Caracterización de distribuciones de probabilidad

En matemáticas en general, un teorema de caracterización dice que un objeto particular –una función, un espacio, etc.– es el único que posee las propiedades especificadas en el teorema. Una caracterización de una distribución de probabilidad , en consecuencia, establece que es la única distribución de probabilidad que satisface las condiciones especificadas. Más precisamente, el modelo de caracterización de la distribución de probabilidad fue descrito por VM Zolotarev  ^{[ru] [1]} de esta manera. En el espacio de probabilidad definimos el espacio de variables aleatorias con valores en el espacio métrico medible y el espacio de variables aleatorias con valores en el espacio métrico medible . Por caracterizaciones de distribuciones de probabilidad entendemos problemas generales de descripción de algún conjunto en el espacio mediante la extracción de los conjuntos y que describen las propiedades de las variables aleatorias y sus imágenes , obtenidas por medio de una aplicación especialmente elegida . La descripción de las propiedades de las variables aleatorias y de sus imágenes equivale a la indicación del conjunto del que debe tomarse y del conjunto en el que debe caer su imagen. Así, el conjunto que nos interesa aparece, por tanto, en la siguiente forma: ${\displaystyle {\mathcal {X}}=\{X\}}$${\displaystyle (U,d_{u})}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}=\{Y\}}$${\displaystyle (V,d_{v})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle X\en {\mathcal {A}}}$${\displaystyle Y=\mathbf {F} X\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \mathbf {F} :{\mathcal {X}}\a {\mathcal {Y}}}$
${\estilo de visualización X}$${\displaystyle Y=\mathbf {F} X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {X}}}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle X\in {\mathcal {A}},\mathbf {F} X\in {\mathcal {B}}\Leftrightarrow X\in {\mathcal {C}}, es decir, {\mathcal {C}} =\mathbf {F} ^{-1}{\mathcal {B}},}$

donde denota la imagen inversa completa de en . Este es el modelo general de caracterización de la distribución de probabilidad. Algunos ejemplos de teoremas de caracterización: ${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}{\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• La suposición de que dos estadísticas lineales (o no lineales) están distribuidas de manera idéntica (o son independientes, o tienen una regresión constante, etc.) se puede utilizar para caracterizar varias poblaciones. ^[2] Por ejemplo, según el teorema de caracterización de George Pólya ^[3] , si y son variables aleatorias independientes distribuidas de manera idéntica con varianza finita , entonces las estadísticas y están distribuidas de manera idéntica si y solo si y tienen una distribución normal con media cero. En este caso$Estilo de visualización X_{1}$$Estilo de visualización X_{2}$ $Estilo de visualización S_{1}=X_{1}}$${\displaystyle S_{2}={\cfrac {X_{1}+X_{2}}{\sqrt {2}}}}$$Estilo de visualización X_{1}$$Estilo de visualización X_{2}$

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&0\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es un conjunto de vectores columna bidimensionales aleatorios con componentes independientes distribuidos de forma idéntica, es un conjunto de vectores columna bidimensionales aleatorios con componentes distribuidos de forma idéntica y es un conjunto de vectores columna bidimensionales con componentes normales independientes distribuidos de forma idéntica.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• Según el teorema de caracterización generalizado de George Pólya (sin condición de finitud de varianza ^[2] ) si son variables aleatorias independientes no degeneradas idénticamente distribuidas, las estadísticas y están idénticamente distribuidas y , entonces es variable aleatoria normal para cualquier . En este caso${\displaystyle X_{1},X_{2},\puntos ,X_{n}}$$Estilo de visualización X_{1}$${\displaystyle a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+\puntos +a_{n}X_{n}}$${\displaystyle \left|a_{j}\right\vert <1,a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dots +a_{n}^{2}=1}$$Estilo de visualización X_ {j}}$${\displaystyle j,j=1,2,\puntos ,n}$

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&0&\puntos &0\\a_{1}&a_{2}&\puntos &a_{n}\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es un conjunto de vectores columna aleatorios de n dimensiones con componentes independientes distribuidos de forma idéntica, es un conjunto de vectores columna aleatorios bidimensionales con componentes distribuidos de forma idéntica y es un conjunto de vectores columna n dimensiones con componentes normales independientes distribuidos de forma idéntica. ^[4]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• Todas las distribuciones de probabilidad en la semirrecta que no tienen memoria son distribuciones exponenciales . "Sin memoria" significa que si es una variable aleatoria con dicha distribución, entonces para cualquier número ,${\displaystyle \left[0,\infty \right)}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle 0<y<x}$

${\displaystyle \Pr(X>x\mid X>y)=\Pr(X>xy)}$.

La verificación de las condiciones de los teoremas de caracterización en la práctica es posible sólo con algún error , es decir, sólo con un cierto grado de precisión. ^[5] Tal situación se observa, por ejemplo, en los casos en que se considera una muestra de tamaño finito. Por eso surge la siguiente pregunta natural. Supongamos que las condiciones del teorema de caracterización se cumplen no exactamente sino sólo aproximadamente. ¿Podemos afirmar que la conclusión del teorema también se cumple aproximadamente? Los teoremas en los que se consideran los problemas de este tipo se denominan caracterizaciones de estabilidad de distribuciones de probabilidad. ${\displaystyle \épsilon}$

• Caracterización (matemáticas)