Caracterización (matemáticas)

En matemáticas , una caracterización de un objeto es un conjunto de condiciones que, si bien pueden ser diferentes de la definición del objeto, son lógicamente equivalentes a ella. ^{[ 1 ]} Decir que "la propiedad P caracteriza al objeto X " significa que X no solo posee la propiedad P , sino que X es el único objeto que la posee (es decir, P es una propiedad definitoria de X ). De manera similar, se dice que un conjunto de propiedades P caracteriza a X cuando estas propiedades distinguen a X de todos los demás objetos. Aunque una caracterización identifica un objeto de forma única, pueden existir varias caracterizaciones para un mismo objeto. Las expresiones matemáticas comunes para una caracterización de X en términos de P incluyen " P es necesario y suficiente para X " y " X se cumple si y solo si P ".

También es común encontrar enunciados como "La propiedad Q caracteriza a Y salvo isomorfismo ". El primer tipo de enunciado expresa de otra manera que la extensión de P es un conjunto unitario , mientras que el segundo indica que la extensión de Q es una única clase de equivalencia (para el isomorfismo, en el ejemplo dado ; dependiendo de cómo se utilice " salvo isomorfismo", podría estar involucrada alguna otra relación de equivalencia ).

Una referencia sobre terminología matemática señala que la característica proviene del término griego kharax , "una estaca puntiaguda":

Del griego kharax proviene kharakhter , un instrumento utilizado para marcar o grabar un objeto. Una vez marcado, el objeto adquiría un rasgo distintivo, por lo que el carácter de algo pasó a significar su naturaleza distintiva. El sufijo griego tardío -istikos transformó el sustantivo carácter en el adjetivo característico , que, además de conservar su significado adjetival, posteriormente también se convirtió en sustantivo. ^{[ 2 ]}

Así como en química la propiedad característica de un material sirve para identificar una muestra, o en el estudio de materiales, las estructuras y propiedades determinan su caracterización , en matemáticas existe un esfuerzo continuo por expresar propiedades que distingan una característica deseada en una teoría o sistema. La caracterización no es exclusiva de las matemáticas, pero dado que esta ciencia es abstracta, gran parte de la actividad puede describirse como "caracterización". Por ejemplo, en Mathematical Reviews , a partir de 2018, más de 24 000 artículos contienen la palabra en el título, y 93 600 en algún lugar de la reseña.

En un contexto arbitrario de objetos y características, las caracterizaciones se han expresado mediante la relación heterogénea aRb , lo que significa que el objeto a posee la característica b . Por ejemplo, b puede significar abstracto o concreto . Los objetos pueden considerarse extensiones del mundo, mientras que las características son expresiones de las intensiones . Un programa continuo de caracterización de diversos objetos conduce a su categorización .

Las caracterizaciones son particularmente importantes en matemáticas superiores, donde ocupan un gran volumen de teoría en los cursos típicos de pregrado. Se las conoce comúnmente como "condiciones necesarias y suficientes" o "enunciados condicionales". Las caracterizaciones ayudan a presentar objetos complejos de una forma más accesible para su estudio, y muchos tipos de objetos en matemáticas tienen múltiples caracterizaciones. A veces, una caracterización en particular se generaliza más fácilmente a contextos abstractos que las demás, y suele elegirse como definición del concepto generalizado.

En análisis real , por ejemplo, la propiedad de completitud de los números reales tiene varias caracterizaciones útiles: ^{[ 3 ]}

• La propiedad del límite superior mínimo
• La propiedad del límite inferior máximo
• La propiedad de intervalo anidado
• El teorema de Bolzano-Weierstrass
• La convergencia de las secuencias de Cauchy

Un curso universitario típico de análisis real comenzaría con la primera de estas propiedades, la propiedad de la cota superior mínima , como definición axiomática de los números reales (a veces llamada el "axioma de completitud" en los textos), y gradualmente la demostraría hasta llegar a la última, la convergencia de las sucesiones de Cauchy. Las demostraciones son bastante complejas. Entre estas cinco caracterizaciones, la perspectiva de las sucesiones de Cauchy resulta ser la más fácil de generalizar y se elige como la definición de la completitud de un espacio métrico abstracto . Sin embargo, la propiedad de la cota superior mínima suele ser la más útil para demostrar hechos sobre los números reales mismos, como el teorema del valor intermedio . Por lo tanto, las caracterizaciones más útiles y generalizables a veces son diferentes.

