La desigualdad de Chebyshev

Dejar${\displaystyle X}$(integrable) sea una variable aleatoria con varianza finita distinta de cero${\displaystyle \sigma ^{2}}$(y por lo tanto, valor esperado finito${\displaystyle \mu }$). ^{[ 9 ]} Entonces, para cualquier número real${\displaystyle k>0}$,

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

Solo el caso${\displaystyle k>1}$es útil. Cuando${\displaystyle k\leq 1}$el lado derecho${\displaystyle 1/k^{2}\geq 1}$y la desigualdad es trivial ya que todas las probabilidades son como máximo 1.

Como ejemplo, usando${\displaystyle k={\sqrt {2}}}$muestra que los valores de probabilidad se encuentran fuera del intervalo${\displaystyle (\mu -{\sqrt {2}}\sigma ,\mu +{\sqrt {2}}\sigma )}$no excede${\displaystyle 1/2}$. Equivalentemente, implica que la probabilidad de que los valores se encuentren dentro del intervalo (es decir, su "cobertura" ) es al menos${\displaystyle 1/2}$.

En el caso general, para cualquier${\displaystyle a>0}$,

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq a)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}.}$

Debido a que puede aplicarse a distribuciones completamente arbitrarias siempre que tengan una media y una varianza finitas conocidas, la desigualdad generalmente proporciona una cota inferior en comparación con lo que podría deducirse si se conocieran más aspectos de la distribución en cuestión.

Dejar${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}$sea ​​un espacio de medida , y deje que${\displaystyle f}$sea ​​una función medible extendida de valor real definida en${\displaystyle X}$Entonces, para cualquier número real${\displaystyle t>0}$y${\displaystyle 0<p<\infty }$,

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{p}}\int _{X}|f|^{p}\,d\mu .}$

En términos más generales, si${\displaystyle g}$es una función medible extendida de valor real, no negativa y no decreciente, con${\displaystyle g(t)\neq 0}$entonces:

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .}$

Esta afirmación se deriva de la desigualdad de Markov ,${\displaystyle \mu (\{x\in X:|F(x)|\geq \varepsilon \})\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{X}|F|d\mu }$, con${\displaystyle F=g\circ f}$y${\displaystyle \varepsilon =g(t)}$, ya que en este caso${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,g\circ f(x)\geq g(t)\})\geq \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})}$La afirmación anterior continúa definiendo${\displaystyle g(x)}$como${\displaystyle |x|^{p}}$si${\displaystyle x\geq t}$y${\displaystyle 0}$de lo contrario.

Selberg derivó una generalización a intervalos arbitrarios. ^{[ 11 ]} Supongamos${\displaystyle X}$es una variable aleatoria con media${\displaystyle \mu }$y varianza${\displaystyle \sigma ^{2}}$La desigualdad de Selberg establece ^{[ 12 ]} que si${\displaystyle \beta \geq \alpha \geq 0}$,

${\displaystyle \Pr(X\in [\mu -\alpha ,\mu +\beta ])\geq {\begin{cases}{\frac {\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+\sigma ^{2}}}&{\text{if }}\alpha (\beta -\alpha )\geq 2\sigma ^{2}\\{\frac {4\alpha \beta -4\sigma ^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}&{\text{if }}2\alpha \beta \geq 2\sigma ^{2}\geq \alpha (\beta -\alpha )\\0&\sigma ^{2}\geq \alpha \beta \end{cases}}}$

Cuando${\displaystyle \alpha =\beta }$, esto se reduce a la desigualdad de Chebyshev. Se sabe que estos son los mejores límites posibles. ^{[ 13 ]}

La desigualdad de Chebyshev se extiende naturalmente al entorno multivariado, donde se tiene${\displaystyle n}$variables aleatorias${\displaystyle X_{i}}$con significa${\displaystyle \mu _{i}}$y varianza${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$Entonces se cumple la siguiente desigualdad.

