Ecuación cúbica

El discriminante de un polinomio es una función de sus coeficientes que es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple , o si es divisible por el cuadrado de un polinomio no constante. En otras palabras, el discriminante es distinto de cero si y solo si el polinomio es libre de cuadrados .

Si r ₁ , r ₂ , r ₃ son las tres raíces (no necesariamente distintas ni reales ) de la matriz cúbica${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}$entonces el discriminante es $${\displaystyle a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}.}$$

El discriminante del cubo deprimido${\displaystyle t^{3}+pt+q}$es $${\displaystyle -\left(4\,p^{3}+27\,q^{2}\right).}$$

El discriminante de la cúbica general${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$es $${\displaystyle 18\,abcd-4\,b^{3}d+b^{2}c^{2}-4\,ac^{3}-27\,a^{2}d^{2}.}$$ Es el producto de${\displaystyle a^{4}}$y el discriminante de la cúbica deprimida correspondiente. Usando la fórmula que relaciona la cúbica general y la cúbica deprimida asociada, esto implica que el discriminante de la cúbica general se puede escribir como $${\displaystyle {\frac {4(b^{2}-3ac)^{3}-(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}}{27a^{2}}}.}$$

De ello se deduce que uno de estos dos discriminantes es cero si y solo si el otro también es cero, y, si los coeficientes son reales , ambos discriminantes tienen el mismo signo. En resumen, se puede obtener la misma información de cualquiera de estos dos discriminantes.

Para demostrar las fórmulas anteriores, se pueden usar las fórmulas de Vieta para expresar todo como polinomios en r ₁ , r ₂ , r ₃ y a . La demostración resulta entonces en la verificación de la igualdad de dos polinomios.

Si los coeficientes de un polinomio son números reales y su discriminante${\displaystyle \Delta }$no es cero, hay dos casos:

• Si${\displaystyle \Delta >0,}$La matriz cúbica tiene tres raíces reales distintas.
• Si${\displaystyle \Delta <0,}$La ecuación cúbica tiene una raíz real y dos raíces complejas conjugadas no reales .

Esto se puede demostrar de la siguiente manera. Primero, si r es una raíz de un polinomio con coeficientes reales, entonces su conjugado complejo también es una raíz. Por lo tanto, las raíces no reales, si las hay, aparecen como pares de raíces conjugadas complejas. Como un polinomio cúbico tiene tres raíces (no necesariamente distintas) según el teorema fundamental del álgebra , al menos una raíz debe ser real.

Como se indicó anteriormente, si r ₁ , r ₂ , r ₃ son las tres raíces de la matriz cúbica${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$, entonces el discriminante es $${\displaystyle \Delta =a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}}$$

Si las tres raíces son reales y distintas, el discriminante es un producto de reales positivos, es decir${\displaystyle \Delta >0.}$

Si solo una raíz, digamos r ₁ , es real, entonces r ₂ y r ₃ son conjugados complejos, lo que implica que r ₂ − r ₃ es un número puramente imaginario , y por lo tanto que ( r ₂ − r ₃ ) ² es real y negativo. Por otro lado, r ₁ − r ₂ y r ₁ − r ₃ son conjugados complejos, y su producto es real y positivo. ^{[ 23 ]} Por lo tanto, el discriminante es el producto de un solo número negativo y varios positivos. Es decir,${\displaystyle \Delta <0.}$

Si el discriminante de una cúbica es cero, la cúbica tiene una raíz múltiple . Si además sus coeficientes son reales, entonces todas sus raíces son reales.

El discriminante del cubo deprimido${\displaystyle t^{3}+pt+q}$es cero si${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0.}$Si p también es cero, entonces p = q = 0 , y 0 es una raíz triple de la cúbica. Si${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0,}$y p ≠ 0 , entonces la cúbica tiene una raíz simple $${\displaystyle t_{1}={\frac {3q}{p}}}$$

y una raíz doble $${\displaystyle t_{2}=t_{3}=-{\frac {3q}{2p}}.}$$

En otras palabras, $${\displaystyle t^{3}+pt+q=\left(t-{\frac {3q}{p}}\right)\left(t+{\frac {3q}{2p}}\right)^{2}.}$$

Este resultado se puede probar expandiendo el último producto o recuperarse resolviendo el sistema de ecuaciones bastante simple que resulta de las fórmulas de Vieta .

