Establecer función

En matemáticas, especialmente en teoría de la medida , una función de conjunto es una función cuyo dominio es una familia de subconjuntos de un conjunto dado y que (normalmente) toma sus valores en la línea de números reales extendida que consta de los números reales y${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},}$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \pm \infty .}$

Una función de conjunto generalmente tiene como objetivo medir subconjuntos de alguna manera. Las medidas son ejemplos típicos de funciones de conjunto de "medición". Por lo tanto, el término "función de conjunto" se utiliza a menudo para evitar la confusión entre el significado matemático de "medida" y su significado en el lenguaje común.

Si es una familia de conjuntos sobre (lo que significa que donde denota el conjunto potencia ), entonces una función de conjunto sobre es una función con dominio y codominio o, a veces, el codominio es en cambio algún espacio vectorial , como con las medidas vectoriales , las medidas complejas y las medidas con valores de proyección . El dominio de una función de conjunto puede tener cualquier número de propiedades; las propiedades y categorías de familias que se encuentran comúnmente se enumeran en la siguiente tabla. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\estilo de visualización \Omega}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (\Omega )}$${\displaystyle \wp (\Omega )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\estilo de visualización \mu}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\estilo de visualización [-\infty ,\infty ]}$

En general, se suele suponer que siempre está bien definido para todos o, equivalentemente, que no toma como valores tanto y . En este artículo se supondrá de este modo; aunque, como alternativa, todas las definiciones que aparecen a continuación podrían calificarse con afirmaciones como "siempre que se defina la suma/serie". Esto se hace a veces con resta, como con el siguiente resultado, que se cumple siempre que sea finitamente aditivo: ${\displaystyle \mu (E)+\mu (F)}$${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}},}$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización -\infty}$${\estilo de visualización +\infty}$${\estilo de visualización \mu}$

Fórmula de diferencia de conjuntos :se define consatisfaccióny${\displaystyle \mu (F)-\mu (E)=\mu (F\setminus E){\text{ siempre que }}\mu (F)-\mu (E)}$${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle E\subseteq F}$${\displaystyle F\setminus E\in {\mathcal {F}}.}$

Conjuntos nulos

Un conjunto se llama${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$conjunto nulo (con respecto a) o simplemente${\estilo de visualización \mu}$null si Wheneverno es idénticamente igual a ninguno de los dosoentonces normalmente también se supone que: ${\displaystyle \mu(F)=0.}$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización -\infty}$${\estilo de visualización +\infty}$

• conjunto vacío nulo :si${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$${\displaystyle \varnothing \en {\mathcal {F}}.}$

Variación y masa

ElLa variación total de un conjunto es dondedenota elvalor absoluto(o más generalmente, denota lanormaoseminormasitiene un valor vectorial en unespaciosemi)). Suponiendo queentoncesse llama${\estilo de visualización S}$$${\displaystyle |\mu |(S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup\{|\mu (F)|:F\in {\mathcal {F}}{\text{ y }}F\subseteq S\}}$$${\displaystyle |\,\cdot \,|}$${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F\in {\mathcal {F}},}$${\displaystyle |\mu |\left(\cup {\mathcal {F}}\right)}$La variación total deyse llama${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle \mu \left(\cup {\mathcal {F}}\right)}$masa de${\displaystyle \mu .}$

Una función de conjunto se llamafinito si para cadavalores${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$${\displaystyle \mu (F)}$finito (que por definición significa quey; un${\displaystyle \mu (F)\neq \infty}$${\displaystyle \mu (F)\neq -\infty}$valor infinito es aquel que es igual ao). Toda función de conjunto finito debe tener una masa finita. ${\estilo de visualización\infty}$${\estilo de visualización -\infty}$