${\displaystyle \Pr \left(\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu _{i})^{2}\geq k^{2}\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)\leq {\frac {1}{k^{2}}}}$

Esto se conoce como la desigualdad de Birnbaum-Raymond-Zuckerman, en honor a los autores que la demostraron para dos dimensiones. ^{[ 14 ]} Este resultado puede reescribirse en términos de vectores.${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\ldots )}$con significa${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\mu _{2},\ldots )}$desviación estándar${\displaystyle \sigma =(\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots )}$, en la norma euclidiana${\displaystyle ||\cdot ||}$. ^{[ 15 ]}

${\displaystyle \Pr(\|X-\mu \|\geq k\|\sigma \|)\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

También se puede obtener una desigualdad de Chebyshev similar de dimensión infinita . Chen también ha derivado una segunda desigualdad relacionada. ^{[ 16 ]} Sea${\displaystyle n}$sea ​​la dimensión del vector estocástico${\displaystyle X}$y dejar${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ser la media de${\displaystyle X}$. Dejar${\displaystyle S}$sea ​​la matriz de covarianza y${\displaystyle k>0}$. Entonces

${\displaystyle \Pr \left((X-\operatorname {E} (X))^{T}S^{-1}(X-\operatorname {E} (X))<k\right)\geq 1-{\frac {n}{k}}}$

dónde${\displaystyle Y^{T}}$es la transpuesta de${\displaystyle Y}$La desigualdad se puede escribir en términos de la distancia de Mahalanobis como

${\displaystyle \Pr \left(d_{S}^{2}(X,\operatorname {E} (X))<k\right)\geq 1-{\frac {n}{k}}}$

donde la distancia de Mahalanobis se basa en${\displaystyle S}$se define por

${\displaystyle d_{S}(x,y)={\sqrt {(x-y)^{T}S^{-1}(x-y)}}}$

Navarro ^{[ 17 ]} demostró que estos límites son precisos, es decir, son los mejores límites posibles para esas regiones cuando solo conocemos la media y la matriz de covarianza de${\displaystyle X}$.

Stellato et al. ^{[ 18 ]} demostraron que esta versión multivariada de la desigualdad de Chebyshev se puede derivar fácilmente de forma analítica como un caso especial de Vandenberghe et al. ^{[ 19 ]} donde la cota se calcula resolviendo un programa semidefinido (SDP).

Mitzenmacher y Upfal ^{[ 26 ]} señalan que al aplicar la desigualdad de Markov a la variable no negativa${\displaystyle |X-\operatorname {E} (X)|^{n}}$, se puede obtener una familia de límites de cola

${\displaystyle \Pr \left(|X-\operatorname {E} (X)|\geq k\operatorname {E} (|X-\operatorname {E} (X)|^{n})^{\frac {1}{n}}\right)\leq {\frac {1}{k^{n}}},\qquad k>0,\ n\geq 2.}$

Para${\displaystyle n=2}$obtenemos la desigualdad de Chebyshev. Para${\displaystyle k\geq 1,\ n>4}$y suponiendo que el${\displaystyle n}$^{Si existe el} momento n, esta cota es más ajustada que la desigualdad de Chebyshev. Esta estrategia, denominada método de los momentos , se utiliza a menudo para demostrar cotas de cola.

Una desigualdad relacionada, a veces conocida como la desigualdad exponencial de Chebyshev ^{[ 27 ]} , es la desigualdad

${\displaystyle \Pr(X\geq \varepsilon )\leq e^{-t\varepsilon }\operatorname {E} \left(e^{tX}\right),\qquad t>0.}$

Dejar${\displaystyle K(t)}$sea ​​la función generadora de cumulantes ,

${\displaystyle K(t)=\log \left(\operatorname {E} \left(e^{tx}\right)\right).}$

Tomando la transformación Legendre-Fenchel de${\displaystyle K(t)}$y utilizando la desigualdad exponencial de Chebyshev tenemos

${\displaystyle -\log(\Pr(X\geq \varepsilon ))\geq \sup _{t}(t\varepsilon -K(t)).}$

Esta desigualdad puede utilizarse para obtener desigualdades exponenciales para variables no acotadas. ^{[ 28 ]}

Si${\displaystyle \Pr(x)}$tiene soporte finito basado en el intervalo${\displaystyle [a,b]}$, dejar${\displaystyle M=\max(|a|,|b|)}$, dónde${\displaystyle |x|}$es el valor absoluto de${\displaystyle x}$. Si la media de${\displaystyle \Pr(x)}$es cero entonces para todo${\displaystyle k>0}$^{[ 29 ]}

${\displaystyle {\frac {\operatorname {E} (|X|^{r})-k^{r}}{M^{r}}}\leq \Pr(|X|\geq k)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|^{r})}{k^{r}}}.}$

La segunda de estas desigualdades con${\displaystyle r=2}$es la cota de Chebyshev. La primera proporciona una cota inferior para el valor de${\displaystyle \Pr(x)}$.

