Traer radical

La quíntica general se puede reducir a lo que se conoce como la forma quíntica principal , eliminando los términos cuárticos y cúbicos: $${\displaystyle y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0\,}$$

Si las raíces de una quíntica general y una quíntica principal están relacionadas por una transformación cuadrática de Tschirnhaus.$${\displaystyle y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,}$$ los coeficientes${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$puede determinarse utilizando el resultante , o mediante las sumas de potencias de las raíces y las identidades de Newton . Esto conduce a un sistema de ecuaciones en${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$que consta de una ecuación cuadrática y una ecuación lineal , y cualquiera de los dos conjuntos de soluciones puede usarse para obtener los tres coeficientes correspondientes de la forma quíntica principal. ^{[ 1 ]}

Esta forma es utilizada por la solución de Felix Klein para la ecuación quíntica. ^{[ 2 ]}

Es posible simplificar aún más la ecuación quíntica y eliminar el término cuadrático, obteniendo así la forma normal de Bring - Jerrad : $${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0.}$$ El uso de fórmulas de suma de potencias con una transformación cúbica, como intentó Tschirnhaus, no funciona, ya que el sistema de ecuaciones resultante da como resultado una ecuación de sexto grado. Pero en 1796 Bring encontró una solución utilizando una transformación cuártica de Tschirnhaus para relacionar las raíces de una quíntica principal con las de una quíntica de Bring - Jerrard: $${\displaystyle v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \,.}$$

El parámetro adicional que proporciona esta transformación de cuarto orden permitió a Bring disminuir los grados de los otros parámetros. Esto conduce a un sistema de cinco ecuaciones con seis incógnitas, que luego requiere la solución de una ecuación cúbica y una cuadrática . Este método también fue descubierto por Jerrard en 1852, ^{[ 3 ]} pero es probable que desconociera el trabajo previo de Bring en esta área. ^{[ 1 ] (pp. 92-93)} La transformación completa se puede realizar fácilmente utilizando un paquete de álgebra computacional como Mathematica ^{[ 4 ]} o Maple . ^{[ 5 ]} Como cabría esperar dada la complejidad de estas transformaciones, las expresiones resultantes pueden ser enormes, particularmente en comparación con las soluciones en radicales para ecuaciones de menor grado, ocupando muchos megabytes de almacenamiento para una ecuación quíntica general con coeficientes simbólicos. ^{[ 4 ]}

Considerada como una función algebraica, las soluciones a $${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0}$$ implican dos variables, d ₁ y d ₀ ; sin embargo, la reducción es en realidad a una función algebraica de una variable, muy análoga a una solución en radicales, ya que podemos reducir aún más la forma de Bring - Jerrard. Si por ejemplo establecemos $${\displaystyle z={v \over {\sqrt[{4}]{-d_{1}}}}}$$ Luego reducimos la ecuación a la forma $${\displaystyle z^{5}-z+a=0\,,}$$ que involucra a z como una función algebraica de una sola variable.${\displaystyle a}$, dónde${\displaystyle a=d_{0}(-d_{1})^{-5/4}}$Este formulario es requerido por el método de Hermite-Kronecker-Brioschi, el método de Glasser y el método de Cockle-Harley de resolventes diferenciales que se describen a continuación.

Se obtiene una forma alternativa estableciendo ${\displaystyle u={v \over {\sqrt[{4}]{d_{1}}}}}$ de modo que ${\displaystyle u^{5}+u+b=0\,,}$ dónde${\displaystyle b=d_{0}(d_{1})^{-5/4}}$. Esta forma se utiliza para definir el radical Bring a continuación.

Existe otra forma normal de un parámetro para la ecuación quíntica, conocida como forma normal de Brioschi.$${\displaystyle w^{5}-10Cw^{3}+45C^{2}w-C^{2}=0,}$$ que se puede derivar utilizando la transformación racional de Tschirnhaus. $${\displaystyle w_{k}={\frac {\lambda +\mu x_{k}}{{\frac {x_{k}^{2}}{C}}-3}}}$$ relacionar las raíces de una quíntica general con una quíntica de Brioschi. Los valores de los parámetros${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \mu }$pueden derivarse utilizando funciones poliédricas en la esfera de Riemann , y están relacionadas con la partición de un objeto de simetría icosaédrica en cinco objetos de simetría tetraédrica . ^{[ 6 ]}

Esta transformación de Tschirnhaus es bastante más sencilla que la compleja que se utiliza para transformar una quíntica principal en la forma de Bring - Jerrard. Esta forma normal se emplea en el método iterativo de Doyle - McMullen y en el método de Kiepert.

