Cambio de base

Una combinación lineal de una base de vectores (púrpura) produce nuevos vectores (rojo). Si estos son linealmente independientes , forman una nueva base. Las combinaciones lineales que relacionan la base inicial con la otra se extienden a una transformación lineal , denominada cambio de base.

Un vector representado por dos bases diferentes (flechas moradas y rojas).

En matemáticas , una base ordenada de un espacio vectorial de dimensión finita n permite representar de forma única cualquier elemento del espacio vectorial mediante un vector de coordenadas , que es una secuencia finita de n escalares llamados coordenadas . Si se consideran dos bases diferentes, el vector de coordenadas que representa un vector v en una base es, en general, diferente del vector de coordenadas que representa v en la otra base. Un cambio de base consiste en convertir toda afirmación expresada en términos de coordenadas relativas a una base en una afirmación expresada en términos de coordenadas relativas a la otra base. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Dicha conversión resulta de la fórmula de cambio de base , que expresa las coordenadas relativas a una base en términos de las coordenadas relativas a la otra base. Usando matrices , esta fórmula se puede escribir

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }=A~\mathbf {x} _{\mathrm {new} },}$

dónde${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }}$y${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {new} }}$son los vectores columna de las coordenadas del mismo vector en las bases "antigua" (definida inicialmente) y "nueva" (otras).${\displaystyle A}$es la matriz de cambio de base (también llamada matriz de transición ), que es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la "nueva" base en la "antigua" base.

Un cambio de base a veces se denomina cambio de coordenadas , aunque excluye muchas transformaciones de coordenadas . Para aplicaciones en física y, especialmente, en mecánica , un cambio de base suele implicar la transformación de una base ortonormal , entendida como una rotación en el espacio físico , excluyendo así las traslaciones .

Este artículo trata principalmente sobre espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, muchos de los principios presentados también son válidos para espacios vectoriales de dimensión infinita.

Dejar${\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$sea ​​una base de un espacio vectorial ^de dimensión finita V sobre un cuerpo F. ^{[ b} ]

Para j = 1, ..., n , se puede definir un vector w _j mediante sus coordenadas.${\displaystyle a_{i,j}}$encima${\displaystyle B_{\mathrm {old} }\colon }$

${\displaystyle w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}.}$

Dejar

${\displaystyle A=\left(a_{i,j}\right)_{i,j}}$

Sea la matriz cuya j -ésima columna está formada por las coordenadas de w _j . (Aquí y en lo que sigue, el índice i se refiere siempre a las filas de A y la${\displaystyle v_{i},}$mientras que el índice j se refiere siempre a las columnas de A y la${\displaystyle w_{j};}$Dicha convención resulta útil para evitar errores en los cálculos explícitos.

Configuración${\displaystyle B_{\mathrm {new} }=(w_{1},\ldots ,w_{n}),}$uno tiene eso${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$es una base de V si y solo si la matriz A es invertible , o equivalentemente, si tiene un determinante distinto de cero . En este caso, se dice que A es la matriz de cambio de base de la base.${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$a la base${\displaystyle B_{\mathrm {new} }.}$

Dado un vector${\displaystyle u\in V,}$dejar${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$sean las coordenadas de${\displaystyle u}$encima${\displaystyle B_{\mathrm {old} },}$y${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$sus coordenadas sobre${\displaystyle B_{\mathrm {new} };}$eso es

${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}.}$

(Se podría usar el mismo índice de sumatoria para ambas sumas, pero elegir sistemáticamente los índices i para la base antigua y j para la nueva aclara las fórmulas que siguen y ayuda a evitar errores en las demostraciones y los cálculos explícitos).

