Mapa de Chialvo

El mapa es capaz de capturar las soluciones aperiódicas y el comportamiento de ráfaga que son notables en el contexto de los sistemas neuronales. Por ejemplo, para los valores${\displaystyle a=0.89}$,${\displaystyle c=0.28}$y${\displaystyle k=0.025}$y cambiando b de${\displaystyle 0.6}$a${\displaystyle 0.18}$El sistema pasa de oscilaciones a soluciones de ráfagas aperiódicas.

Considerando el caso donde${\displaystyle k=0}$y${\displaystyle b<<a}$El modelo imita la falta de "inactivación dependiente del voltaje" para las neuronas reales y la evolución de la variable de recuperación está fija en${\displaystyle y_{f0}}$Por lo tanto, la dinámica de la variable de activación se describe básicamente mediante la iteración de las siguientes ecuaciones.

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}=&f(x_{n},y_{f0})=x_{n}^{2}exp(r-x_{n})\\r=&y_{f0}=c/(1-a)\\\end{aligned}}}$

en el cual${\displaystyle f(x_{n},y_{f0})}$como función de${\displaystyle r}$presenta una estructura de bifurcación de duplicación de período .

Una implementación práctica es la combinación de${\displaystyle N}$neuronas sobre una red, para eso se puede definir${\displaystyle 0>d<1}$como una constante de acoplamiento para combinar las neuronas. Para neuronas en una sola fila, podemos definir la evolución del potencial de acción en el tiempo mediante la difusión de la temperatura local.${\displaystyle x}$en:

${\displaystyle x_{n+1}^{i}=(1-d)f(x_{n}^{i})+(d/2)[f(x_{n}^{i+1})+f(x_{n}^{i-1})]}$

dónde${\displaystyle n}$es el paso de tiempo y${\displaystyle i}$es el índice de cada neurona. Para los valores${\displaystyle a=0.89}$,${\displaystyle b=0.6}$,${\displaystyle c=0.28}$y${\displaystyle k=0.02}$En ausencia de perturbaciones, se encuentran en estado de reposo. Si aplicamos un estímulo a la célula 1, se generan dos ondas propagadas que circulan en direcciones opuestas y que finalmente colapsan y se extinguen en el centro del anillo.

De forma análoga al ejemplo anterior, es posible crear un conjunto de neuronas acopladas sobre una red bidimensional; en este caso, la evolución de los potenciales de acción viene dada por:

${\displaystyle x_{n+1}^{i,j}=(1-d)f(x_{n}^{i,j})+(d/4)[f(x_{n}^{i+1,j})+f(x_{n}^{i-1,j})+f(x_{n}^{i,j+1})+f(x_{n}^{i,j-1})]}$

dónde${\displaystyle i}$,${\displaystyle j}$, representan el índice de cada neurona en una red cuadrada de tamaño${\displaystyle I}$,${\displaystyle J}$Con este ejemplo, se pueden representar ondas espirales para valores específicos de los parámetros. Para visualizar las espirales, establecemos la condición inicial en una configuración específica.${\displaystyle x^{ij}=i*0,0033}$y la recuperación como${\displaystyle y^{ij}=y_{f}-(j*0.0066)}$.

El mapa también puede presentar dinámicas caóticas para ciertos valores de parámetros. En la siguiente figura mostramos el comportamiento caótico de la variable.${\displaystyle x}$en una red cuadrada de${\displaystyle 500\times 500}$para los parámetros${\displaystyle a=0.89}$,${\displaystyle b=0.18}$,${\displaystyle c=0.28}$y${\displaystyle k=0.026}$.

El mapa se puede utilizar para simular una red desordenada no templada (como en la Ref. ^{[ 7 ]} ), donde cada mapa se conecta con cuatro vecinos más cercanos en una red cuadrada, y además cada mapa tiene una probabilidad${\displaystyle p}$Al conectarse con otra elegida al azar, surgirán múltiples ondas de excitación circulares coexistentes al comienzo de la simulación hasta que las espirales tomen el control.