Red de mapas acoplados

Una red de mapas acoplados ( CML ) es un sistema dinámico que modela el comportamiento de sistemas no lineales (especialmente ecuaciones diferenciales parciales ). Se utilizan principalmente para estudiar cualitativamente la dinámica caótica de sistemas espacialmente extendidos. Esto incluye la dinámica del caos espaciotemporal , donde el número de grados de libertad efectivos diverge a medida que aumenta el tamaño del sistema. ^{[ 1 ]}

Las características de la CML son dinámicas de tiempo discreto , espacios subyacentes discretos (retículos o redes) y variables de estado reales (números o vectores), locales y continuas . ^{[ 2 ]} Los sistemas estudiados incluyen poblaciones , reacciones químicas , convección , flujo de fluidos y redes biológicas . Más recientemente, las CML se han aplicado a redes computacionales ^{[ 3 ]} identificando métodos de ataque perjudiciales y fallas en cascada .

Las CML son comparables a los modelos de autómatas celulares en términos de sus características discretas. ^{[ 4 ]} Sin embargo, el valor de cada sitio en una red de autómatas celulares depende estrictamente de sus vecinos del paso de tiempo anterior. Cada sitio de la CML solo depende de sus vecinos en relación con el término de acoplamiento en la ecuación de recurrencia . No obstante, las similitudes pueden agravarse al considerar sistemas dinámicos multicomponente.

Un CML generalmente incorpora un sistema de ecuaciones (acopladas o desacopladas), un número finito de variables, un esquema de acoplamiento global o local y los términos de acoplamiento correspondientes. La red subyacente puede existir en dimensiones infinitas. Los mapeos de interés en los CML generalmente muestran un comportamiento caótico. Dichos mapeos se pueden encontrar aquí: Lista de mapeos caóticos .

Un mapeo logístico demuestra un comportamiento caótico, fácilmente identificable en una dimensión para el parámetro r > 3,57:

${\displaystyle \qquad x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$

En la Figura 1,${\displaystyle x_{0}}$Se inicializa con valores aleatorios en una pequeña red; los valores están desacoplados con respecto a los sitios vecinos. Se aplica la misma relación de recurrencia en cada punto de la red, aunque el parámetro r aumenta ligeramente con cada paso de tiempo. El resultado es una forma básica de comportamiento caótico en una red de mapas. Sin embargo, no existen correlaciones espaciales significativas ni frentes relevantes para el comportamiento caótico. No se observa ningún orden evidente.

Para un acoplamiento básico, consideramos un acoplamiento de "vecino único" donde el valor en cualquier sitio dado${\displaystyle s}$se calcula a partir de los mapas recursivos tanto en${\displaystyle s}$en sí mismo y en el sitio vecino${\displaystyle s-1}$. El parámetro de acoplamiento${\displaystyle \epsilon =0.5}$tiene el mismo peso. Nuevamente, el valor de${\displaystyle r}$es constante en toda la red, pero aumenta ligeramente con cada paso de tiempo.

${\displaystyle \qquad x_{n+1}=(\epsilon )[rx_{n}(1-x_{n})]_{s}+(1-\epsilon )[rx_{n}(1-x_{n})]_{s-1}}$

Aunque la recursión es caótica, en la evolución se desarrolla una forma más sólida. Los espacios convectivos alargados persisten a lo largo de la red (véase la figura 2).

Las CML se introdujeron por primera vez a mediados de la década de 1980 a través de una serie de publicaciones de distribución restringida. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} Kapral utilizó las CML para modelar fenómenos espaciales químicos. Kuznetsov buscó aplicar las CML a circuitos eléctricos desarrollando un enfoque de grupo de renormalización (similar a la universalidad de Feigenbaum para sistemas espacialmente extendidos). El enfoque de Kaneko fue más amplio y aún se le conoce como el investigador más activo en esta área. ^{[ 9 ]} El modelo CML más estudiado fue introducido por Kaneko en 1983, donde la ecuación de recurrencia es la siguiente:

${\displaystyle u_{s}^{t+1}=(1-\varepsilon )f(u_{s}^{t})+{\frac {\varepsilon }{2}}\left(f(u_{s+1}^{t})+f(u_{s-1}^{t})\right)\ \ \ t\in \mathbb {N} ,\ \varepsilon \in [0,1]}$

dónde${\displaystyle u_{s}^{t}\in {\mathbb {R} }\ ,}$y${\displaystyle f}$es un mapeo real.

La estrategia CML aplicada fue la siguiente:

• Seleccione un conjunto de variables de campo en la red a nivel macroscópico. La dimensión (no limitada por el sistema CML) debe elegirse de manera que corresponda al espacio físico que se está investigando.
• Descomponer el proceso (que subyace al fenómeno) en componentes independientes.
• Sustituir cada componente por una transformación no lineal de las variables de campo en cada punto de la red y el término de acoplamiento en vecinos adecuados y elegidos.
• Ejecute cada dinámica de unidad ("procedimiento") sucesivamente.