Otro ejemplo de este fenómeno se encuentra en la física . La mecánica hamiltoniana es una caracterización de la mecánica clásica, equivalente a las leyes de Newton. Sin embargo, es mucho más fácil generalizarla a la mecánica cuántica y la mecánica estadística , lo cual constituye su principal virtud. No obstante, para el estudio de la mecánica clásica se suele preferir otra caracterización: la mecánica lagrangiana . ^{[ 4 ]}

Dado que un resultado de caracterización es equivalente a la definición o axioma(s) inicial(es) del objeto, puede utilizarse como definición equivalente, a partir de la cual se puede demostrar la definición original como un teorema. Esto plantea la cuestión de cuál es la definición «mejor» en una situación dada, entre muchas opciones posibles. No existe una respuesta absoluta, pero la elección de la definición por parte de los autores de libros o artículos suele depender de consideraciones estéticas o pedagógicas, así como de la convención, la historia y la tradición. Para los números reales, la propiedad de cota superior mínima puede haberse elegido por ser más fácil de aprender que las sucesiones de Cauchy.

Uno de los resultados más importantes en el análisis complejo es un resultado de caracterización, a saber, el hecho de que todas las funciones localmente diferenciables en el sentido complejo son analíticas (iguales a sus series de Taylor). ^{[ 5 ]}

Las caracterizaciones son muy comunes en el álgebra abstracta , donde a menudo adoptan la forma de "teoremas de estructura", que expresan la estructura de un objeto de forma sencilla. Estos resultados suelen ser muy difíciles de demostrar. En la teoría de matrices, la forma canónica de Jordan es una caracterización, o teorema de estructura, para matrices complejas ^{[ 6 ]} , y el teorema espectral lo es igualmente para matrices simétricas (si son reales) o matrices hermíticas (si son complejas). Según el teorema espectral, las matrices simétricas reales son precisamente aquellas que tienen una base de autovectores perpendiculares ^{[ 7 ]} (llamados ejes principales en física). En la teoría de grupos , existe un teorema de estructura para grupos abelianos finitos , que establece que todo grupo de este tipo es un producto directo de grupos cíclicos ^{[ 8 ]} .

Como enunciados condicionales, las caracterizaciones son, en cierto sentido, el tipo de teorema matemático más «fuerte», lo cual concuerda con la dificultad de sus demostraciones. Consideremos un teorema matemático genérico: A implica B. Si B no implica A, se puede decir que el teorema es «débil», ya que el enunciado B demostrado es «más débil» que el ingrediente A, al no ser lo suficientemente fuerte como para demostrar A por sí solo. En una caracterización, sin embargo, B también debe implicar A; el enunciado demostrado es tan fuerte como el ingrediente y no puede ser más fuerte. En cierto modo, tal resultado «utiliza» toda la estructura de A para demostrar B.

• Un número racional , generalmente definido como una razón de dos enteros, puede caracterizarse como un número con expansión decimal finita o periódica . ^{[ 1 ]}
• Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Una de sus características es que sus diagonales se bisecan mutuamente. Esto significa que las diagonales de todos los paralelogramos se bisecan entre sí y, a la inversa, que cualquier cuadrilátero cuyas diagonales se bisequen debe ser un paralelogramo.
• "Entre las distribuciones de probabilidad en el intervalo de 0 a ∞ en la recta real, la ausencia de memoria caracteriza a las distribuciones exponenciales ." Esto significa que las distribuciones exponenciales son las únicas distribuciones de probabilidad que carecen de memoria, siempre que la distribución sea continua según la definición anterior (véase Caracterización de las distribuciones de probabilidad para más información).
• Según el teorema de Bohr-Mollerup , entre todas las funciones f tales que f (1) = 1 y xf ( x ) = f ( x + 1) para x > 0, la función gamma se caracteriza por la log-convexidad . Esto significa que, entre todas esas funciones, la función gamma es la única que es log-convexa . ^{[ 9 ]}
• El círculo se caracteriza como una variedad por ser unidimensional, compacto y conexo ; aquí la caracterización, como una variedad diferenciable, depende del difeomorfismo .

• Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos : múltiples formas equivalentes de definir un espacio topológico. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Caracterizaciones de la función exponencial – Concepto matemático 
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• Característica (notación exponencial) – Función matemática Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección 
• Teorema de clasificación : describe los objetos de un tipo dado, salvo cierta equivalencia. 
• Característica de Euler : un invariante topológico en matemáticas. 
• Carácter (matemáticas) – Función matemática