Teoría de Choquet

En matemáticas , la teoría de Choquet , que recibe su nombre de Gustave Choquet , es un área del análisis funcional y del análisis convexo que se ocupa de medidas cuyo soporte se encuentra en los puntos extremos de un conjunto convexo C. En términos generales, cada vector de C debería aparecer como un promedio ponderado de los puntos extremos, un concepto que se precisa al generalizar la noción de promedio ponderado de una combinación convexa a una integral sobre el conjunto E de puntos extremos. Aquí, C es un subconjunto de un espacio vectorial real V , y el objetivo principal de la teoría es tratar los casos en los que V es un espacio vectorial topológico de dimensión infinita (localmente convexo de Hausdorff) siguiendo líneas similares al caso de dimensión finita. Las principales preocupaciones de Gustave Choquet se centraban en la teoría del potencial . La teoría de Choquet se ha convertido en un paradigma general, particularmente para el tratamiento de conos convexos determinados por sus rayos extremos , y por lo tanto, para muchas nociones diferentes de positividad en matemáticas.

Los dos extremos de un segmento de línea determinan los puntos intermedios: en términos vectoriales, el segmento de v a w consta de λ v + (1 − λ) w con 0 ≤ λ ≤ 1. El resultado clásico de Hermann Minkowski dice que en el espacio euclidiano , un conjunto convexo cerrado y acotado C es la envoltura convexa de su conjunto de puntos extremos E , de modo que cualquier c en C es una combinación convexa (finita) de puntos e de E. Aquí E puede ser un conjunto finito o infinito . En términos vectoriales, al asignar pesos no negativos w ( e ) a los e en E , casi todos 0, podemos representar cualquier c en C como $${\displaystyle c=\sum _ {e\in E}w(e)e\ }$$ con $${\displaystyle \sum _ {e\in E}w(e)=1.\ }$$

En cualquier caso, w ( e ) proporciona una medida de probabilidad soportada en un subconjunto finito de E. Para cualquier función afín f en C , su valor en el punto c es $${\displaystyle f(c)=\int f(e)dw(e).}$$

En un escenario de dimensiones infinitas, cabría hacer una afirmación similar.

El teorema de Choquet establece ^{[ 1 ] [ 2 ]} que para un subconjunto compacto , convexo y metrizable C de un espacio vectorial topológico localmente convexo V , dado c en C existe una medida de probabilidad w en C soportada en el conjunto E de puntos extremos de C tal que, para cualquier función afín f en C,

${\displaystyle f(c)=\int f(e)dw(e).}$

En la práctica, V podría ser un espacio de Banach, pero en muchos casos importantes V no lo es, e incluso es posible que V mismo no sea metrizable, como en el caso de V con topología débil-* . El teorema original de Krein-Milman se deduce del resultado de Choquet. Otro corolario es el teorema de representación de Riesz para estados en funciones continuas en un espacio compacto de Hausdorff metrizable.

De manera más general, cuando C no es metrizable, el teorema de Choquet-Bishop-de Leeuw ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} proporciona una representación similar con una medida de probabilidad que se anula en los subconjuntos de Baire de C que no contienen puntos extremos.

Además de la existencia de una medida de probabilidad con soporte en el límite extremo que representa un punto c dado , también se puede considerar la unicidad de dichas medidas. Es fácil ver que la unicidad no se cumple ni siquiera en el contexto de dimensión finita. Se puede tomar, como contraejemplo, el conjunto convexo como un ^cubo o una bola en R³ . Sin embargo, la unicidad sí se cumple cuando el conjunto convexo es un símplex de dimensión finita . Un símplex de dimensión finita es un caso especial de un símplex de Choquet . Cualquier punto en un símplex de Choquet está representado por una medida de probabilidad única en los puntos extremos.

• Teorema de Carathéodory : Un punto en la envoltura convexa de un conjunto P en Rd es la combinación convexa de d+1 puntos en P. 
• Teorema de Helly : Teorema sobre las intersecciones de conjuntos convexos de dimensión d. 
• Teorema de Krein-Milman : Sobre cuándo un espacio es igual a la envoltura convexa cerrada de sus puntos extremos. 
• Lista de temas de convexidad
• Lema de Shapley-Folkman : Las sumas de conjuntos de vectores son casi convexas. 

• Asimow, L.; Ellis, AJ (1980). Teoría de la convexidad y sus aplicaciones en el análisis funcional . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Vol.  16. Londres-Nueva York: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Editores]. pp.  x+266. ISBN 0-12-065340-0. SR 0623459 . 
• Bourgin, Richard D. (1983). Aspectos geométricos de conjuntos convexos con la propiedad de Radon-Nikodým . Lecture Notes in Mathematics. Vol.  993. Berlín: Springer-Verlag. pp.  xii+474. ISBN 3-540-12296-6MR 0704815 .​ 
• Phelps, Robert R. (2001). Conferencias sobre el teorema de Choquet . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol.  1757 (Segunda edición de 1966  ed.). Berlín: Springer-Verlag. págs.  viii+124. ISBN 3-540-41834-2. SR 1835574 . 
• "Choquet simplex" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]