Mediante la reducción de una cúbica deprimida , estos resultados pueden extenderse a la cúbica general. Esto da como resultado: Si el discriminante de la cúbica${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$es cero, entonces

• cualquiera de las dos, si${\displaystyle b^{2}=3ac,}$La ecuación cúbica tiene una raíz triple.$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\frac {b}{3a}},}$$y$${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a\left(x+{\frac {b}{3a}}\right)^{3}}$$
• o, si${\displaystyle b^{2}\neq 3ac,}$La ecuación cúbica tiene una raíz doble.$${\displaystyle x_{2}=x_{3}={\frac {9ad-bc}{2(b^{2}-3ac)}},}$$y una raíz simple,$${\displaystyle x_{1}={\frac {4abc-9a^{2}db^{3}}{a(b^{2}-3ac)}}.}$$y por lo tanto$${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-x_{1})(x-x_{2})^{2}.}$$

Los resultados anteriores son válidos cuando los coeficientes pertenecen a un campo de característica distinta de 2 o 3, pero deben modificarse para la característica 2 o 3, debido a las divisiones involucradas por 2 y 3.

La reducción a una cúbica deprimida funciona para la característica 2, pero no para la característica 3. Sin embargo, en ambos casos, es más sencillo establecer y enunciar los resultados para la cúbica general. La herramienta principal para ello es el hecho de que una raíz múltiple es una raíz común del polinomio y su derivada formal . En estas características, si la derivada no es una constante, es un polinomio lineal en la característica 3, y es el cuadrado de un polinomio lineal en la característica 2. Por lo tanto, para la característica 2 o 3, la derivada tiene solo una raíz. Esto permite calcular la raíz múltiple, y la tercera raíz se puede deducir de la suma de las raíces, que viene dada por las fórmulas de Vieta .

Una diferencia con otras características es que, en la característica 2, la fórmula para una raíz doble implica una raíz cuadrada, y, en la característica 3, la fórmula para una raíz triple implica una raíz cúbica.

Cuando una ecuación cúbica con coeficientes reales tiene tres raíces reales, las fórmulas que expresan estas raíces en términos de radicales involucran números complejos. La teoría de Galois permite demostrar que cuando las tres raíces son reales y ninguna es racional ( casus irreducible ), no se pueden expresar las raíces en términos de radicales reales. Sin embargo, se pueden obtener expresiones puramente reales de las soluciones utilizando funciones trigonométricas , específicamente en términos de cosenos y arcocosenos . ^{[ 25 ]} Más precisamente, las raíces de la ecuación cúbica deprimida$${\displaystyle t^{3}+pt+q=0}$$ son ^{[ 26 ]}$${\displaystyle t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,\cos \left[\,{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\,\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\,\right]\qquad {\text{for }}k=0,1,2.}$$

Esta fórmula se debe a François Viète . ^{[ 22 ]} Es puramente real cuando la ecuación tiene tres raíces reales (es decir,${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0}$). De lo contrario, sigue siendo correcto, pero implica cosenos y arcocosenos complejos cuando solo hay una raíz real, y no tiene sentido ( división por cero ) cuando p = 0 .

Esta fórmula se puede transformar directamente en una fórmula para las raíces de una ecuación cúbica general, utilizando la sustitución hacia atrás descrita en §  Cúbica deprimida .

La fórmula se puede demostrar de la siguiente manera: Partiendo de la ecuación t³ + pt + q = 0 , establezcamos t = u cos θ . La idea es elegir u de manera que la ecuación coincida con la identidad ^. $${\displaystyle 4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -\cos(3\theta )=0.}$$ Para ello, elige${\displaystyle u=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,,}$y divide la ecuación por${\displaystyle {\frac {u^{3}}{4}}.}$Esto da $${\displaystyle 4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -{\frac {3q}{2p}}\,{\sqrt {\frac {-3}{p}}}=0.}$$ Combinando con la identidad anterior, se obtiene $${\displaystyle \cos(3\theta )={\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\,,}$$ y las raíces son así $${\displaystyle t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,\cos \left[{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\right]\qquad {\text{for }}k=0,1,2.}$$