La fórmula de cambio de base expresa las coordenadas sobre la base antigua en términos de las coordenadas sobre la nueva base. Con la notación anterior, es

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad {\text{para }}i=1,\ldots ,n.}$

En términos de matrices, la fórmula de cambio de base es

${\displaystyle \mathbf {x} =A~\mathbf {y} ,}$

dónde${\displaystyle \mathbf {x} }$y${\displaystyle \mathbf {y} }$son los vectores columna de las coordenadas de${\displaystyle u}$encima${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$y${\displaystyle B_{\mathrm {new} },}$respectivamente. (Esta terminología inversa es confusa, pero se ha adoptado internacionalmente).

Demostración: Utilizando la definición anterior de la matriz de cambio de base, se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)v_{i}.\end{aligned}}}$

Como${\displaystyle u=\textstyle \sum _ {i=1}^{n}x_ {i}v_ {i},}$La fórmula de cambio de base resulta de la unicidad de la descomposición de un vector sobre una base.

Consideremos el espacio vectorial euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$y su base estándar , que consta de los vectores${\displaystyle v_{1}}$y${\displaystyle v_{2}}$con vectores columna

${\displaystyle \mathbf {v_{1}} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad }$y${\displaystyle \quad \mathbf {v_{2}} ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$

Girándolos en un ángulo de${\displaystyle t}$proporciona una base "nueva", formada por los vectores${\displaystyle w_{1}}$y${\displaystyle w_{2}}$con vectores columna

${\displaystyle \mathbf {w_{1}} ={\begin{bmatrix}\cos t\\\sin t\end{bmatrix}}\quad }$y${\displaystyle \quad \mathbf {w_{2}} ={\begin{bmatrix}-\sin t\\\cos t\end{bmatrix}}.}$

Entonces, la matriz de cambio de base es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}.}$

La fórmula de cambio de base afirma que, para un vector con coordenadas "antiguas"${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$y coordenadas "nuevas"${\displaystyle (y_{1},y_{2}),}$uno tiene

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.}$

Eso es,

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=y_{1}\cos t-y_{2}\sin t\\x_{2}=y_{1}\sin t+y_{2}\cos t.\end{cases}}}$

Esto se puede demostrar escribiendo

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}w_{1}+y_{2}w_{2}&=y_{1}{\Big (}(\cos t)~v_{1}+(\sin t)~v_{2}{\Big )}+y_{2}{\Big (}\!-(\sin t)~v_{1}+(\cos t)~v_{2}{\Big )}\\&={\big (}y_{1}\cos t-y_{2}\sin t{\big )}v_{1}+{\big (}y_{1}\sin t+y_{2}\cos t{\big )}v_{2}\\&=x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}.\end{aligned}}}$

Generalmente, una matriz representa una transformación lineal , y el producto de una matriz y un vector columna representa la aplicación de la función de la transformación lineal correspondiente al vector cuyas coordenadas forman dicho vector columna. La fórmula de cambio de base es un caso específico de este principio general, aunque esto no resulta evidente a simple vista a partir de su definición y demostración.

Cuando se dice que una matriz representa una aplicación lineal, se hace referencia implícitamente a bases de espacios vectoriales implícitos y al hecho de que la elección de una base induce un isomorfismo lineal entre un espacio vectorial y${\displaystyle F^{n}}$donde F es el cuerpo base de escalares. Cuando se considera una sola base para cada espacio vectorial, es conveniente dejar este isomorfismo implícito y desarrollarlo progresivamente . Dado que aquí se consideran varias bases del mismo espacio vectorial, se requiere una formulación más precisa.

Sea F un cuerpo , el conjunto${\displaystyle F^{n}}$de las n -tuplas es un espacio vectorial F cuya suma y multiplicación escalar se definen componente a componente. Su base estándar es la base que tiene como su i -ésimo elemento la tupla con todos los componentes iguales a 0 excepto el i -ésimo, que es igual a 1 .

