Espacio asférico

En topología , una rama de las matemáticas , un espacio asférico es un espacio topológico conectado por caminos con todos los grupos de homotopía.${\displaystyle \pi _{n}(X)}$igual a 0 cuando${\displaystyle n\not =1}$.

Si se trabaja con complejos CW , se puede reformular esta condición: un complejo CW asférico es un complejo CW cuya cubierta universal es contraíble . De hecho, la contraíbilidad de una cubierta universal es la misma, según el teorema de Whitehead , que su asfericidad. Y es una aplicación de la secuencia exacta de una fibración que los grupos de homotopía superiores de un espacio y su cubierta universal sean iguales. (Por el mismo argumento, si E es un espacio conexo por caminos y${\displaystyle p\colon E\to B}$Si E es cualquier mapa de recubrimiento , entonces E es asférico si y solo si B es asférico.

Cada espacio asférico X es, por definición, un espacio de Eilenberg-MacLane de tipo${\displaystyle K(G,1)}$, dónde${\displaystyle G=\pi _{1}(X)}$es el grupo fundamental de X. También directamente de la definición, un espacio asférico es un espacio clasificador para su grupo fundamental (considerado un grupo topológico cuando está dotado de la topología discreta ).

• Utilizando la segunda de las definiciones anteriores, vemos fácilmente que todas las superficies compactas orientables de género mayor que 0 son asféricas (ya que tienen como recubrimiento universal el plano euclidiano o el plano hiperbólico).
• De ello se deduce que todas las superficies no orientables, excepto el plano proyectivo real , también son asféricas, ya que pueden ser cubiertas por una superficie orientable de género 1 o superior.
• De igual modo, el producto de cualquier número de círculos es asférico. Al igual que cualquier variedad plana riemanniana completa.
• Cualquier 3-variedad hiperbólica está, por definición, cubierta por el 3-espacio hiperbólico H ³ , por lo tanto, es asférica. Lo mismo ocurre con cualquier n -variedad cuyo espacio de recubrimiento universal sea el n -espacio hiperbólico H ⁿ .
• Sea X  = G / K un espacio simétrico riemanniano de tipo negativo, y Γ una red en G que actúa libremente sobre X. Entonces el espacio localmente simétrico es ${\displaystyle \Gamma \backslash G/K}$es asférico.
• La construcción de Bruhat-Tits de un grupo algebraico simple sobre un cuerpo con una valuación discreta es asférico.
• El complemento de un nudo en S ³ es asférico, por el teorema de la esfera.
• Los espacios métricos completos con curvatura no positiva en el sentido de Aleksandr D. Aleksandrov (localmente espacios CAT(0) ) son asféricos. En el caso de las variedades riemannianas , esto se deduce del teorema de Cartan-Hadamard , que fue generalizado a espacios métricos geodésicos por Mikhail Gromov y Hans Werner Ballmann . Esta clase de espacios asféricos engloba todos los ejemplos mencionados anteriormente.
• Cualquier nilvariedad es asférica.

En el contexto de las variedades simplécticas , el significado de "asférica" ​​es un poco diferente. Específicamente, decimos que una variedad simpléctica (M,ω) es simplécticamente asférica si y solo si

${\displaystyle \int _{S^{2}}f^{*}\omega =\langle c_{1}(TM),f_{*}[S^{2}]\rangle =0}$

para cada mapeo continuo

${\displaystyle f\colon S^{2}\to M,}$

dónde${\displaystyle c_{1}(TM)}$denota la primera clase de Chern de una estructura casi compleja que es compatible con ω.

Según el teorema de Stokes , vemos que las variedades simplécticas que son asféricas también son variedades simplécticamente asféricas. Sin embargo, existen variedades simplécticamente asféricas que no son espacios asféricos. ^{[ 1 ]}

Algunas referencias ^{[ 2 ]} omiten el requisito de c ₁ en su definición de "simplécticamente asférica". Sin embargo, es más común que las variedades simplécticas que satisfacen solo esta condición más débil se denominen "débilmente exactas".

• espacio acíclico
• colector esencial
• Conjetura de Whitehead

• Bridson, Martín R .; Haefliger, André (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol.  319. Berlín, Heidelberg: Springer . doi : 10.1007/978-3-662-12494-9 . ISBN 978-3-642-08399-0. SR 1744486 . 

• Variedades asféricas en el Atlas de Variedades.