En 1858, Charles Hermite ^{[ 7 ]} publicó la primera solución conocida a la ecuación quíntica general en términos de "trascendentes elípticas", y casi al mismo tiempo Francesco Brioschi ^{[ 8 ]} y Leopold Kronecker ^{[ 9 ]} encontraron soluciones equivalentes. Hermite llegó a esta solución generalizando la conocida solución a la ecuación cúbica en términos de funciones trigonométricas y halla la solución a una ecuación quíntica en forma de Bring - Jerrard: $${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$

en la que cualquier ecuación quíntica puede reducirse mediante transformaciones de Tschirnhaus, como se ha demostrado. Observó que las funciones elípticas desempeñaban un papel análogo en la solución de la ecuación quíntica de Bring - Jerrard al que desempeñaban las funciones trigonométricas en la cúbica. Para${\displaystyle K}$y${\displaystyle K',}$Escríbelas como integrales elípticas completas de primera especie : $${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$$$${\displaystyle K'(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k'^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$$ dónde $${\displaystyle k^{2}+k'^{2}=1.}$$ Defina los dos "trascendentes elípticos": ^{[ nota 1 ]}$${\displaystyle \varphi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi i}{2\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {1+e^{2j\pi i\tau }}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$$${\displaystyle \psi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi \tau }{2i}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$ Pueden definirse de forma equivalente mediante series infinitas: ^{[ nota 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\tau )&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{(2j^{2}+j)\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}(1-e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-3e^{3\pi i\tau }+4e^{4\pi i\tau }-6e^{5\pi i\tau }+9e^{6\pi i\tau }-\cdots ),\quad \operatorname {Im} \tau >0\\\psi (\tau )&={\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}e^{2j^{2}\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&=1-2e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-4e^{3\pi i\tau }+6e^{4\pi i\tau }-8e^{5\pi i\tau }+12e^{6\pi i\tau }-\cdots ,\quad \operatorname {Im} \tau >0\end{aligned}}}$$

Si n es un número primo , podemos definir dos valores.${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$como sigue: $${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$ y $${\displaystyle v=\varphi (\tau )}$$

Cuando n es un primo impar, los parámetros${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$están vinculados por una ecuación de grado n  +  1 en${\displaystyle u}$, ^{[ nota 3 ]}${\displaystyle \Omega _{n}(u,v)=0}$, conocida como la ecuación modular , cuya${\displaystyle n+1}$raíces en${\displaystyle u}$están dados por: ^{[ 10 ] [ nota 4 ]}$${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$ y $${\displaystyle u=\varepsilon (n)\varphi \left({\frac {\tau +16m}{n}}\right)}$$ dónde${\displaystyle \varepsilon (n)}$es 1 o − 1 dependiendo de si 2 es un residuo cuadrático módulo n o no, respectivamente, ^{[ nota 5 ]} y${\displaystyle m\in \{0,1,\ldots ,n-1\}}$. Para n  =  5, tenemos la ecuación modular: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \Omega _{5}(u,v)=0\iff u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0}$$ con seis raíces en${\displaystyle u}$como se muestra arriba.

La ecuación modular con${\displaystyle n=5}$puede estar relacionado con la quíntica de Bring - Jerrard mediante la siguiente función de las seis raíces de la ecuación modular (En Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré de Hermite , el primer factor se da incorrectamente como${\displaystyle [\varphi (5\tau )+\varphi (\tau /5)]}$): ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle \Phi (\tau )=\left[-\varphi (5\tau )-\varphi \left({\frac {\tau }{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +16}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +64}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +32}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +48}{5}}\right)\right]}$$

Alternativamente, la fórmula ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \Phi (\tau )=2{\sqrt {10}}e^{3\pi i\tau /40}(1+e^{\pi i\tau /5}-e^{2\pi i\tau /5}+e^{3\pi i\tau /5}-8e^{\pi i\tau }-9e^{6\pi i\tau /5}+8e^{7\pi i\tau /5}-9e^{8\pi i\tau /5}+\cdots )}$$ es útil para la evaluación numérica de${\displaystyle \Phi (\tau )}$Según Hermite, el coeficiente de${\displaystyle e^{n\pi i\tau /5}}$en la expansión es cero para cada${\displaystyle n\equiv 4\,(\operatorname {mod} 5)}$. ^{[ 14 ]}