Saw et al extendieron la desigualdad de Chebyshev a casos donde la media y la varianza poblacionales no se conocen y pueden no existir, pero la media muestral y la desviación estándar muestral de${\displaystyle N}$Las muestras se emplearán para acotar el valor esperado de una nueva extracción de la misma distribución. ^{[ 30 ]} Kabán proporciona la siguiente versión más simple de esta desigualdad. ^{[ 31 ]}

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq ks)\leq {\frac {1}{N+1}}\left\lfloor {\frac {N+1}{N}}\left({\frac {N-1}{k^{2}}}+1\right)\right\rfloor }$

dónde${\displaystyle X}$es una variable aleatoria que hemos muestreado${\displaystyle N}$veces,${\displaystyle m}$es la media de la muestra,${\displaystyle k}$es una constante y${\displaystyle s}$es la desviación estándar de la muestra.

Esta desigualdad se mantiene incluso cuando no existen los momentos poblacionales y cuando la muestra está distribuida de forma débilmente intercambiable ; este criterio se cumple para el muestreo aleatorio. Una tabla de valores para la desigualdad de Saw-Yang-Mo para tamaños de muestra finitos (${\displaystyle N<100}$) ha sido determinado por Konijn. ^{[ 32 ]} La tabla permite el cálculo de varios intervalos de confianza para la media, basados ​​en múltiplos, C, del error estándar de la media calculado a partir de la muestra. Por ejemplo, Konijn muestra que para${\displaystyle N=59}$, el intervalo de confianza del 95 por ciento para la media${\displaystyle m}$es${\displaystyle (m-Cs,m+Cs)}$, dónde${\displaystyle C=4.447\cdot 1.006=4.47}$(Este valor es 2,28 veces mayor que el valor hallado bajo el supuesto de normalidad, lo que demuestra la pérdida de precisión resultante de desconocer la naturaleza precisa de la distribución).

En cambio, se puede derivar una desigualdad equivalente en términos de la media de la muestra, ^{[ 31 ].}

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq km)\leq {\frac {N-1}{N}}{\frac {1}{k^{2}}}{\frac {s^{2}}{m^{2}}}+{\frac {1}{N}}.}$

Una tabla de valores para la desigualdad de Saw-Yang-Mo para tamaños de muestra finitos (${\displaystyle N<100}$) ha sido determinado por Konijn. ^{[ 32 ]}

Para fijo${\displaystyle N}$y grande${\displaystyle m}$La desigualdad de Saw-Yang-Mo es aproximadamente ^{[ 33 ].}

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq ks)\leq {\frac {1}{N+1}}.}$

Beasley et al. han sugerido una modificación de esta desigualdad ^{[ 33 ].}

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq ks)\leq {\frac {1}{k^{2}(N+1)}}.}$

En las pruebas empíricas, esta modificación resulta conservadora, pero parece tener una baja potencia estadística. Su fundamento teórico aún no se ha explorado.

Stellato et al. ^{[ 18 ]} simplificaron la notación y extendieron la desigualdad empírica de Chebyshev de Saw et al. ^{[ 30 ]} al caso multivariado. Sea${\textstyle \xi \in \mathbb {R} ^{n_{\xi }}}$Sea una variable aleatoria y dejemos que${\textstyle N\in \mathbb {Z} _{\geq n_{\xi }}}$Dibujamos.${\textstyle N+1}$muestras iid de${\textstyle \xi }$denotado como${\textstyle \xi ^{(1)},\dots ,\xi ^{(N)},\xi ^{(N+1)}\in \mathbb {R} ^{n_{\xi }}}$. Basado en el primero${\textstyle N}$muestras, definimos la media empírica como${\textstyle \mu _{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\xi ^{(i)}}$y la covarianza empírica insesgada como${\textstyle \Sigma _{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(\xi ^{(i)}-\mu _{N})(\xi ^{(i)}-\mu _{N})^{\top }}$. Si${\displaystyle \Sigma _{N}}$es no singular, entonces para todo${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{\geq 0}}$entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}&P^{N+1}\left((\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})^{\top }\Sigma _{N}^{-1}(\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})\geq \lambda ^{2}\right)\\[8pt]\leq {}&\min \left\{1,{\frac {1}{N+1}}\left\lfloor {\frac {n_{\xi }(N+1)(N^{2}-1+N\lambda ^{2})}{N^{2}\lambda ^{2}}}\right\rfloor \right\}.\end{aligned}}}$