Cuando solo hay una raíz real (y p ≠ 0 ), esta raíz puede representarse de manera similar utilizando funciones hiperbólicas , como ^{[ 27 ] [ 28 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}t_{0}&=-2{\frac {|q|}{q}}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cosh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {-3|q|}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~4p^{3}+27q^{2}>0~{\text{ and }}~p<0,\\t_{0}&=-2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~p>0.\end{aligned}}}$$ Si p ≠ 0 y no se cumplen las desigualdades de la derecha (el caso de tres raíces reales), las fórmulas siguen siendo válidas, pero implican cantidades complejas.

Cuando p = ±3 , los valores anteriores de t ₀ se denominan a veces raíz cúbica de Chebyshev. ^{[ 29 ]} Más precisamente, los valores que involucran cosenos y cosenos hiperbólicos definen, cuando p = −3 , la misma función analítica denotada C _1/3 ( q ) , que es la raíz cúbica de Chebyshev propiamente dicha. El valor que involucra senos hiperbólicos se denota de manera similar S _1/3 ( q ) , cuando p = 3 .

Para resolver la ecuación cúbica x³ + m²x = ^{n ,} donde n > 0 , Omar Khayyám construyó la parábola y = x² ^/ m , un círculo cuyo diámetro es el segmento [ 0, n / m² ] sobre el eje x positivo , y una línea vertical que pasa por el punto de intersección del círculo y la parábola sobre el eje x . ^La solución viene dada por la longitud del segmento horizontal desde el origen hasta la intersección de la línea vertical con el eje x (véase la figura).

Una demostración moderna sencilla es la siguiente. Multiplicando la ecuación por x / m ² y reagrupando los términos se obtiene $${\displaystyle {\frac {x^{4}}{m^{2}}}=x\left({\frac {n}{m^{2}}}-x\right).}$$ El lado izquierdo es el valor de y ² en la parábola. La ecuación del círculo es y ² + x ( x − ⁠ n / m ² ⁠ ) = 0 , el lado derecho es el valor de y ² en el círculo.

Una ecuación cúbica con coeficientes reales puede resolverse geométricamente usando compás, regla y trisectriz de ángulos si y solo si tiene tres raíces reales. ^{[ 30 ] : Teorema 1}

Una ecuación cúbica puede resolverse mediante regla y compás (sin trisectriz) si y solo si tiene una raíz racional . Esto implica que los antiguos problemas de trisección de ángulos y de duplicación del cubo , planteados por los matemáticos griegos de la antigüedad , no pueden resolverse mediante regla y compás.

La expresión trigonométrica de Viète de las raíces en el caso de tres raíces reales se presta a una interpretación geométrica en términos de un círculo. ^{[ 22 ] [ 31 ]} Cuando la cúbica se escribe en forma deprimida ( 2 ) , t ³ + pt + q = 0 , como se muestra arriba, la solución se puede expresar como

$${\displaystyle t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right)\quad {\text{for}}\quad k=0,1,2\,.}$$

Aquí${\displaystyle \arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)}$es un ángulo en el círculo unitario ; tomar 1/3 de ese ángulo corresponde a tomar la raíz cúbica de un número complejo; sumar −k 2π / 3 para k = 1, 2 encuentra las otras raíces cúbicas ; y multiplicar los cosenos de estos ángulos resultantes por${\displaystyle 2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}}$Corrige la escala.

Para el caso no deprimido ( 1 ) (mostrado en el gráfico adjunto), el caso deprimido , como se indicó anteriormente , se obtiene definiendo t de tal manera que x = t − b / 3 a , por lo que t = x + b / 3 a . Gráficamente, esto corresponde simplemente a desplazar el gráfico horizontalmente al cambiar entre las variables t y x , sin modificar las relaciones angulares. Este desplazamiento mueve el punto de inflexión y el centro del círculo al eje y . En consecuencia, las raíces de la ecuación en t suman cero.

Este método se debe a Scipione del Ferro y Tartaglia , pero recibe su nombre de Gerolamo Cardano, quien lo publicó por primera vez en su libro Ars Magna (1545).