Las cinco cantidades${\displaystyle \Phi (\tau )}$,${\displaystyle \Phi (\tau +16)}$,${\displaystyle \Phi (\tau +32)}$,${\displaystyle \Phi (\tau +48)}$,${\displaystyle \Phi (\tau +64)}$son las raíces de una ecuación quíntica con coeficientes racionales en${\displaystyle \varphi (\tau )}$: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \Phi ^{5}-2000\varphi ^{4}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\Phi -64{\sqrt {5^{5}}}\varphi ^{3}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\left[1+\varphi ^{8}(\tau )\right]=0}$$ que puede convertirse fácilmente a la forma Bring - Jerrard mediante la sustitución: $${\displaystyle \Phi =2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )x}$$ que conduce al Bring – Jerrard quíntico: $${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$ dónde

El método de Hermite – Kronecker – Brioschi se reduce entonces a encontrar un valor para${\displaystyle \tau }$que corresponde al valor de${\displaystyle a}$y luego usando ese valor de${\displaystyle \tau }$para obtener las raíces de la ecuación modular correspondiente. Podemos usar algoritmos de búsqueda de raíces para encontrar${\displaystyle \tau }$de la ecuación (*) (es decir, calcular una inversa parcial de${\displaystyle a}$). Elevar al cuadrado (*) da una cuártica únicamente en${\displaystyle \varphi ^{4}(\tau )}$(usando${\displaystyle \varphi ^{8}(\tau )+\psi ^{8}(\tau )=1}$). Cada solución (en${\displaystyle \tau }$) de (*) es una solución de la ecuación cuártica, pero no toda solución de la ecuación cuártica es una solución de (*).

Las raíces de la quíntica Bring - Jerrard vienen dadas entonces por: $${\displaystyle x_{r}={\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ para${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$.

Un enfoque alternativo, "integral", es el siguiente:

Considerar${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$dónde${\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$Entonces $${\displaystyle \tau =i{\frac {K'(k)}{K(k)}}}$$ es una solución de $${\displaystyle a=s{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ dónde $${\displaystyle s={\begin{cases}-\operatorname {sgn} \operatorname {Im} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a=0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Re} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a\neq 0,\end{cases}}}$$

$${\displaystyle A={\frac {a{\sqrt[{4}]{5^{5}}}}{2}}.}$$

Las raíces de la ecuación (**) son: $${\displaystyle k=\tan {\frac {\alpha }{4}},\tan {\frac {\alpha +2\pi }{4}},\tan {\frac {\pi -\alpha }{4}},\tan {\frac {3\pi -\alpha }{4}}}$$ dónde${\displaystyle \sin \alpha =4/A^{2}}$^{[ 13 ]} (tenga en cuenta que algunas referencias importantes lo dan erróneamente como${\displaystyle \sin \alpha =1/(4A^{2})}$^{[ 6 ] [ 7 ]} ). Una de estas raíces puede usarse como módulo elíptico${\displaystyle k}$.

Las raíces de la quíntica Bring - Jerrard vienen dadas entonces por: $${\displaystyle x_{r}=-s{\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$ para${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$.

Puede observarse que este proceso utiliza una generalización de la raíz enésima , que puede expresarse como: $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)}$$ o, más concretamente, como $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\exp ^{-1}x\right).}$$ El método de Hermite - Kronecker - Brioschi esencialmente reemplaza la exponencial por una "trascendente elíptica" y la integral.${\textstyle \int _{1}^{x}dt/t}$(o lo contrario de${\displaystyle \exp }$en la línea real) mediante una integral elíptica (o mediante una inversa parcial de una "trascendente elíptica"). Kronecker pensó que esta generalización era un caso especial de un teorema aún más general, que sería aplicable a ecuaciones de grado arbitrariamente alto. Este teorema, conocido como la fórmula de Thomae , fue expresado completamente por Hiroshi Umemura ^{[ 16 ]} en 1984, quien utilizó formas modulares de Siegel en lugar de las trascendentes exponenciales/elípticas, y reemplazó la integral por una integral hiperelíptica .

