La conjetura de Chern (geometría afín)

La conjetura de Chern sobre las variedades afínmente planas fue propuesta por Shiing-Shen Chern en 1955 en el campo de la geometría afín . A fecha de 2025, sigue siendo un problema matemático sin resolver.

La conjetura de Chern afirma que la característica de Euler de una variedad afín compacta es cero.

Si una variedad compacta es de dimensión impar, su característica de Euler se anula por dualidad de Poincaré. Si es de dimensión par, entonces si la conexión ∇ es la conexión de Levi-Civita de una métrica riemanniana , la fórmula de Chern-Gauss-Bonnet :

${\displaystyle \chi (M)=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\int _{M}\operatorname {Pf} (K)}$

también implica que la característica de Euler es cero. Sin embargo, no todas las conexiones planas sin torsión en${\displaystyle TM}$Admiten una métrica compatible y, por lo tanto, la teoría de Chern-Weil no puede utilizarse en general para escribir la clase de Euler en términos de la curvatura.

Se sabe que la conjetura se cumple en varios casos especiales:

• cuando una variedad afín compacta es bidimensional (como lo demostró Jean-Paul Benzécri en 1955, y más tarde John Milnor en 1957 ^{[ 1 ]} )
• Cuando una variedad afín compacta es completa (es decir, afínmente difeomorfa a un espacio cociente del espacio afín bajo una acción propia de un grupo discreto de transformaciones afines) , entonces la conjetura es verdadera; el resultado fue demostrado por Bertram Kostant y Dennis Sullivan en 1975; el resultado también se seguiría inmediatamente de la conjetura de Auslander ; Kostant y Sullivan demostraron que una variedad cerrada con característica de Euler no nula no puede admitir una estructura afín completa).
• cuando una variedad afín compacta es una variedad localmente simétrica irreducible de rango superior (como demostraron William Goldman y Morris Hirsch en 1984; demostraron que una variedad localmente simétrica irreducible de rango superior nunca puede admitir una estructura afín)
• cuando una variedad afín compacta es localmente un producto de planos hiperbólicos (como demostraron Michelle Bucher y Tsachik Gelander en 2011)
• cuando una variedad afín compacta admite una forma de volumen paralela (es decir, con holonomía lineal en SL)${\displaystyle (n,\mathbb {R} )}$; fue demostrado por Bruno Klingler en 2015; este caso probado más débil se conocía como la conjetura de Chern para variedades afines especiales ; una conjetura de Markus predice que esto es equivalente a ser completo)
• cuando una variedad afín compacta es una superficie hiperbólica compleja (como demostró Hester Pieters en 2016)

Además, se obtuvieron resultados relacionados:

• En 1958, Milnor demostró desigualdades que caracterizan completamente aquellos haces orientados de rango dos sobre una superficie que admiten una conexión plana.
• En 1977, Smillie demostró que la condición de que la conexión sea libre de torsión importa. Para cada dimensión par mayor que 2, Smillie construyó variedades cerradas con característica de Euler no nula que admiten una conexión plana en su fibrado tangente ^{[ 2 ].}

Para variedades pseudoriemannianas planas o variedades afines complejas , esto se deduce del teorema de Chern-Gauss-Bonnet .

Además, como demostraron MW Hirsch y William Thurston en 1975 para variedades afines incompletas, la conjetura se cumple si el grupo de holonomía es una extensión finita, un producto libre de grupos amenables (sin embargo, su resultado se aplica a cualquier fibrado plano sobre variedades). ^{[ 3 ]}

En 1977, John Smillie produjo una variedad con el fibrado tangente con conexión plana de torsión no nula y característica de Euler no nula, refutando así la versión fuerte de la conjetura que preguntaba si la característica de Euler de una variedad plana cerrada se anula. ^{[ 2 ]}

Más tarde, Huyk Kim y Hyunkoo Lee demostraron para variedades afines, y más generalmente para variedades proyectivas que se desarrollan en un espacio afín con holonomía amenable mediante una técnica diferente que utiliza el teorema de Gauss-Bonnet poliédrico no estándar desarrollado por Ethan Bloch y Kim y Lee. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

En 2002, Suhyoung Choi generalizó ligeramente el resultado de Hirsch y Thurston que establece que si la holonomía de una variedad afín cerrada es isomorfa a grupos amenables amalgamados o extendidos HNN a lo largo de grupos finitos, entonces la característica de Euler de la variedad es 0. Demostró que si una variedad de dimensión par se obtiene a partir de una operación de suma conexa de K ( π , 1)s con grupos fundamentales amenables, entonces la variedad no admite una estructura afín (generalizando un resultado de Smillie). ^{[ 6 ]}

En 2008, tras los sencillos ejemplos de Smillie sobre variedades cerradas con haces tangentes planos (que tendrían conexiones afines con curvatura cero, pero posiblemente torsión distinta de cero), Bucher y Gelander obtuvieron nuevos resultados en esta dirección.

