cohomología del álgebra de Lie

En matemáticas , la cohomología de álgebras de Lie es una teoría de cohomología para álgebras de Lie . Fue introducida por primera vez en 1929 por Élie Cartan para estudiar la topología de grupos de Lie y espacios homogéneos ^{[ 1 ]} relacionando los métodos cohomológicos de Georges de Rham con propiedades del álgebra de Lie. Posteriormente, Claude Chevalley y Samuel Eilenberg ( 1948 ) la extendieron a coeficientes en un módulo de Lie arbitrario ^{[ 2 ]} . 

Si${\displaystyle G}$es un grupo de Lie compacto simplemente conexo , entonces está determinado por su álgebra de Lie, por lo que debería ser posible calcular su cohomología a partir del álgebra de Lie. Esto se puede hacer de la siguiente manera. Su cohomología es la cohomología de De Rham del complejo de formas diferenciales en${\displaystyle G}$Mediante un proceso de promediado, este complejo puede ser reemplazado por el complejo de formas diferenciales invariantes por la izquierda . Las formas invariantes por la izquierda, por su parte, están determinadas por sus valores en la identidad, de modo que el espacio de formas diferenciales invariantes por la izquierda puede identificarse con el álgebra exterior del álgebra de Lie, con un diferencial adecuado.

La construcción de este diferencial sobre un álgebra exterior tiene sentido para cualquier álgebra de Lie, por lo que se utiliza para definir la cohomología de álgebras de Lie para todas ellas. De forma más general, se utiliza una construcción similar para definir la cohomología de álgebras de Lie con coeficientes en un módulo.

Si${\displaystyle G}$es un grupo de Lie no compacto simplemente conexo , la cohomología del álgebra de Lie del álgebra de Lie asociada${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$no necesariamente reproduce la cohomología de de Rham de${\displaystyle G}$La razón de esto es que el paso del complejo de todas las formas diferenciales al complejo de formas diferenciales invariantes por la izquierda utiliza un proceso de promediación que solo tiene sentido para grupos compactos.

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sea ​​un álgebra de Lie sobre un anillo conmutativo R con álgebra envolvente universal${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$y sea M una representación de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(equivalentemente, un${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$-módulo). Considerando R como una representación trivial de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, uno define los grupos de cohomología

${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)}$

(véase el functor Ext para la definición de Ext). De forma equivalente, estos son los functores derivados derechos del functor de submódulo invariante exacto izquierdo.

${\displaystyle M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.}$

De forma análoga, se puede definir la homología del álgebra de Lie como

${\displaystyle \mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$

(véase el functor Tor para la definición de Tor), que es equivalente a los functores derivados izquierdos del functor de coinvariantes exactos derechos.

${\displaystyle M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.}$

Algunos resultados básicos importantes sobre la cohomología de las álgebras de Lie incluyen los lemas de Whitehead , el teorema de Weyl y el teorema de descomposición de Levi .

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ser un álgebra de Lie sobre un cuerpo${\displaystyle k}$, con una acción de izquierda en el${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo${\displaystyle M}$Los elementos del complejo de Chevalley-Eilenberg

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}},M)}$

se llaman cocadenas de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$a${\displaystyle M}$. Un homogéneo${\displaystyle n}$-cochain de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$a${\displaystyle M}$es por lo tanto una alternancia${\displaystyle k}$-función multilineal${\displaystyle f\colon \Lambda ^{n}{\mathfrak {g}}\to M}$. Cuando${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es finitamente generado como espacio vectorial , el complejo de Chevalley-Eilenberg es canónicamente isomorfo al producto tensorial${\displaystyle M\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}}$, dónde${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$denota el espacio vectorial dual de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

El soporte de la mentira${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$induce una aplicación transpuesta${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}}$por dualidad. Esto último es suficiente para definir una derivación.${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}$del complejo de cocadenas de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$a${\displaystyle k}$extendiendo${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}}$Según la regla gradual de Leibniz. De la identidad de Jacobi se deduce que${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}$Satisface${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{2}=0}$y de hecho es un diferencial. En este contexto,${\displaystyle k}$se considera algo trivial${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo mientras${\displaystyle k\sim \Lambda ^{0}{\mathfrak {g}}^{*}\subseteq \mathrm {Ker} (d_{\mathfrak {g}})}$pueden considerarse constantes.