La desigualdad de Cantelli ^{[ 38 ]} debida a Francesco Paolo Cantelli establece que para una variable aleatoria real (${\displaystyle X}$) con media (${\displaystyle \mu }$) y varianza (${\displaystyle \sigma ^{2}}$)

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq a)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+a^{2}}}}$

dónde${\displaystyle a\geq 0}$.

Esta desigualdad se puede utilizar para demostrar una variante unilateral de la desigualdad de Chebyshev con${\displaystyle k>0}$^{[ 39 ]}

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {\frac {1}{1+k^{2}}}.}$

Se sabe que el límite de la variante unilateral es preciso. Para ver esto, consideremos la variable aleatoria.${\displaystyle X}$que toma los valores

${\displaystyle X=1}$con probabilidad${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{1+\sigma ^{2}}}}$

${\displaystyle X=-\sigma ^{2}}$con probabilidad${\displaystyle {\frac {1}{1+\sigma ^{2}}}.}$

Entonces${\displaystyle \operatorname {E} (X)=0}$y${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=\sigma ^{2}}$y${\displaystyle \Pr(X<1)=1/(1+\sigma ^{2})}$.

Bhattacharyya ^{[ 40 ]} extendió la desigualdad de Cantelli utilizando el tercer y cuarto momento de la distribución.

Dejar${\displaystyle \mu =0}$y${\displaystyle \sigma ^{2}}$Sea la varianza.${\displaystyle \gamma =E[X^{3}]/\sigma ^{3}}$y${\displaystyle \kappa =E[X^{4}]/\sigma ^{4}}$.

Si${\displaystyle k^{2}-k\gamma -1>0}$entonces

${\displaystyle \Pr(X>k\sigma )\leq {\frac {\kappa -\gamma ^{2}-1}{(\kappa -\gamma ^{2}-1)(1+k^{2})+(k^{2}-k\gamma -1)}}.}$

La necesidad de${\displaystyle k^{2}-k\gamma -1>0}$puede requerir${\displaystyle k}$ser razonablemente grande.

En el caso${\displaystyle E[X^{3}]=0}$esto se simplifica a

${\displaystyle \Pr(X>k\sigma )\leq {\frac {\kappa -1}{\kappa \left(k^{2}+1\right)-2}}\quad {\text{for }}k>1.}$

Desde${\displaystyle {\frac {\kappa -1}{\kappa \left(k^{2}+1\right)-2}}={\frac {1}{2}}-{\frac {\kappa (k-1)}{2(\kappa -1)}}+O\left((k-1)^{2}\right)}$para${\displaystyle k}$Cercano a 1, este límite mejora ligeramente con respecto al límite de Cantelli.${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {k-1}{2}}+O\left((k-1)^{2}\right)}$como${\displaystyle \kappa >1}$.

gana por un factor 2 sobre la desigualdad de Chebyshev.

En 1823, Gauss demostró que para una distribución con un único modo en cero, ^{[ 41 ]}

${\displaystyle \Pr(|X|\geq k)\leq {\frac {4\operatorname {E} (X^{2})}{9k^{2}}}\quad {\text{if}}\quad k^{2}\geq {\frac {4}{3}}\operatorname {E} (X^{2}),}$

${\displaystyle \Pr(|X|\geq k)\leq 1-{\frac {k}{{\sqrt {3}}\operatorname {E} (X^{2})}}\quad {\text{if}}\quad k^{2}\leq {\frac {4}{3}}\operatorname {E} (X^{2}).}$

La desigualdad de Vysochanskij-Petunin generaliza la desigualdad de Gauss, que solo se cumple para desviaciones de la moda de una distribución unimodal, a desviaciones de la media o, más generalmente, de cualquier centro. ^{[ 42 ]} Si${\displaystyle X}$es una distribución unimodal con media${\displaystyle \mu }$y varianza${\displaystyle \sigma ^{2}}$, entonces la desigualdad establece que

