Integral de Choquet

Una integral de Choquet es una integral subaditiva o superaditiva creada por el matemático francés Gustave Choquet en 1953. ^{[ 1 ]} Inicialmente se utilizó en mecánica estadística y teoría del potencial , ^{[ 2 ]} pero se incorporó a la teoría de la decisión en la década de 1980, ^{[ 3 ]} donde se utiliza como una forma de medir la utilidad esperada de un evento incierto. Se aplica específicamente a funciones de pertenencia y capacidades . En la teoría de la probabilidad imprecisa , la integral de Choquet también se utiliza para calcular la expectativa inferior inducida por una probabilidad inferior 2-monótona , o la expectativa superior inducida por una probabilidad superior 2-alternante .

Utilizar la integral de Choquet para denotar la utilidad esperada de las funciones de creencia medidas con capacidades es una forma de conciliar la paradoja de Ellsberg y la paradoja de Allais . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Los problemas de optimización multiobjetivo buscan soluciones óptimas de Pareto , pero el conjunto de Pareto de dichas soluciones puede ser extremadamente grande, especialmente con múltiples objetivos. Para abordar esto, la optimización suele centrarse en una función específica, como una suma ponderada , lo que generalmente da como resultado soluciones que forman una envoltura convexa del conjunto factible. Sin embargo, para capturar soluciones no convexas, se pueden utilizar operadores de agregación alternativos como la integral de Choquet. ^{[ 6 ]}

Se utiliza la siguiente notación:

• ${\displaystyle S}$– un conjunto.
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$– una colección de subconjuntos de${\displaystyle S}$.
• ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$– una función.
• ${\displaystyle \nu$ :{\mathcal {F}}\to \mathbb {R} ^{+}} – una función de conjunto monótona.

Supongamos que${\displaystyle f}$es medible con respecto a${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, eso es

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \colon \{s\in S\mid f(s)\geq x\}\in {\mathcal {F}}}$

Luego la integral de Choquet de${\displaystyle f}$con respecto a${\displaystyle \nu }$se define por:

${\displaystyle (C)\int fd\nu$ :=\int _{-\infty }^{0}(\nu (\{s|f(s)\geq x\})-\nu (S))\,dx+\int _{0}^{\infty }\nu (\{s|f(s)\geq x\})\,dx}

donde las integrales del lado derecho son la integral de Riemann usual (los integrandos son integrables porque son monótonos en${\displaystyle x}$).

En general, la integral de Choquet no satisface la aditividad. Más específicamente, si${\displaystyle \nu }$no es una medida de probabilidad, puede sostenerse que

${\displaystyle \int f\,d\nu +\int g\,d\nu \neq \int (f+g)\,d\nu .}$

para algunas funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$.

La integral de Choquet satisface las siguientes propiedades.

Dejar${\displaystyle G}$denotamos una función de distribución acumulativa tal que${\displaystyle G^{-1}}$es${\displaystyle dH}$integrable. Entonces, la siguiente fórmula se conoce a menudo como Integral de Choquet:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }G^{-1}(\alpha )dH(\alpha )=-\int _{-\infty }^{a}H(G(x))dx+\int _{a}^{\infty }{\hat {H}}(1-G(x))dx,}$

dónde${\displaystyle {\hat {H}}(x)=H(1)-H(1-x)}$.

• elegir${\displaystyle H(x):=x}$Llegar${\displaystyle \int _{0}^{1}G^{-1}(x)dx=E[X]}$,
• elegir${\displaystyle H(x):=1_{[\alpha ,x]}}$Llegar${\displaystyle \int _{0}^{1}G^{-1}(x)dH(x)=G^{-1}(\alpha )}$

La integral de Choquet se aplicó en el procesamiento de imágenes, el procesamiento de video y la visión por computadora. En la teoría de la decisión conductual, Amos Tversky y Daniel Kahneman utilizan la integral de Choquet y métodos relacionados en su formulación de la teoría de la perspectiva acumulativa. ^{[ 7 ]}

• Expectativa no lineal
• Superaditividad
• Subaditividad

• Gilboa, I.; Schmeidler, D. (1994). "Representaciones aditivas de medidas no aditivas y la integral de Choquet". Annals of Operations Research . 52 : 43–65 . doi : 10.1007/BF02032160 .
• Even, Y.; Lehrer, E. (2014) . "Integral de descomposición: unificando Choquet y las integrales cóncavas". Economic Theory . 56 (1): 33– 58. doi : 10.1007/s00199-013-0780-0 . MR 3190759. S2CID 1639979 .