En 2016, Huitao Feng ( en chino :冯惠涛) y Weiping Zhang , ambos de la Universidad de Nankai , afirmaron haber demostrado la conjetura en el caso general, pero se descubrió un grave error, por lo que posteriormente se retractaron. Tras la corrección, su resultado actual es una fórmula que calcula el número de Euler de un fibrado vectorial plano en función de los vértices de recubrimientos abiertos transversales. ^{[ 7 ]}

Es bien sabido que el teorema intrínseco de Chern-Gauss-Bonnet, demostrado por Chern, que establece que la característica de Euler de una variedad afín cerrada es 0, se aplica solo a conexiones ortogonales, no lineales; de ahí que la conjetura permanezca abierta en esta generalidad (las variedades afines son considerablemente más complicadas que las variedades riemannianas , donde la completitud métrica es equivalente a la completitud geodésica).

También existe una conjetura relacionada de Mikhail Leonidovich Gromov sobre la desaparición de la cohomología acotada de variedades afines. ^{[ 8 ]}

La conjetura de Chern puede considerarse un caso particular de la siguiente conjetura:

Una variedad asférica cerrada con característica de Euler distinta de cero no admite una estructura plana.

Esta conjetura se formuló originalmente para variedades cerradas generales, no solo para las asféricas (pero debido a Smillie, existe un contraejemplo), y a su vez, también puede considerarse un caso especial de una conjetura aún más general:

Una variedad asférica cerrada con volumen simplicial distinto de cero no admite una estructura plana.

Al generalizar la conjetura de Chern sobre variedades afines de esta manera, se la conoce como la conjetura generalizada de Chern para variedades que son localmente un producto de superficies.

• JP Benzécri, Placas locales Variétés, Universidad de Princeton Ph.D. tesis (1955)
• JP Benzécri, Sur les variétés localement affines et projectives, Bulletin de la Société Mathématique de France , volumen 88 (1960), págs.
• W. Goldman y M. Hirsch, La obstrucción de la radiación y las formas paralelas en variedades afines, Transactions of the American Mathematical Society , volumen 286, número 2 (1984), págs. 629–649
• M. Bucher y T. Gelander, Desigualdades de Milnor-Wood para variedades que son localmente un producto de superficies, Advances in Mathematics , volumen 228 (2011), pp. 1503–1542
• H. Pieters, Espacios hiperbólicos y cohomología acotada, tesis doctoral de la Universidad de Ginebra (2016)
• B. Kostant y D. Sullivan, La característica de Euler de una forma de espacio afín es cero, Boletín de la Sociedad Matemática Americana , volumen 81, número 5 (1975), págs. 937–938
• J. Milnor, Sobre la existencia de una conexión con la curvatura cero, Commentarii Mathematici Helvetici , volumen 32 (1957), págs. 215-223
• B. Klingler, Conjetura de Chern para variedades afines especiales, preimpresión 2015
• B. Klingler, La conjetura de Chern para variedades afines especiales, Annals of Mathematics , volumen 186 (2017), págs. 1–27
• M. Hirsch y W. Thurston, Fibrados foliados, medidas invariantes y variedades planas, Annals of Mathematics , volumen 101 (1975), págs. 369–390
• J. Smillie, Variedades planas con característica de Euler distinta de cero, Commentarii Mathematici Helvetici, volumen 52 (1977), págs.
• H. Kim y H. Lee, La característica de Euler de una cierta clase de variedades proyectivamente planas, Topología y sus aplicaciones, volumen 40 (1991), págs. 195–201
• H. Kim y H. Lee, La característica de Euler de variedades proyectivamente planas con grupos fundamentales amenables, Actas de la Sociedad Matemática Americana , volumen 118 (1993), págs. 311–315
• E. Bloch, El defecto del ángulo para poliedros arbitrarios, Beiträge zur Algebra und Geometrie, volumen 39 (1998), págs. 379–393
• H. Kim, Una fórmula de Gauss-Bonnet poliédrica y variedades proyectivamente planas, preimpresión GARC, Universidad Nacional de Seúl
• S. Choi, La conjetura de Chern para variedades afínmente planas mediante métodos combinatorios, Geometriae Dedicata , volumen 97 (2003), págs. 81–92
• M. Bucher y T. Gelander, Desigualdades de Milnor-Wood para variedades localmente isométricas a un producto de planos hiperbólicos, Comptes Rendus Mathematique , volumen 346, números 11–12 (2008), pp. 661–666
• Feng, Huitao; Zhang, Weiping (2021). «Fibrados vectoriales planos y cubiertas abiertas». Ecuaciones diferenciales en variedades y física matemática. Dedicado a la memoria de Boris Sternin. Artículos seleccionados basados ​​en las presentaciones . Conferencia sobre ecuaciones diferenciales parciales y aplicaciones. Moscú, Rusia: Cham: Birkhäuser.

• M. Gromov, Invariantes asintóticos de grupos infinitos. Teoría geométrica de grupos. Volumen 2 (1993), 8.A${\displaystyle _{4}}$