Se dice que una función de conjunto es ^[1]${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• no negativo si se valora en${\displaystyle [0,\infty ].}$
• finitamente aditivo sipara todaslas secuencias finitasdisjuntas por parestales que${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\right)}$${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\in {\mathcal {F}}.}$
  • Si es cerrado bajo uniones binarias entonces es finitamente aditivo si y sólo si para todos los pares disjuntos${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle \mu (E\cup F)=\mu (E)+\mu (F)}$${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}.}$
  • Si es finitamente aditivo y si entonces tomar muestra que solo es posible si o donde en el último caso, para cada (por lo que solo el caso es útil).${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle E:=F:=\varnothing }$${\displaystyle \mu (\varnothing )=\mu (\varnothing )+\mu (\varnothing )}$${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$${\displaystyle \mu (\varnothing )=\pm \infty ,}$${\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing )=\mu (E)+(\pm \infty )=\pm \infty }$${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• contablemente aditivo oσ-aditivo ^[2]si además de ser finitamente aditivo, para todaslas secuenciasdisjuntas por paresentales quese cumplen todas las siguientes condiciones: ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}},}$
  1. ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$
     • La serie del lado izquierdo se define de la forma habitual como el límite${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).}$
     • En consecuencia, si es cualquier permutación / biyección , entonces esto es así porque y aplicar esta condición (a) dos veces garantiza que tanto y se cumplen. Por definición, se dice que una serie convergente con esta propiedad es incondicionalmente convergente . Dicho en términos sencillos , esto significa que reorganizar/reetiquetar los conjuntos al nuevo orden no afecta la suma de sus medidas. Esto es deseable ya que, así como la unión no depende del orden de estos conjuntos, lo mismo debería ser cierto para las sumas y${\displaystyle \rho :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right);}$${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right)}$${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots }$${\displaystyle F_{\rho (1)},F_{\rho (2)},\ldots }$${\displaystyle F~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}$${\displaystyle \mu (F)=\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots }$${\displaystyle \mu (F)=\mu \left(F_{\rho (1)}\right)+\mu \left(F_{\rho (2)}\right)+\cdots \,.}$
  2. Si no es infinita, entonces esta serie también debe converger absolutamente , lo que por definición significa que debe ser finita. Esto es automáticamente cierto si no es negativo (o incluso si solo está valorado en los números reales extendidos). ${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$${\displaystyle \mu }$
     • Al igual que con cualquier serie convergente de números reales, por el teorema de la serie de Riemann , la serie converge absolutamente si y solo si su suma no depende del orden de sus términos (una propiedad conocida como convergencia incondicional ). Dado que la convergencia incondicional está garantizada por (a) anterior, esta condición es automáticamente verdadera si se valora en${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)={\displaystyle \lim _{N\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots +\mu \left(F_{N}\right)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$
  3. Si es infinito, entonces también se requiere que el valor de al menos una de las series sea finito (de modo que la suma de sus valores esté bien definida). Esto es automáticamente cierto si es no negativo.${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)>0}}\mu \left(F_{i}\right)\;{\text{ and }}\;\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)<0}}\mu \left(F_{i}\right)\;}$${\displaystyle \mu }$
• apre-medida si no es negativa,contablemente aditiva(incluyendo finitamente aditiva) y tiene un conjunto vacío nulo.
• amedida si se trata de una premedida cuyo dominio es unaσ-álgebra. Es decir, una medida es una función de conjunto aditiva contable no negativa en una σ-álgebra que tiene un conjunto vacío nulo.
• amedida de probabilidad si es una medida que tiene una masa de${\displaystyle 1.}$
• unmedida exterior si no es negativa, contablemente subaditiva, tiene un conjunto vacío nulo y tiene elconjunto potencia como su dominio. ${\displaystyle \wp (\Omega )}$
  • Las medidas externas aparecen en el teorema de extensión de Carathéodory y a menudo están restringidas a subconjuntos mensurables de Carathéodory.
• amedida con signo si es contablemente aditiva, tiene un conjunto vacío nulo yno toma tantocomovalores.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$
• completo si cada subconjunto de cada conjunto nulo es nulo; explícitamente, esto significa: siempre queyes cualquier subconjunto deentoncesy${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ satisfies }}\mu (F)=0}$${\displaystyle N\subseteq F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle N\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mu (N)=0.}$
  • A diferencia de muchas otras propiedades, la completitud impone requisitos al conjunto (y no sólo a los valores de ).${\displaystyle \operatorname {domain} \mu ={\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mu }$
• 𝜎-finito si existe una secuenciaental quees finita para cada índicey también${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$${\displaystyle i,}$${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }F_{n}=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F.}$
• descomponible si existe una subfamiliade conjuntos disjuntos por pares tales quesea finita para caday también(donde). ${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mu (P)}$${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{P\in {\mathcal {P}}}\,P=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\operatorname {domain} \mu }$
  • Toda función de conjunto 𝜎-finito es descomponible, aunque no a la inversa. Por ejemplo, la medida de conteo en (cuyo dominio es ) es descomponible, pero no 𝜎-finita.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )}$
• amedida vectorial si se trata de una función de conjunto aditiva contablevalorada en unespacio vectorial topológico(tal como unespacio normado) cuyo dominio es unaσ-álgebra. ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$ ${\displaystyle X}$
  • Si se valora en un espacio normado , entonces es contablemente aditivo si y solo si para cualquier secuencia disjunta por pares en Si es finitamente aditivo y se valora en un espacio de Banach , entonces es contablemente aditivo si y solo si para cualquier secuencia disjunta por pares en${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right)-\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\right\|=0.}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{n}\cup F_{n+1}\cup F_{n+2}\cup \cdots \right)\right\|=0.}$
• amedida compleja si se trata de unafunción de conjuntocomplejocuyo dominio es unaσ-álgebra. ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to \mathbb {C} }$
  • Por definición, una medida compleja nunca toma como valor y por lo tanto tiene un conjunto vacío nulo.${\displaystyle \pm \infty }$
• amedida aleatoria si es unelemento aleatorio.