Esta derivación debida a M. Lawrence Glasser ^{[ 17 ]} generaliza el método de series presentado anteriormente en este artículo para encontrar una solución a cualquier ecuación trinomial de la forma: $${\displaystyle x^{N}-x+t=0}$$

En particular, la ecuación quíntica se puede reducir a esta forma mediante el uso de transformaciones de Tschirnhaus como se muestra arriba. Sea${\displaystyle x=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$, la forma general queda así: $${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i}+t\phi (\zeta )}$$ dónde $${\displaystyle \phi (\zeta )=\zeta ^{\frac {N}{N-1}}}$$

Una fórmula debida a Lagrange establece que para cualquier función analítica${\displaystyle f\,}$, en la vecindad de una raíz de la ecuación general transformada en términos de${\displaystyle \zeta \,}$, lo anterior puede expresarse como una serie infinita : $${\displaystyle f(\zeta )=f(e^{2\pi i})+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {d^{n-1}}{da^{n-1}}}[f'(a)|\phi (a)|^{n}]_{a=e^{2\pi i}}}$$

Si dejamos${\displaystyle f(\zeta )=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$En esta fórmula, podemos obtener la raíz: $${\displaystyle x_{k}=e^{-{\frac {2k\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{N-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(te^{\frac {2k\pi i}{N-1}})^{n}}{\Gamma (n+2)}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {Nn}{N-1}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{N-1}}+1\right)}}}$$$${\displaystyle k=1,2,3,\dots ,N-1\,}$$

Mediante el uso del teorema de multiplicación de Gauss, la serie infinita anterior puede descomponerse en una serie finita de funciones hipergeométricas : $${\displaystyle \psi _{n}(q)=\left({\frac {e^{\frac {2n\pi i}{N-1}}t}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N-1}\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+1\right)\prod _{k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\right)}}=\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}\prod _{k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q+k}{N-1}}\right)}}}$$

$${\displaystyle x_{n}=e^{-{\frac {2n\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{n}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}},\quad n=1,2,3,\dots ,N-1}$$

$${\displaystyle x_{N}=\sum _{m=1}^{N-1}{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{m}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2m\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}}}$$

y el trinomio de la forma tiene raíces $${\displaystyle ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2}}}$$$${\displaystyle x_{N}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle x_{N-1}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}={}&-e^{\frac {2n\pi i}{N-2}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {N-5}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}},;\\[8pt]{\frac {1}{N-2}},{\frac {2}{N-2}},\cdots ,{\frac {2N-5}{2N-4}},;\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+\\&+{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}\sum _{q=1}^{N-3}{\frac {\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right)}{\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+1\right)}}\cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}\right)^{q}\cdot {\frac {e^{{\frac {2n\left(1-2q\right)}{N-2}}\pi i}}{q!}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}};\\[8pt]{\frac {q+1}{N-2}},{\frac {q+2}{N-2}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {q+N-2}{N-2}},{\frac {2q+2N-5}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}},n=1,2,\cdots ,N-2\end{aligned}}}$$

Una raíz de la ecuación puede expresarse, por lo tanto, como la suma de como máximo${\displaystyle N-1}$Funciones hipergeométricas. Aplicando este método a la quíntica reducida de Bring - Jerrard, defina las siguientes funciones: $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(t)&=\,_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{3}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\end{aligned}}}$$ que son las funciones hipergeométricas que aparecen en la fórmula de la serie anterior. Las raíces de la quinta son, por lo tanto: $${\displaystyle {\begin{array}{rcrcccccc}x_{1}&=&{}-tF_{2}(t)\\[1ex]x_{2}&=&{}-F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{3}&=&F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{4}&=&{}-iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{5}&=&iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\\end{array}}}$$

Este es esencialmente el mismo resultado que el obtenido mediante el siguiente método.

James Cockle ^{[ 18 ]} y Robert Harley ^{[ 19 ]} desarrollaron, en 1860, un método para resolver la ecuación quíntica mediante ecuaciones diferenciales. Consideran las raíces como funciones de los coeficientes y calculan una resolvente diferencial basada en estas ecuaciones. La ecuación quíntica de Bring - Jerrard se expresa como una función: $${\displaystyle f(x)=x^{5}-x+a}$$ y una función${\displaystyle \,\phi (a)\,}$debe determinarse de tal manera que: $${\displaystyle f[\phi (a)]=0}$$

La función${\displaystyle \phi }$También debe satisfacer las siguientes cuatro ecuaciones diferenciales: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df[\phi (a)]}{da}}=0\\[6pt]{\frac {d^{2}f[\phi (a)]}{da^{2}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{3}f[\phi (a)]}{da^{3}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{4}f[\phi (a)]}{da^{4}}}=0\end{aligned}}}$$