Una base${\displaystyle B=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$de un espacio vectorial F V define un isomorfismo lineal${\displaystyle \varphi \colon F^{n}\to V}$por

${\displaystyle \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}.}$

Por el contrario, tal isomorfismo lineal define una base, que es la imagen por${\displaystyle \varphi }$de la base estándar de${\displaystyle F^{n}.}$

Dejar${\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ser la base "antigua" de un cambio de base, y${\displaystyle \varphi _{\mathrm {old} }}$el isomorfismo asociado. Dada una matriz de cambio de base ( invertible ) A , se podría considerar como la matriz de un automorfismo (un endomorfismo biyectivo ).${\displaystyle \psi _{A}}$de${\displaystyle F^{n}.}$Finalmente, defina

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {new} }=\varphi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}}$

(dónde${\displaystyle \circ }$denota composición de funciones ), y

${\displaystyle B_{\mathrm {new} }=\varphi _{\mathrm {new} }\left(\varphi _{\mathrm {old} }^{-1}(B_{\mathrm {old} })\right).}$

Una verificación sencilla muestra que esta definición de${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$es lo mismo que en la sección anterior.

Ahora, componiendo la ecuación${\displaystyle \varphi _{\mathrm {new} }=\varphi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}}$con${\displaystyle \varphi _{\mathrm {old} }^{-1}}$a la izquierda y${\displaystyle \varphi _{\mathrm {new} }^{-1}}$a la derecha, uno se encuentra

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {old} }^{-1}=\psi _{A}\circ \varphi _{\mathrm {new} }^{-1}.}$

De ello se deduce que, para${\displaystyle v\in V,}$uno tiene

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {old} }^{-1}(v)=\psi _{A}\left(\varphi _{\mathrm {new} }^{-1}(v)\right),}$

que es la fórmula de cambio de base expresada en términos de transformaciones lineales en lugar de coordenadas.

Una función que tiene un espacio vectorial como dominio se especifica comúnmente como una función multivariada cuyas variables son las coordenadas en alguna base del vector sobre el cual se aplica la función .

Al cambiar la base, cambia la expresión de la función. Este cambio se puede calcular sustituyendo las coordenadas "antiguas" por sus expresiones en términos de las coordenadas "nuevas". Más precisamente, si f(x) es la expresión de la función en términos de las coordenadas "antiguas", y si x = Ay es la fórmula de cambio de base, entonces f(Ay) es la expresión de la misma función en términos de las coordenadas "nuevas".

El hecho de que la fórmula de cambio de base exprese las coordenadas "antiguas" en términos de las "nuevas" puede parecer poco natural, pero resulta útil, ya que no se necesita invertir ninguna matriz .

Como la fórmula de cambio de base involucra solo funciones lineales , muchas propiedades de la función se conservan mediante un cambio de base. Esto permite definir estas propiedades como propiedades de funciones de un vector variable que no están relacionadas con ninguna base específica. Por lo tanto, una función cuyo dominio es un espacio vectorial o un subconjunto del mismo es

• una función lineal,
• una función polinómica ,
• una función continua ,
• una función diferenciable ,
• una función suave ,
• una función analítica ,

si la función multivariada que la representa en alguna base —y por lo tanto en todas las bases— tiene la misma propiedad .

Esto resulta especialmente útil en la teoría de variedades , ya que permite extender los conceptos de funciones continuas, diferenciables, suaves y analíticas a funciones definidas en una variedad.

Consideremos una aplicación lineal L : V → W de un espacio vectorial V de dimensión n a un espacio vectorial W de dimensión m . Está representada en las bases "antiguas" de V y W por una matriz M de m × n . Un cambio de base se define por una matriz de cambio de base P de n × n para V y una matriz de cambio de base Q de m × m para W.

Sobre las "nuevas" bases, la representación matricial de L es

${\displaystyle M'=Q^{-1}MP.}$

Esta es una consecuencia directa de la fórmula de cambio de base.