Sumas arbitrarias

Como se describe en la sección de este artículo sobre series generalizadas , para cualquier familia de números reales indexados por un conjunto de indexación arbitrario es posible definir su suma como el límite de la red de sumas parciales finitas donde el dominio está dirigido por Siempre que esta red converge, entonces su límite se denota por los símbolos mientras que si esta red en cambio diverge hacia entonces esto se puede indicar escribiendo Cualquier suma sobre el conjunto vacío se define como cero; es decir, si entonces por definición. ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I,}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$${\displaystyle F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}}$${\displaystyle \operatorname {FiniteSubsets} (I)}$${\displaystyle \,\subseteq .\,}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$${\displaystyle \pm \infty }$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\pm \infty .}$${\displaystyle I=\varnothing }$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in \varnothing }r_{i}=0}$

Por ejemplo, si para cada entonces Y se puede demostrar que Si entonces la serie generalizada converge en si y solo si converge incondicionalmente (o equivalentemente, converge absolutamente ) en el sentido usual. Si una serie generalizada converge en entonces tanto y también convergen a elementos de y el conjunto es necesariamente numerable (es decir, finito o numerablemente infinito ); esto sigue siendo cierto si se reemplaza con cualquier espacio normado . ^{[prueba 1]} De ello se deduce que para que una serie generalizada converja en o es necesario que todos excepto como máximo numerable muchos sean iguales a lo que significa que es una suma de como máximo numerable muchos términos distintos de cero. Dicho de otra manera, si es incontable entonces la serie generalizada no converge. ${\displaystyle z_{i}=0}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}z_{i}=0.}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}=0}}r_{i}+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=0+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}.}$${\displaystyle I=\mathbb {N} }$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}>0}}r_{i}}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}<0}}r_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}}$${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$

En resumen, debido a la naturaleza de los números reales y su topología, cada serie generalizada de números reales (indexada por un conjunto arbitrario) que converge puede reducirse a una serie ordinaria absolutamente convergente de un número contable de números reales. Por lo tanto, en el contexto de la teoría de la medida, hay poco beneficio obtenido al considerar un número incontable de conjuntos y series generalizadas. En particular, esta es la razón por la que la definición de "contablemente aditivo" rara vez se extiende desde un número contable de conjuntos en (y la serie contable habitual ) a un número arbitrario de conjuntos (y la serie generalizada ). ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$${\displaystyle \left(F_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}\mu \left(F_{i}\right)}$