En general, dejemos${\displaystyle \gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\operatorname {End} M)}$denota la acción izquierda de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$en${\displaystyle M}$y considérelo como una solicitud${\displaystyle d_{\gamma }^{(0)}\colon M\rightarrow M\otimes {\mathfrak {g}}^{*}}$El diferencial de Chevalley-Eilenberg${\displaystyle d}$es entonces la derivación única que se extiende${\displaystyle d_{\gamma }^{(0)}}$y${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}}$Según la regla gradual de Leibniz , la condición de nilpotencia${\displaystyle d^{2}=0}$siguiendo del homomorfismo del álgebra de Lie de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$a${\displaystyle \operatorname {End} M}$y la identidad jacobina en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Explícitamente, el diferencial de la${\displaystyle n}$-cochain${\displaystyle f}$es el${\displaystyle (n+1)}$-cochain${\displaystyle df}$dado por: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}(df)\left(x_{1},\ldots ,x_{n+1}\right)=&\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f\left(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1}\right)+\\&\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f\left(\left[x_{i},x_{j}\right],x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1}\right)\,,\end{aligned}}}$

donde el acento circunflejo significa omitir ese argumento.

Cuando${\displaystyle G}$es un grupo de Lie real con álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, el complejo de Chevalley-Eilenberg también puede identificarse canónicamente con el espacio de formas invariantes por la izquierda con valores en${\displaystyle M}$, denotado por${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(G,M)^{G}}$El diferencial de Chevalley-Eilenberg puede considerarse entonces como una restricción de la derivada covariante al fibrado trivial.${\displaystyle G\times M\rightarrow G}$, equipado con la conexión equivariante${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\in \Omega ^{1}(G,\operatorname {End} M)}$asociado con la acción izquierda${\displaystyle \gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\operatorname {End} M)}$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$en${\displaystyle M}$. En el caso particular donde${\displaystyle M=k=\mathbb {R} }$está equipado con la acción trivial de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, el diferencial de Chevalley-Eilenberg coincide con la restricción del diferencial de De Rham en${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(G)}$al subespacio de formas diferenciales invariantes por la izquierda.

El grupo de cohomología cero es (por definición) el conjunto de invariantes del álgebra de Lie que actúa sobre el módulo:

${\displaystyle H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.}$

El primer grupo de cohomología es el espacio Der de derivaciones módulo el espacio Ider de derivaciones internas.

${\displaystyle H^{1}({\mathfrak {g}};M)=\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}},M)/\mathrm {Ider} ({\mathfrak {g}},M)\,}$,

donde una derivación es un mapa${\displaystyle d}$desde el álgebra de Lie hasta${\displaystyle M}$de tal manera que

${\displaystyle d[x,y]=xdy-ydx~}$

y se llama interior si se da por

${\displaystyle dx=xa~}$

para algunos${\displaystyle a}$en${\displaystyle M}$.

El segundo grupo de cohomología

${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};M)}$

es el espacio de clases de equivalencia de extensiones de álgebra de Lie

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}$

del álgebra de Lie por el módulo${\displaystyle M}$.

De manera similar, cualquier elemento del grupo de cohomología${\displaystyle H^{n+1}({\mathfrak {g}};M)}$proporciona una clase de equivalencia de formas de extender el álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$a una "mentira"${\displaystyle n}$-álgebra" con${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$en el grado cero y${\displaystyle M}$en grado${\displaystyle n-1}$. ^{[ 4 ]} Una mentira${\displaystyle n}$-álgebra es un álgebra de Lie homotópica con términos no nulos solo en los grados 0 a${\displaystyle n-1}$.

• Formalismo BRST en física teórica.
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