Cambio de fibra

En topología algebraica , dada una fibración p : E → B , el cambio de fibra es un mapeo entre las fibras inducidas por caminos en B .

Dado que un recubrimiento es una fibración, la construcción generaliza los hechos correspondientes en la teoría de espacios recubridores .

Si β es un camino en B que comienza, digamos, en b , entonces tenemos la homotopía${\displaystyle h:p^{-1}(b)\times I\to I{\overset {\beta }{\to }}B}$donde el primer mapa es una proyección. Dado que p es una fibración, por la propiedad de elevación de homotopía , h se eleva a una homotopía.${\displaystyle g:p^{-1}(b)\times I\to E}$con${\displaystyle g_{0}:p^{-1}(b)\hookrightarrow E}$. Tenemos:

${\displaystyle g_{1}:p^{-1}(b)\to p^{-1}(\beta (1))}$.

(Podría haber una ambigüedad y por lo tanto${\displaystyle \beta \mapsto g_ {1}}$No es necesario que esté bien definido.)

Dejar${\displaystyle \operatorname {Pc} (B)}$denotemos el conjunto de clases de caminos en B. Afirmamos que la construcción determina el mapa:

${\displaystyle \tau$ :\operatorname {Pc} (B)\to } el conjunto de clases de homotopía de mapas.

Supongamos que β y β' pertenecen a la misma clase de caminos; por lo tanto, existe una homotopía h de β a β'. Sea

${\displaystyle K=I\times \{0,1\}\cup \{0\}\times I\subset I^{2}}$.

Al dibujar una imagen, hay un homeomorfismo.${\displaystyle I^{2}\to I^{2}}$que se restringe a un homeomorfismo${\displaystyle K\to I\times \{0\}}$. Dejar${\displaystyle f:p^{-1}(b)\times K\to E}$ser tal que${\displaystyle f(x,s,0)=g(x,s)}$,${\displaystyle f(x,s,1)=g'(x,s)}$y${\displaystyle f(x,0,t)=x}$.

Entonces, por la propiedad de levantamiento de homotopía, podemos levantar la homotopía.${\displaystyle p^{-1}(b)\times I^{2}\to I^{2}{\overset {h}{\to }}B}$a w tal que w se restringe a${\displaystyle f}$. En particular, tenemos${\displaystyle g_{1}\sim g_{1}'}$, estableciendo la reclamación.

De la construcción se desprende claramente que el mapa es un homomorfismo: si${\displaystyle \gamma (1)=\beta (0)}$,

${\displaystyle \tau ([c_{b}])=\operatorname {id} ,\,\tau ([\beta ]\cdot [\gamma ])=\tau ([\beta ])\circ \tau ([\gamma ])}$

dónde${\displaystyle c_{b}}$es la trayectoria constante en b . De ello se deduce que${\displaystyle \tau ([\beta ])}$tiene inversa. Por lo tanto, podemos decir:

${\displaystyle \tau$ :\operatorname {Pc} (B)\to } el conjunto de clases de homotopía de equivalencias de homotopía.

Además, tenemos: para cada b en B ,

${\displaystyle \tau$ :\pi _{1}(B,b)\to } { [ƒ] | equivalencia homotópica${\displaystyle f:p^{-1}(b)\to p^{-1}(b)}$}

que es un homomorfismo de grupo (el lado derecho es claramente un grupo). En otras palabras, el grupo fundamental de B en b actúa sobre la fibra sobre b , salvo homotopía. Este hecho es un sustituto útil para la ausencia del grupo de estructura .

Una consecuencia de la construcción es la siguiente:

• Las fibras de p sobre un componente de trayectoria son homotópicamente equivalentes entre sí.

• James F. Davis, Paul Kirk, Apuntes de clase sobre topología algebraica
• May, J. Un curso conciso de topología algebraica.