Función indicadora (análisis convexo)

En el campo de las matemáticas conocido como análisis convexo , la función indicadora de un conjunto es una función convexa que indica la pertenencia (o no pertenencia) de un elemento dado a ese conjunto. Es similar a la función indicadora utilizada en probabilidad, pero asigna${\displaystyle +\infty }$en lugar de${\displaystyle 0}$a los elementos externos.

Cada campo parece tener su propio significado de "función indicadora", como ocurre, por ejemplo, en el análisis complejo .

Dejar${\displaystyle X}$Sea un conjunto y dejemos que${\displaystyle A}$ser un subconjunto de${\displaystyle X}$. La función indicadora de${\displaystyle A}$es la función ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \iota _{A}:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$

tomando valores en la recta numérica real extendida definida por

${\displaystyle \iota _{A}(x):={\begin{cases}0,&x\in A;\\+\infty ,&x\not \in A.\end{cases}}}$

Esta función es convexa si y solo si el conjunto${\displaystyle A}$es convexa. ^{[ 5 ]}

Esta función es semicontinua inferiormente si y solo si el conjunto${\displaystyle A}$está cerrado. ^{[ 4 ]}

Para cualquier conjunto arbitrario${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, es que${\displaystyle \iota _{A}+\iota _{B}=\iota _{A\cap B}}$.

Para un conjunto no vacío arbitrario, su transformada de Legendre es la función de soporte . ^{[ 6 ]}

El subgradiente de${\displaystyle \iota _{A}(x)}$para un conjunto${\displaystyle A}$y${\displaystyle x\in A}$es el cono normal de ese conjunto en${\displaystyle x}$. ^{[ 7 ]}

Su convolución ínfima con la norma euclidiana${\displaystyle ||\cdot ||_{2}}$es la distancia euclidiana a ese conjunto. ^{[ 8 ]}

• Rockafellar, RT (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01586-6.
• Hiriart-Urruty, JB; Lemaréchal, C. (1993). Análisis convexo y algoritmos de minimización I y II . Springer-Verlag.
• Boyd, SP; Vandenberghe, L. (2004). Optimización convexa . Cambridge University Press.
• Bauschke, HH; Combettes, PL (2011). Análisis convexo y teoría de operadores monótonos en espacios de Hilbert . Springer.