Se dice que una función de conjunto satisface ^[1]${\displaystyle \mu }$

• monótono sisiempresatisface${\displaystyle \mu (E)\leq \mu (F)}$${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle E\subseteq F.}$
• modular si satisface la siguiente condición, conocida comomodularidad:para todosaquellos que${\displaystyle \mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)=\mu (E)+\mu (F)}$${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.}$
  • Toda función finitamente aditiva en un cuerpo de conjuntos es modular.
  • En geometría, una función de conjunto valorada en algún semigrupo abeliano que posee esta propiedad se conoce como valuación . Esta definición geométrica de "valuación" no debe confundirse con la definición teórica de medida no equivalente más fuerte de "valuación" que se da a continuación.
• submodular sipara todostales que${\displaystyle \mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)\leq \mu (E)+\mu (F)}$${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.}$
• finitamente subaditivo sipara todas las secuencias finitasque satisfacen${\displaystyle |\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$${\displaystyle F,F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}.}$
• subaditivo contable oσ-subaditivo sipara todas las sucesionesenque se satisface${\displaystyle |\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$${\displaystyle F,F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}.}$
  • Si está cerrado bajo uniones finitas, entonces esta condición se cumple si y solo si para todos los Si no es negativo, entonces los valores absolutos pueden eliminarse.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle |\mu (F\cup G)|\leq |\mu (F)|+|\mu (G)|}$${\displaystyle F,G\in {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle \mu }$
  • Si es una medida, entonces esta condición se cumple si y solo si para todo en ^[3]. Si es una medida de probabilidad , entonces esta desigualdad es la desigualdad de Boole .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle \mu }$
  • Si es contablemente subaditivo y con entonces es finitamente subaditivo.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$${\displaystyle \mu }$
• superaditivo sisiempreque son disjuntos con${\displaystyle \mu (E)+\mu (F)\leq \mu (E\cup F)}$${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle E\cup F\in {\mathcal {F}}.}$
• continua desde arriba sipara todaslas sucesiones no crecientesde conjuntosentales quecony todosfinitos. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$${\displaystyle F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq F_{3}\cdots \,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$
  • La medida de Lebesgue es continua desde arriba, pero no lo sería si se omitiera de la definición el supuesto de que todos son eventualmente finitos, como lo muestra este ejemplo: Para cada entero, sea el intervalo abierto tal que donde${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$${\displaystyle i,}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle (i,\infty )}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lambda \left(F_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\infty =\infty \neq 0=\lambda (\varnothing )=\lambda \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$${\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\varnothing .}$
• continua desde abajo sipara todaslas secuencias no decrecientesde conjuntosentales que${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$${\displaystyle F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq F_{3}\cdots \,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}.}$
• Se llega al infinito desde abajo si siempre quesatisfaceentonces para cada realexiste algotal quey${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mu (F)=\infty }$${\displaystyle r>0,}$${\displaystyle F_{r}\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle F_{r}\subseteq F}$${\displaystyle r\leq \mu \left(F_{r}\right)<\infty .}$
• una medida externa si no es negativa, contablemente subaditiva, tiene un conjunto vacío nulo y tiene el conjunto potencia como su dominio.${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \wp (\Omega )}$
• unmedida interna sino es negativa, superaditiva, continua desde arriba, tiene un conjunto vacío nulo, tiene elconjunto potenciacomo dominio y se aproxima a + ∞ {\displaystyle +\infty } desde abajo.${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \wp (\Omega )}$
• atómico si cada conjunto medible de medida positiva contiene un átomo .

Si se define una operación binaria , entonces se dice que una función de conjunto es ${\displaystyle \,+\,}$${\displaystyle \mu }$

• traducción invariante sipara todosytal que${\displaystyle \mu (\omega +F)=\mu (F)}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \omega +F\in {\mathcal {F}}.}$

Si es una topología en entonces se dice que una función de conjunto es: ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mu }$