Una forma bilineal en un espacio vectorial V sobre un campo F es una función${\displaystyle \varPhi \colon V\!\times V\to F}$lo cual es lineal en ambos argumentos. Es decir,${\displaystyle \varPhi }$es bilineal si los mapas${\displaystyle v\mapsto \varPhi (v,w)}$y${\displaystyle v\mapsto \varPhi (w,v)}$son lineales para cada fijo${\displaystyle w\in V.}$

La matriz${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$de forma bilineal${\displaystyle \varPhi }$sobre una base${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$(la base "antigua") es la matriz cuya entrada de la i -ésima fila y j -ésima columna es${\displaystyle \varPhi (v_{i},v_{j})}$De ello se deduce que para dos vectores v y w con vectores columna de coordenadas v y w , se tiene

${\displaystyle \varPhi (v,w)=\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Phi } \mathbf {w} ,}$

dónde${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}$denota la transpuesta del vector columna v .

Para un cambio de base con matriz P , un cálculo sencillo muestra que la matriz de la forma bilineal en la "nueva" base es

${\displaystyle \mathbf {\Phi '} =P^{\mathsf {T}}\mathbf {\Phi } P.}$

Una forma bilineal simétrica es una forma bilineal S tal que${\displaystyle S(v,w)=S(w,v)}$para cada v y w en V. Se deduce que la matriz de S en cualquier base es simétrica . Esto implica que la propiedad de ser una matriz simétrica debe mantenerse mediante la fórmula de cambio de base anterior. También se puede comprobar esto observando que la transpuesta de un producto matricial es el producto de las transpuestas calculadas en orden inverso. Por lo tanto,

${\displaystyle (P^{\mathsf {T}}\mathbf {S} P)^{\mathsf {T}}=P^{\mathsf {T}}\mathbf {S} ^{\mathsf {T}}P;}$

Finalmente, dado que la matriz S es simétrica,

${\displaystyle (P^{\mathsf {T}}\mathbf {S} P)^{\mathsf {T}}=P^{\mathsf {T}}\mathbf {S} P.}$

Si la característica del campo base F no es dos, entonces para cada forma bilineal simétrica, existe una base para la cual la matriz es diagonal . Además, las entradas no nulas resultantes en la diagonal están definidas salvo la multiplicación por un cuadrado. Por lo tanto, si el campo base es el campo${\displaystyle \mathbb {R} }$De los números reales , estas entradas no nulas pueden elegirse como 1 o –1 . La ley de inercia de Sylvester es un teorema que afirma que los números 1 y –1 dependen únicamente de la forma bilineal, y no del cambio de base.

Las formas bilineales simétricas sobre los números reales se encuentran a menudo en geometría y física , típicamente en el estudio de las cuádricas y de la inercia de un cuerpo rígido . En estos casos, las bases ortonormales son especialmente útiles; esto significa que generalmente se prefiere restringir los cambios de base a aquellos que tienen una matriz de cambio de base ortogonal , es decir, una matriz tal que${\displaystyle P^{\mathsf {T}}=P^{-1}.}$Dichas matrices poseen la propiedad fundamental de que la fórmula de cambio de base es la misma para una forma bilineal simétrica y el endomorfismo representado por la misma matriz simétrica. El teorema espectral afirma que, dada una matriz simétrica de este tipo, existe un cambio de base ortogonal tal que la matriz resultante (tanto de la forma bilineal como del endomorfismo) es una matriz diagonal con los autovalores de la matriz inicial en la diagonal. De ello se deduce que, sobre los números reales, si la matriz de un endomorfismo es simétrica, entonces es diagonalizable .

• Transformación activa y pasiva
• Covarianza y contravarianza de vectores
• Transformada integral , el análogo continuo del cambio de base.
• Pesos de Chirgwin-Coulson : aplicación en química computacional 

• Anton, Howard (1987), Álgebra lineal elemental (5.ª  ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields , Boston: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
• Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2.ª  ed.), Nueva York: Wiley , LCCN 76091646 

• Clase de álgebra lineal del MIT sobre cambio de base , de MIT OpenCourseWare.
• Conferencia de la Academia Khan sobre el cambio de base , de la Academia Khan