Este método se aplica a una cúbica deprimida t ³ + pt + q = 0 . La idea es introducir dos variables u y${\displaystyle v}$de tal manera que${\displaystyle u+v=t}$y sustituir esto en el cúbico deprimido, dando $${\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.}$$

En este punto Cardano impuso la condición${\displaystyle 3uv+p=0.}$Esto elimina el tercer término de la igualdad anterior, lo que lleva al sistema de ecuaciones $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{3}+v^{3}&=-q\\uv&=-{\frac {p}{3}}.\end{aligned}}}$$

Sabiendo la suma y el producto de u ³ y${\displaystyle v^{3},}$Se deduce que son las dos soluciones de la ecuación cuadrática.$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=(x-u^{3})(x-v^{3})\\&=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+u^{3}v^{3}\\&=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+(uv)^{3}\end{aligned}}}$$ entonces $${\displaystyle x^{2}+qx-{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$$ El discriminante de esta ecuación es${\displaystyle \Delta =q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}$y suponiendo que sea positivo, las soluciones reales de esta ecuación son (después de aplicar la división por 4 bajo la raíz cuadrada): $${\displaystyle -{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}.}$$ Entonces ( sin pérdida de generalidad al elegir u o${\displaystyle v}$): $${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$$$${\displaystyle v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$$ Como${\displaystyle u+v=t,}$La suma de las raíces cúbicas de estas soluciones es una raíz de la ecuación. Es decir, $${\displaystyle t={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}}$$ es una raíz de la ecuación; esta es la fórmula de Cardano.

Esto funciona bien cuando${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}>0,}$pero, si${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0,}$La raíz cuadrada que aparece en la fórmula no es real. Como un número complejo tiene tres raíces cúbicas, usar la fórmula de Cardano sin cuidado daría como resultado nueve raíces, mientras que una ecuación cúbica no puede tener más de tres raíces. Esto fue aclarado por primera vez por Rafael Bombelli en su libro L'Algebra (1572). La solución es usar el hecho de que${\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}},}$eso es,${\displaystyle v={\frac {-p}{3u}}.}$Esto significa que solo es necesario calcular una raíz cúbica, y conduce a la segunda fórmula dada en la §  Fórmula de Cardano .

Las otras raíces de la ecuación se pueden obtener cambiando la raíz cúbica, o, equivalentemente, multiplicando la raíz cúbica por cada una de las dos raíces cúbicas primitivas de la unidad , que son${\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.}$

Cuando solo una raíz es real, u y v serán los conjugados complejos entre sí, lo que implica que la única raíz real debe ser${\displaystyle t=2\mathrm {Re} (u)}$.

La sustitución de Vieta es un método introducido por François Viète (Vieta es su nombre en latín) en un texto publicado póstumamente en 1615, que proporciona directamente la segunda fórmula del método de Cardano y  evita el problema de calcular dos raíces cúbicas diferentes. ^{[ 35 ]}

Partiendo de la cúbica deprimida t ³ + pt + q = 0 , la sustitución de Vieta es t = w − ⁠ p / 3 w ⁠ . ^{[ b ]}

La sustitución t = w – ⁠ p / 3 w ⁠ transforma la cúbica deprimida en $${\displaystyle w^{3}+q-{\frac {p^{3}}{27w^{3}}}=0.}$$

Esta es una ecuación cuadrática en${\displaystyle w^{3}}$, por lo que hay seis soluciones para${\displaystyle w}$. En la sustitución, para cada valor de${\displaystyle t}$hay dos valores posibles para${\displaystyle w}$Cada raíz de la ecuación cúbica se encuentra dos veces.

Multiplicando por w³ , se obtiene una ecuación cuadrática ^{en w³} :$${\displaystyle (w^{3})^{2}+q(w^{3})-{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$$

Dejar $${\displaystyle W=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}}$$ Sea cualquier raíz no nula de esta ecuación cuadrática. Si w ₁ , w ₂ y w ₃ son las tres raíces cúbicas de W , entonces las raíces de la cúbica deprimida original son w ₁ − ⁠ p / 3 w ₁ ⁠ , w ₂ − ⁠ p / 3 w ₂ ⁠ , y w ₃ − ⁠ p / 3 w ₃ ⁠ . La otra raíz de la ecuación cuadrática es${\displaystyle \textstyle -{\frac {p^{3}}{27W}}.}$Esto implica que cambiar el signo de la raíz cuadrada intercambia w _i y − ⁠ p / 3 w _i ⁠ para i = 1, 2, 3 , y por lo tanto no cambia las raíces. Este método solo falla cuando ambas raíces de la ecuación cuadrática son cero, es decir, cuando p = q = 0 , en cuyo caso la única raíz de la cúbica reducida es 0 .