• aMedida de Borel si es una medida definida en la σ-álgebra de todoslos conjuntos de Borel, que es la σ-álgebra más pequeña que contiene todos los subconjuntos abiertos (es decir, que contiene).${\displaystyle \tau }$
• aMedida de Baire si es una medida definida en el σ-álgebra de todoslos conjuntos de Baire.
• localmente finito si para cada puntoexiste alguna vecindadde este punto tal quesea finito. ${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle U\in {\mathcal {F}}\cap \tau }$${\displaystyle \mu (U)}$
  • Si es finitamente aditivo, monótono y localmente finito, entonces es necesariamente finito para cada subconjunto medible compacto.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu (K)}$${\displaystyle K.}$
• ${\displaystyle \tau }$-aditivo sisiempreque sedirigecon respecto ay satisface${\displaystyle \mu \left({\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}\right)=\sup _{D\in {\mathcal {D}}}\mu (D)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \tau \cap {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$${\displaystyle {\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{D\in {\mathcal {D}}}D\in {\mathcal {F}}.}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$se dirige con respecto a si y sólo si no está vacío y para todo existe algo tal que y${\displaystyle \,\subseteq \,}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}}$${\displaystyle C\in {\mathcal {D}}}$${\displaystyle A\subseteq C}$${\displaystyle B\subseteq C.}$
• interior regular oapretado si para cada${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mu (F)=\sup\{\mu (K):F\supseteq K{\text{ with }}K\in {\mathcal {F}}{\text{ a compact subset of }}(\Omega ,\tau )\}.}$
• exterior regular si para cada${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mu (F)=\inf\{\mu (U):F\subseteq U{\text{ and }}U\in {\mathcal {F}}\cap \tau \}.}$
• regular si es tanto regular internamente como regular externamente.
• aMedida regular de Borel si se trata de una medida de Borel que también esregular.
• aMedida de radón si es una medida regular y localmente finita.
• estrictamente positivo si cada subconjunto abierto no vacío tiene medida (estrictamente) positiva.
• avaloración si no es negativa, monótona, modular, tiene un conjunto vacío nulo y tiene dominio${\displaystyle \tau .}$

Si y son dos funciones de conjunto entonces: ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \Omega ,}$

• ${\displaystyle \mu }$se dice que esabsolutamente continua con respecto a${\displaystyle \nu }$odominada por${\displaystyle \nu }$, escritasi para cada conjuntoque pertenece al dominio de ambosysientonces${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu ,}$${\displaystyle \nu (F)=0}$${\displaystyle \mu (F)=0.}$
  • Si y son medidas -finitas en el mismo espacio medible y si entonces existe la derivada de Radon-Nikodym y para cada espacio medible${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$ ${\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}}$${\displaystyle F,}$ $${\displaystyle \mu (F)=\int _{F}{\frac {d\mu }{d\nu }}d\nu .}$$
  • ${\displaystyle \mu }$y se llaman${\displaystyle \nu }$equivalente si cada uno es absolutamente continuo con respecto al otro. se llama${\displaystyle \mu }$medida de apoyo de una medidasies-finitay son equivalentes.^[4]${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \mu }$y son${\displaystyle \nu }$singular , escritosi existen conjuntos disjuntosyen los dominios deytales quepara todosen el dominio deypara todosen el dominio de${\displaystyle \mu \perp \nu ,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle M\cup N=\Omega ,}$ ${\displaystyle \mu (F)=0}$${\displaystyle F\subseteq M}$${\displaystyle \mu ,}$${\displaystyle \nu (F)=0}$${\displaystyle F\subseteq N}$${\displaystyle \nu .}$

Algunos ejemplos de funciones de conjunto incluyen:

• La función que asigna densidades a subconjuntos con un comportamiento suficientemente bueno es una función de conjunto.$${\displaystyle d(A)=\lim _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\ldots ,n\}|}{n}},}$$${\displaystyle A\subseteq \{1,2,3,\ldots \},}$
• Una medida de probabilidad asigna una probabilidad a cada conjunto en un σ-álgebra . Específicamente, la probabilidad del conjunto vacío es cero y la probabilidad del espacio muestral es con otros conjuntos dados probabilidades entre y${\displaystyle 1,}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1.}$
• Una medida de posibilidad asigna un número entre cero y uno a cada conjunto en el conjunto potencia de un conjunto dado. Véase teoría de posibilidades .
• Un conjunto aleatorio es una variable aleatoria con valores determinados . Véase el artículo conjunto aleatorio compacto .