El sistema CML evoluciona en tiempo discreto mediante una función de mapeo sobre secuencias vectoriales. Estas funciones recursivas dependen de dos términos contrapuestos: una reacción no lineal individual y una interacción espacial (acoplamiento) de intensidad variable. Los sistemas CML se pueden clasificar según la intensidad de este o estos parámetros de acoplamiento.

Gran parte del trabajo publicado actualmente en CML se basa en sistemas débilmente acoplados ^{[ 2 ]} , donde se estudian difeomorfismos del espacio de estados cercanos a la identidad. El acoplamiento débil con regímenes dinámicos monótonos ( biestables ) demuestra fenómenos de caos espacial y es popular en modelos neuronales. ^{[ 10 ]} Los mapas unimodales de acoplamiento débil se caracterizan por sus puntos periódicos estables y se utilizan en modelos de redes de regulación génica . Los fenómenos caóticos espacio-temporales pueden demostrarse a partir de mapeos caóticos sujetos a coeficientes de acoplamiento débil y son populares en modelos de fenómenos de transición de fase .

Las interacciones de acoplamiento intermedio y fuerte son áreas de estudio menos prolíficas. Las interacciones intermedias se estudian en relación con frentes y ondas viajeras , cuencas complejas, bifurcaciones complejas, cúmulos y fases no únicas. Las interacciones de acoplamiento fuerte son más conocidas por modelar los efectos de sincronización de sistemas espaciales dinámicos, como el modelo de Kuramoto .

Estas clasificaciones no reflejan la naturaleza de acoplamiento local o global (GML ^{[ 11 ]} ) de la interacción. Tampoco consideran la frecuencia del acoplamiento que puede existir como un grado de libertad en el sistema. ^{[ 12 ]} Finalmente, no distinguen entre tamaños del espacio subyacente o condiciones de contorno .

Sorprendentemente, la dinámica de los CML tiene poco que ver con los mapas locales que constituyen sus componentes elementales. Con cada modelo se requiere una investigación matemática rigurosa para identificar un estado caótico (más allá de la interpretación visual). Se han realizado demostraciones rigurosas al respecto. Por ejemplo: la existencia de caos espacio-temporal en interacciones espaciales débiles de mapas unidimensionales con fuertes propiedades estadísticas fue demostrada por Bunimovich y Sinai en 1988. ^{[ 13 ]} Existen demostraciones similares para mapas hiperbólicos débilmente acoplados bajo las mismas condiciones.

Para el caso en que el mapa subyacente se basa en un mapa de Bernoulli generalizado , se puede demostrar que el espectro de Lyapunov completo para la CML se puede evaluar analíticamente en una variedad de casos. ^{[ 14 ]}

Las CML han revelado nuevas clases de universalidad cualitativa en la fenomenología de las (CML). Dichas clases incluyen:

• Bifurcación espacial y caos congelado
• Selección de patrones
• Selección de patrones en zigzag y difusión caótica de defectos
• Intermitencia espacio-temporal
• Turbulencia de solitones
• Ondas viajeras globales generadas por deslizamientos de fase locales
• Bifurcación espacial hacia el flujo descendente en sistemas de flujo abierto.

Las clases cualitativas únicas enumeradas anteriormente pueden visualizarse. Al aplicar el modelo de Kaneko de 1983 a la logística${\displaystyle {f(x_{n})}=1-ax^{2}}$En el mapa se pueden observar varias de las clases cualitativas de CML. Estas se muestran a continuación; observe los parámetros únicos:

Las redes de mapas acoplados, al ser un prototipo de sistemas espacialmente extendidos fáciles de simular, han representado un punto de referencia para la definición e introducción de muchos indicadores de caos espacio-temporal; los más relevantes son:

• El espectro de potencia en el espacio y el tiempo
• Espectros de Lyapunov ^{[ 15 ]}
• Densidad dimensional
• Densidad de entropía de Kolmogorov-Sinai
• Distribuciones de patrones
• entropía de patrones
• Velocidad de propagación de perturbaciones finitas e infinitesimales
• Información mutua y correlación en el espacio-tiempo
• Exponentes de Lyapunov , localización de vectores de Lyapunov
• Exponentes de Lyapunov de tiempo comóvil y de subespacio .
• Exponentes de Lyapunov espaciales y temporales ^{[ 16 ]}

• Modelo reticular (física)
• Autómatas celulares
• exponente de Lyapunov
• Autómatas celulares estocásticos
• Mapa de Rulkov
• Mapa de Chialvo

• "Laboratorio Kaneko" .
• Dinámica de redes de mapas acoplados . París: Institut Henri Poincaré. 21 de junio - 2 de julio de 2004. Archivado del original el 26 de noviembre de 2006.
• «Instituto de Sistemas Complejos» . Istituto dei Sistemi Complessi .Florencia , Italia
• "Red de mapas acoplados y mapa acoplado globalmente" .
• "Herramienta de simulación y análisis para sistemas dinámicos" . AnT 4.669 . Archivado del original el 18 de julio de 2011.