Medida de riesgo de desviación

En matemáticas financieras , una medida de riesgo de desviación es una función que cuantifica el riesgo financiero (y no necesariamente el riesgo a la baja ) mediante un método diferente al de una medida de riesgo general . Las medidas de riesgo de desviación generalizan el concepto de desviación estándar .

Una función${\displaystyle D:{\mathcal {L}}^{2}\to [0,+\infty ]}$, dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}}$es el espacio L2 de variables aleatorias ( rendimientos aleatorios de la cartera ), es una medida de riesgo de desviación si

1. Invariante a la traslación:${\displaystyle D(X+r)=D(X)}$para cualquier${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$
2. Normalización:${\displaystyle D(0)=0}$
3. Positivamente homogéneo:${\displaystyle D(\lambda X)=\lambda D(X)}$para cualquier${\displaystyle X\in {\mathcal {L}}^{2}}$y${\displaystyle \lambda >0}$
4. Sublinealidad:${\displaystyle D(X+Y)\leq D(X)+D(Y)}$para cualquier${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {L}}^{2}}$
5. Positividad:${\displaystyle D(X)>0}$para todo X no constante y${\displaystyle D(X)=0}$para cualquier constante X . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Existe una relación uno a uno entre una medida de riesgo de desviación D y una medida de riesgo acotada por expectativas R donde para cualquier${\displaystyle X\in {\mathcal {L}}^{2}}$

• ${\displaystyle D(X)=R(X-\mathbb {E} [X])}$
• ${\displaystyle R(X)=D(X)-\mathbb {E} [X]}$.

R está acotado en esperanza si${\displaystyle R(X)>\mathbb {E} [-X]}$para cualquier X no constante y${\displaystyle R(X)=\mathbb {E} [-X]}$para cualquier constante X.

Si${\displaystyle D(X)<\mathbb {E} [X]-\operatorname {ess\inf } X}$para cada X (donde${\displaystyle \operatorname {ess\inf } }$es el ínfimo esencial ), entonces existe una relación entre D y una medida de riesgo coherente . ^{[ 1 ]}

Los ejemplos más conocidos de medidas de desviación del riesgo son: ^{[ 1 ]}

• Desviación estándar${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {E[(X-EX)^{2}]}}}$;
• Desviación absoluta media${\displaystyle MAD(X)=E(|X-EX|)}$;
• Semidesviaciones inferiores y superiores${\displaystyle \sigma _{-}(X)={\sqrt {{E[(X-EX)_{-}}^{2}]}}}$y${\displaystyle \sigma _{+}(X)={\sqrt {{E[(X-EX)_{+}}^{2}]}}}$, dónde${\displaystyle [X]_{-}:=\max\{0,-X\}}$y${\displaystyle [X]_{+}:=\max\{0,X\}}$;
• Desviaciones basadas en rangos, por ejemplo,${\displaystyle D(X)=EX-\inf X}$y${\displaystyle D(X)=\sup X-\inf X}$;
• Desviación del valor en riesgo condicional (CVaR), definida para cualquier${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$por${\displaystyle {\rm {CVaR}}_{\alpha }^{\Delta }(X)\equiv ES_{\alpha }(X-EX)}$, dónde${\displaystyle ES_{\alpha}(X)}$es Déficit previsto .

• Riesgo unitario : medida relativa de dispersión expresada como la razón entre la desviación estándar y la media. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redireccionamiento.