La medida de Jordan es una función de conjunto definida en el conjunto de todos los subconjuntos medibles de Jordan y envía un conjunto medible de Jordan a su medida de Jordan. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n};}$

La medida de Lebesgue es una función de conjunto que asigna un número real no negativo a cada conjunto de números reales que pertenece al álgebra de Lebesgue. ^[5]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \sigma }$

Su definición comienza con el conjunto de todos los intervalos de números reales, que es una semiálgebra en La función que asigna a cada intervalo su es una función de conjunto finitamente aditiva (explícitamente, si tiene puntos finales entonces ). Esta función de conjunto se puede extender a la medida externa de Lebesgue en que es la función de conjunto invariante en traslación que envía un subconjunto al ínfimo La medida externa de Lebesgue no es contablemente aditiva (y por lo tanto no es una medida) aunque su restricción al 𝜎-álgebra de todos los subconjuntos que satisfacen el criterio de Carathéodory : es una medida que se llama medida de Lebesgue . Los conjuntos de Vitali son ejemplos de conjuntos no medibles de números reales. ${\displaystyle \operatorname {Intervals} (\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \operatorname {length} (I)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle \operatorname {length} (I)=b-a}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}:\wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]}$${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {length} (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.}$$${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} }$$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(M)=\lambda ^{\!*\!}(M\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(M\cap E^{c})\quad {\text{ for every }}S\subseteq \mathbb {R} }$$

Como se detalla en el artículo sobre la medida de Lebesgue de dimensión infinita , la única medida de Borel localmente finita e invariante en la traslación en un espacio normado separable de dimensión infinita es la medida trivial . Sin embargo, es posible definir medidas gaussianas en espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita . El teorema de estructura para medidas gaussianas muestra que la construcción abstracta del espacio de Wiener es esencialmente la única forma de obtener una medida gaussiana estrictamente positiva en un espacio de Banach separable .

La única medida invariante en la traducción con dominio que es finito en cada subconjunto compacto de es la función de conjunto trivial que es idénticamente igual a (es decir, envía cada a ) ^[6] Sin embargo, si la aditividad contable se debilita a la aditividad finita, entonces existe una función de conjunto no trivial con estas propiedades y, además, algunas incluso se valoran en De hecho, tales funciones de conjunto no triviales existirán incluso si se reemplaza por cualquier otro grupo abeliano ^[7]${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle [0,1].}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G.}$

Supongamos que es una función de conjunto en una semiálgebra sobre y sea que es el álgebra sobre generada por El ejemplo arquetípico de una semiálgebra que no es también un álgebra es la familia sobre donde para todos ^[9] Es importante destacar que las dos desigualdades no estrictas en no se pueden reemplazar con desigualdades estrictas ya que las semiálgebras deben contener todo el conjunto subyacente , es decir, es un requisito de las semiálgebras (como es ). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \Omega }$$${\displaystyle \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}):=\left\{F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}:n\in \mathbb {N} {\text{ and }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ are pairwise disjoint }}\right\},}$$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{d}:=\{\varnothing \}\cup \left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{1},b_{1}\right]~:~-\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty {\text{ for all }}i=1,\ldots ,d\right\}}$$${\displaystyle \Omega :=\mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle (a,b]:=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}}$${\displaystyle -\infty \leq a<b\leq \infty .}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle -\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty }$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d};}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\in {\mathcal {S}}_{d}}$${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}_{d}}$

Si es finitamente aditivo entonces tiene una extensión única a una función de conjunto definida enviando (donde indica que estos son disjuntos por pares ) a: ^[9] Esta extensión también será finitamente aditiva: para cualquier disjunto por pares ^[9]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\overline {\mu }}}$${\displaystyle \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$${\displaystyle F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$${\displaystyle \,\sqcup \,}$${\displaystyle F_{i}\in {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\right):=\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).}$$${\displaystyle {\overline {\mu }}}$${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}),}$ $${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\right)={\overline {\mu }}\left(A_{1}\right)+\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).}$$