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {4}{9k^{2}}}\quad {\text{if}}\quad k\geq {\sqrt {8/3}}=1.633.}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {4}{3k^{2}}}-{\frac {1}{3}}\quad {\text{if}}\quad k\leq {\sqrt {8/3}}.}$

Para distribuciones unimodales simétricas, la mediana y la moda son iguales, por lo que tanto la desigualdad de Vysochanskij-Petunin como la desigualdad de Gauss se aplican al mismo centro. Además, para distribuciones simétricas, se pueden obtener límites unilaterales al observar que

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )=\Pr(X-\mu \leq -k\sigma )={\frac {1}{2}}\Pr(|X-\mu |\geq k\sigma ).}$

La fracción adicional de${\displaystyle 4/9}$La presencia de estos límites de cola conduce a mejores intervalos de confianza que la desigualdad de Chebyshev. Por ejemplo, para cualquier distribución unimodal simétrica, la desigualdad de Vysochanskij-Petunin establece que 4/(9 × 3^2) = 4/81 ≈ 4,9% de la distribución se encuentra fuera de 3 desviaciones estándar de la moda.

DasGupta ha demostrado que si se sabe que la distribución es normal ^{[ 43 ]}

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{3k^{2}}}.}$

De la desigualdad de DasGupta se deduce que, para una distribución normal, al menos el 95 % se encuentra dentro de aproximadamente 2,582 desviaciones estándar de la media. Esta aproximación es menos precisa que la cifra real (aproximadamente 1,96 desviaciones estándar de la media).

• DasGupta ha determinado un conjunto de los mejores límites posibles para una distribución normal para esta desigualdad. ^{[ 43 ]}
• Steliga y Szynal han extendido estos límites a la distribución de Pareto . ^{[ 44 ]}
• Grechuk et al. desarrollaron un método general para obtener las mejores cotas posibles en la desigualdad de Chebyshev para cualquier familia de distribuciones y cualquier medida de riesgo de desviación en lugar de la desviación estándar. En particular, derivaron la desigualdad de Chebyshev para distribuciones con densidades logarítmicamente cóncavas . ^{[ 45 ]}

La desigualdad de Paley-Zygmund proporciona una cota inferior para las probabilidades de cola, a diferencia de la desigualdad de Chebyshev, que proporciona una cota superior. ^{[ 46 ]} Al aplicarla al cuadrado de una variable aleatoria, obtenemos

${\displaystyle \Pr(|Z|>\theta {\sqrt {E[Z^{2}]}})\geq {\frac {(1-\theta ^{2})^{2}E[Z^{2}]^{2}}{E[Z^{4}]}}.}$

Una aplicación de la desigualdad de Chebyshev es crear intervalos de confianza para variables con una distribución desconocida. Haldane señaló, ^{[ 47 ]} usando una ecuación derivada por Kendall , ^{[ 48 ]} que si una variable (${\displaystyle x}$) tiene una media cero, varianza unitaria y asimetría finita (${\displaystyle \gamma }$) y curtosis (${\displaystyle \kappa }$) entonces la variable se puede convertir en una puntuación estándar con distribución normal (${\displaystyle z}$):

${\displaystyle z=x-{\frac {\gamma }{6}}(x^{2}-1)+{\frac {x}{72}}[2\gamma ^{2}(4x^{2}-7)-3\kappa (x^{2}-3)]+\cdots }$

Esta transformación puede resultar útil como alternativa a la desigualdad de Chebyshev o como complemento de la misma para derivar intervalos de confianza para variables con distribuciones desconocidas.

Si bien esta transformación puede ser útil para distribuciones moderadamente asimétricas y/o con curtosis, su rendimiento es deficiente cuando la distribución es marcadamente asimétrica y/o con curtosis.

Para cualquier conjunto de n variables aleatorias independientes no negativas X _i con esperanza 1 ^{[ 49 ]}

${\displaystyle \Pr \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{n}}-1\geq {\frac {1}{n}}\right)\leq {\frac {7}{8}}.}$

También existen otras desigualdades asociadas con Chebyshev:

• Desigualdad de suma de Chebyshev
• Desigualdades de Chebyshev-Markov-Stieltjes