En su artículo Réflexions sur la résolution algébrique des équations ("Reflexiones sobre la resolución algebraica de ecuaciones"), ^{[ 36 ]} Joseph Louis Lagrange introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones de bajo grado de manera uniforme, con la esperanza de poder generalizarlo a grados superiores. Este método funciona bien para ecuaciones cúbicas y cuárticas , pero Lagrange no logró aplicarlo a una ecuación quíntica , ya que requiere resolver un polinomio resolvente de grado al menos seis. ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]} Además de que nadie lo había logrado antes, esta fue la primera indicación de la inexistencia de una fórmula algebraica para grados 5 y superiores; como se demostró posteriormente con el teorema de Abel-Ruffini . Sin embargo, los métodos modernos para resolver ecuaciones quínticas resolubles se basan principalmente en el método de Lagrange. ^{[ 39 ]}

En el caso de ecuaciones cúbicas, el método de Lagrange da la misma solución que el de Cardano. El método de Lagrange se puede aplicar directamente a la ecuación cúbica general ax³ + bx² + cx + d ⁼ 0 , pero el ^cálculo es más sencillo con la ecuación cúbica reducida, t³ ⁺ pt + q = 0 .

La idea principal de Lagrange era trabajar con la transformada discreta de Fourier de las raíces en lugar de con las raíces mismas. Más precisamente, sea ξ una raíz terciaria primitiva de la unidad , es decir, un número tal que ξ³ = 1 ^y ξ² + ξ ⁺ 1 = 0 (cuando se trabaja en el espacio de los números complejos , se tiene${\displaystyle \textstyle \xi ={\frac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{2i\pi /3},}$pero esta interpretación compleja no se utiliza aquí). Denotando x ₀ , x ₁ y x ₂ las tres raíces de la ecuación cúbica a resolver, sea $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}+x_{1}+x_{2},\\s_{1}&=x_{0}+\xi x_{1}+\xi ^{2}x_{2},\\s_{2}&=x_{0}+\xi ^{2}x_{1}+\xi x_{2},\end{aligned}}}$$ Sea la transformada discreta de Fourier de las raíces. Si se conocen s ₀ , s ₁ y s ₂ , las raíces se pueden recuperar a partir de ellas con la transformada inversa de Fourier que consiste en invertir esta transformación lineal; es decir, $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+s_{1}+s_{2}),\\x_{1}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi ^{2}s_{1}+\xi s_{2}),\\x_{2}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi s_{1}+\xi ^{2}s_{2}).\end{aligned}}}$$

Según las fórmulas de Vieta , se sabe que s ₀ es cero en el caso de una cúbica reducida, y − ⁠ b / a ⁠ para la cúbica general. Por lo tanto, solo es necesario calcular s ₁ y s _2. Estas no son funciones simétricas de las raíces (al intercambiar x ₁ y x ₂ también se intercambian s ₁ y s ₂ ), pero algunas funciones simétricas simples de s ₁ y s ₂ también son simétricas en las raíces de la ecuación cúbica que se va a resolver. Así, estas funciones simétricas se pueden expresar en términos de los coeficientes (conocidos) de la cúbica original, lo que permite expresar los s _i como raíces de un polinomio con coeficientes conocidos. Esto funciona bien para cualquier grado, pero, en grados superiores a cuatro, el polinomio resultante que tiene los s _i como raíces tiene un grado mayor que el del polinomio inicial, y por lo tanto no es útil para la resolución. Esta es la razón por la cual el método de Lagrange falla en grados cinco y superiores.