Al expandir estas expresiones y combinarlas, se obtiene la resolvente diferencial: $${\displaystyle {\frac {(256-3125a^{4})}{1155}}{\frac {d^{4}\phi }{da^{4}}}-{\frac {6250a^{3}}{231}}{\frac {d^{3}\phi }{da^{3}}}-{\frac {4875a^{2}}{77}}{\frac {d^{2}\phi }{da^{2}}}-{\frac {2125a}{77}}{\frac {d\phi }{da}}+\phi =0}$$

La solución de la resolvente diferencial, al ser una ecuación diferencial ordinaria de cuarto orden , depende de cuatro constantes de integración , que deben elegirse de manera que satisfagan la ecuación quíntica original. Se trata de una ecuación diferencial ordinaria fuchsiana de tipo hipergeométrico, ^{[ 20 ]} cuya solución resulta ser idéntica a la serie de funciones hipergeométricas que surgieron en la derivación de Glasser mencionada anteriormente. ^{[ 5 ]}

Este método también puede generalizarse a ecuaciones de grado arbitrariamente alto, con resolventes diferenciales que son ecuaciones diferenciales parciales , cuyas soluciones involucran funciones hipergeométricas de varias variables. ^{[ 21 ] [ 22 ]} Una fórmula general para resolventes diferenciales de polinomios univariados arbitrarios viene dada por la fórmula de suma de potencias de Nahay . ^{[ 23 ] [ 24 ]}

En 1989, Peter Doyle y Curt McMullen derivaron un método iterativo ^{[ 25 ]} que resuelve una ecuación quíntica en forma normal de Brioschi: $${\displaystyle x^{5}-10Cx^{3}+45C^{2}x-C^{2}=0.}$$ El algoritmo de iteración procede de la siguiente manera:

1. Colocar${\displaystyle Z=1-1728C}$
2. Calcula la función racional$${\displaystyle T_{Z}(w)=w-12{\frac {g(Z,w)}{g'(Z,w)}}}$$dónde${\displaystyle g(Z,w)}$es una función polinómica dada a continuación, y${\displaystyle g'}$es el derivado de${\displaystyle g(Z,w)}$con respecto a${\displaystyle w}$
3. Iterar${\displaystyle T_{Z}[T_{Z}(w)]}$con una estimación inicial aleatoria hasta que converja. Llamaremos punto límite${\displaystyle w_{1}}$y dejar${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$.
4. Calcular$${\displaystyle \mu _{i}={\frac {100Z(Z-1)h(Z,w_{i})}{g(Z,w_{i})}}}$$dónde${\displaystyle h(Z,w)}$es una función polinómica dada a continuación. Haga esto para ambos${\displaystyle w_{1}\,}$y${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$.
5. Finalmente, calcular$${\displaystyle x_{i}={\frac {(9+{\sqrt {15}}i)\mu _{i}+(9-{\sqrt {15}}i)\mu _{3-i}}{90}}}$$para i = 1, 2. Estas son dos de las raíces de la quíntica de Brioschi.

Las dos funciones polinómicas${\displaystyle g(Z,w)\,}$y${\displaystyle h(Z,w)\,}$son los siguientes: $${\displaystyle {\begin{aligned}g(Z,w)={}&91125Z^{6}\\&{}+(-133650w^{2}+61560w-193536)Z^{5}\\&{}+(-66825w^{4}+142560w^{3}+133056w^{2}-61140w+102400)Z^{4}\\&{}+(5940w^{6}+4752w^{5}+63360w^{4}-140800w^{3})Z^{3}\\&{}+(-1485w^{8}+3168w^{7}-10560w^{6})Z^{2}\\&{}+(-66w^{10}+440w^{9})Z\\&{}+w^{12}\\[8pt]h(Z,w)={}&(1215w-648)Z^{4}\\&{}+(-540w^{3}-216w^{2}-1152w+640)Z^{3}\\&{}+(378w^{5}-504w^{4}+960w^{3})Z^{2}\\&{}+(36w^{7}-168w^{6})Z\\&{}+w^{9}\end{aligned}}}$$

Este método iterativo produce dos raíces de la ecuación quíntica. Las tres raíces restantes se pueden obtener mediante división sintética , separando las dos primeras y obteniendo así una ecuación cúbica. Debido a la formulación de la iteración, este método parece encontrar siempre dos raíces complejas conjugadas de la ecuación quíntica, incluso cuando todos los coeficientes de la ecuación quíntica son reales y la estimación inicial también lo es. Este método iterativo se deriva de las simetrías del icosaedro y guarda estrecha relación con el método que Felix Klein describe en su libro. ^{[ 2 ]}