Forma diferencial equivariante

En geometría diferencial, una forma diferencial equivariante en una variedad M sobre la que actúa un grupo de Lie G es una aplicación polinómica.

${\displaystyle \alpha$ :{\mathfrak {g}}\to \Omega ^{*}(M)}

del álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Mentira} (G)}$al espacio de formas diferenciales en M que son equivariantes; es decir,

${\displaystyle \alpha (\operatorname {Ad} (g)X)=g\alpha (X).}$

En otras palabras, una forma diferencial equivariante es un elemento invariante de ^{[ 1 ].}

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]\otimes \Omega ^{*}(M)=\operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \Omega ^{*}(M).}$

Para una forma diferencial equivariante${\displaystyle \alpha }$, la derivada exterior equivariante${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}\alpha }$de${\displaystyle \alpha }$se define por

${\displaystyle (d_{\mathfrak {g}}\alpha )(X)=d(\alpha (X))-i_{X^{\#}}(\alpha (X))}$

donde d es la derivada exterior usual y${\displaystyle i_{X^{\#}}}$es el producto interior por el campo vectorial fundamental generado por X. Es fácil ver${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}\circ d_{\mathfrak {g}}=0}$(utilizar el hecho de que la derivada de Lie de${\displaystyle \alpha (X)}$a lo largo de${\displaystyle X^{\#}}$es cero) y luego uno pone

${\displaystyle H_{G}^{*}(M)=\ker d_{\mathfrak {g}}/\operatorname {im} d_{\mathfrak {g}},}$

que se denomina cohomología equivariante de M (que coincide con la cohomología equivariante ordinaria definida en términos de la construcción de Borel ). La definición se debe a H. Cartan. La noción tiene una aplicación en la teoría de índices equivariantes .

${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}$-cerrado o${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}$Las formas exactas se denominan equivariantemente cerradas o equivariantemente exactas .

La integral de una forma cerrada equivariante puede evaluarse a partir de su restricción al punto fijo mediante la fórmula de localización .

• Berlín, Nicole; Getzler, E.; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels y operadores de Dirac , Springer, ISBN 978-3-540-20062-8