En el caso de una ecuación cúbica,${\displaystyle P=s_{1}s_{2},}$y${\displaystyle S=s_{1}^{3}+s_{2}^{3}}$son tales polinomios simétricos (véase más abajo). De ello se deduce que${\displaystyle s_{1}^{3}}$y${\displaystyle s_{2}^{3}}$son las dos raíces de la ecuación cuadrática${\displaystyle z^{2}-Sz+P^{3}=0.}$De este modo, la resolución de la ecuación puede terminarse exactamente igual que con el método de Cardano, con${\displaystyle s_{1}}$y${\displaystyle s_{2}}$en lugar de u y${\displaystyle v.}$

En el caso del cúbico deprimido, uno tiene${\displaystyle x_{0}={\tfrac {1}{3}}(s_{1}+s_{2})}$y${\displaystyle s_{1}s_{2}=-3p,}$mientras que en el método de Cardano hemos establecido${\displaystyle x_{0}=u+v}$y${\displaystyle uv=-{\tfrac {1}{3}}p.}$Así, hasta el intercambio de u y${\displaystyle v,}$tenemos${\displaystyle s_{1}=3u}$y${\displaystyle s_{2}=3v.}$En otras palabras, en este caso, el método de Cardano y el método de Lagrange calculan exactamente lo mismo, salvo por un factor de tres en las variables auxiliares, siendo la principal diferencia que el método de Lagrange explica por qué aparecen estas variables auxiliares en el problema.

• La trisección de ángulos y la duplicación del cubo son dos problemas antiguos de geometría que se ha demostrado que no se pueden resolver mediante reglas y compases , porque son equivalentes a resolver una ecuación cúbica.
• El teorema de Marden establece que los focos de la elipse de Steiner de cualquier triángulo se pueden hallar utilizando la función cúbica cuyas raíces son las coordenadas en el plano complejo de los tres vértices del triángulo. Las raíces de la primera derivada de esta función cúbica son las coordenadas complejas de dichos focos.
• El área de un heptágono regular se puede expresar en términos de las raíces de una ecuación cúbica. Además, las razones de la diagonal mayor al lado, del lado a la diagonal menor y el negativo de la diagonal menor a la diagonal mayor satisfacen una ecuación cúbica particular. Adicionalmente, la razón del radio inscrito al radio circunscrito de un triángulo heptagonal es una de las soluciones de una ecuación cúbica. Los valores de las funciones trigonométricas de ángulos relacionados con${\displaystyle 2\pi /7}$Satisfacer ecuaciones cúbicas.
• Dado el coseno (u otra función trigonométrica) de un ángulo arbitrario, el coseno de un tercio de ese ángulo es una de las raíces de una función cúbica.
• La solución de la ecuación cuártica general depende de la solución de su resolvente cúbica .
• Los valores propios de una matriz de 3×3 son las raíces de un polinomio cúbico, que es el polinomio característico de la matriz.
• La ecuación característica de una ecuación diferencial lineal o de diferencias de tercer orden con coeficientes constantes o de Cauchy-Euler (coeficientes variables equidimensionales) es una ecuación cúbica.
• Los puntos de intersección de una curva de Bézier cúbica y una línea recta se pueden calcular utilizando la ecuación cúbica directa que representa la curva de Bézier.
• Los puntos críticos de una función cuártica se encuentran resolviendo una ecuación cúbica (con la derivada igualada a cero).
• Los puntos de inflexión de una función quíntica son la solución de una ecuación cúbica (la segunda derivada igualada a cero).

• En química analítica , la ecuación de Charlot , que se puede utilizar para hallar el pH de las soluciones tampón , se puede resolver mediante una ecuación cúbica.
• En termodinámica , las ecuaciones de estado (que relacionan la presión, el volumen y la temperatura de una sustancia), por ejemplo la ecuación de estado de Van der Waals , son cúbicas en el volumen.
• Las ecuaciones cinemáticas que involucran tasas de aceleración lineales son cúbicas.
• La velocidad de las ondas sísmicas de Rayleigh es una solución de la ecuación cúbica de las ondas de Rayleigh .
• La velocidad constante de un vehículo que se mueve en una pendiente con fricción del aire, para una potencia de entrada dada, se resuelve mediante una ecuación cúbica reducida.
• La tercera ley de Kepler sobre el movimiento planetario es cúbica en el semieje mayor.