, se puede utilizar en su lugar.

La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución log-logística a las precipitaciones máximas de un día clasificadas en octubre y muestra el cinturón de confianza del 90 % basado en la distribución binomial . Los datos de precipitaciones están representados por la posición de trazado r /( n +1) como parte del análisis de frecuencia acumulada .

La log-logística se ha utilizado como un modelo simple de la distribución de la riqueza o el ingreso en economía , donde se conoce como distribución de Fisk. ^[13] Su coeficiente de Gini es . ^[14]${\displaystyle 1/\beta }$

La log-logística se ha utilizado como modelo para el período de tiempo que comienza cuando algunos datos salen de una aplicación de software de usuario en un ordenador y la respuesta es recibida por la misma aplicación después de viajar a través de otros ordenadores, aplicaciones y segmentos de red y ser procesada por ellos, la mayoría o todos ellos sin garantías de tiempo real estrictas (por ejemplo, cuando una aplicación muestra datos que provienen de un sensor remoto conectado a Internet). Se ha demostrado que es un modelo probabilístico más preciso para eso que la distribución log-normal u otras, siempre que se detecten adecuadamente los cambios abruptos de régimen en las secuencias de esos tiempos. ^[15]

• Si entonces${\displaystyle X\sim \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle kX\sim \operatorname {LL} (k\alpha ,\beta ).}$
• Si entonces${\displaystyle X\sim \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle X^{k}\sim \operatorname {LL} (\alpha ^{k},\beta /|k|).}$
• ${\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\sim {\textrm {Dagum}}(1,\alpha ,\beta )}$( Distribución de Dagum ).
• ${\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\sim {\textrm {SinghMaddala}}(1,\alpha ,\beta )}$( Distribución Singh-Maddala ).
• ${\displaystyle {\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )\sim \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )}$( Distribución beta prima ).
• Si X tiene una distribución log-logística con parámetro de escala y parámetro de forma , entonces Y  = log( X ) tiene una distribución logística con parámetro de ubicación y parámetro de escala${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \log(\alpha )}$${\displaystyle 1/\beta .}$
• A medida que aumenta el parámetro de forma de la distribución log-logística, su forma se asemeja cada vez más a la de una distribución logística (muy estrecha) . De manera informal:${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\to L(\alpha ,\alpha /\beta )\quad {\text{as}}\quad \beta \to \infty .}$

• La distribución log-logística con parámetro de forma y parámetro de escala es la misma que la distribución generalizada de Pareto con parámetro de ubicación , parámetro de forma y parámetro de escala.${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \xi =1}$${\displaystyle \alpha :}$

${\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,1)=\operatorname {GPD} (1,\alpha ,1).}$

• La adición de otro parámetro (un parámetro de desplazamiento) da como resultado formalmente una distribución log-logística desplazada , pero esto suele considerarse en una parametrización diferente para que la distribución pueda limitarse por arriba o por abajo.

Varias distribuciones diferentes a veces se denominan distribución log-logística generalizada , ya que contienen la log-logística como un caso especial. ^[14] Estas incluyen la distribución Burr Tipo XII (también conocida como distribución Singh–Maddala ) y la distribución Dagum , las cuales incluyen un segundo parámetro de forma. Ambas son a su vez casos especiales de la distribución beta generalizada aún más general del segundo tipo . Otra generalización más directa de la log-logística es la distribución log-logística desplazada .

Otra distribución log-logística generalizada es la transformada logarítmica de la distribución metalog , en la que las expansiones de series de potencias en términos de se sustituyen por parámetros de distribución logística y . La distribución log-metalog resultante es altamente flexible en cuanto a su forma, tiene una PDF de forma cerrada simple y una función cuantil , se puede ajustar a los datos con mínimos cuadrados lineales y subsume la distribución log-logística en un caso especial. ${\displaystyle p}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$

• Distribuciones de probabilidad: Lista de distribuciones importantes admitidas en intervalos semi-infinitos