Cuerda (geometría)

En geometría , una cuerda ( del latín chorda , que significa "cuerda " ) de un círculo es un segmento de línea recta cuyos extremos se encuentran sobre un arco circular . Si una cuerda se extendiera infinitamente en ambas direcciones formando una línea , el objeto resultante sería una línea secante . La línea perpendicular que pasa por el punto medio de la cuerda se denomina sagita (del latín "flecha"). 

En términos más generales, una cuerda es un segmento de línea que une dos puntos en cualquier curva , por ejemplo, en una elipse . Una cuerda que pasa por el centro de un círculo es el diámetro del círculo .

Entre las propiedades de las cuerdas de un círculo se encuentran las siguientes:

1. Las cuerdas son equidistantes del centro si y solo si sus longitudes son iguales.
2. Las cuerdas iguales están subtendidas por ángulos iguales desde el centro del círculo.
3. Una cuerda que pasa por el centro de un círculo se llama diámetro y es la cuerda más larga de ese círculo en particular.
4. Si las extensiones de línea (líneas secantes) de las cuerdas AB y CD se intersecan en un punto P , entonces sus longitudes satisfacen AP · PB = CP · PD ( teorema de la potencia de un punto ).

Los puntos medios de un conjunto de cuerdas paralelas de una cónica son colineales ( teorema del punto medio para cónicas ). ^{[ 1 ]}

Las cuerdas se utilizaron ampliamente en el desarrollo inicial de la trigonometría . La primera tabla trigonométrica conocida, compilada por Hiparco en el siglo II a. C., ya no existe, pero tabulaba el valor de la función de cuerda para cada 7 + 1/2 grados . En el siglo II d. C., Ptolomeo compiló una tabla de cuerdas más extensa en su libro de astronomía, dando el valor de la cuerda para ángulos que iban desde 1/2 hasta 180 grados en incrementos de 1/2 grado . Ptolomeo usó un círculo de 120 de diámetro y dio longitudes de cuerda con una precisión de dos dígitos sexagesimales (base sesenta) después de la parte entera. ^{[ 2 ]}

La función de cuerda se define geométricamente como se muestra en la imagen. La cuerda de un ángulo es la longitud de la cuerda entre dos puntos en un círculo unitario separados por ese ángulo central . El ángulo θ se toma en sentido positivo y debe estar en el intervalo 0 < θ ≤ π (medida en radianes). La función de cuerda se puede relacionar con la función seno moderna , tomando uno de los puntos como (1,0) y el otro como (cos θ , sin θ ) , y luego usando el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la cuerda: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \operatorname {crd} \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin {\frac {\theta }{2}}}$$^{[ 3 ]}

El último paso utiliza la fórmula del ángulo mitad . Así como la trigonometría moderna se basa en la función seno, la trigonometría antigua se basaba en la función cuerda. Se dice que Hiparco escribió una obra de doce volúmenes sobre cuerdas, ahora perdida, por lo que presumiblemente se sabía mucho sobre ellas. En la tabla siguiente (donde c es la longitud de la cuerda y D el diámetro del círculo) se puede demostrar que la función cuerda satisface muchas identidades análogas a las modernas bien conocidas:

También existe la función inversa: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\frac {c}{2r}}}$

• Segmento circular : la parte del sector que queda después de eliminar el triángulo formado por el centro del círculo y los dos extremos del arco circular en el límite.
• Escala de acordes
• Tabla de acordes de Ptolomeo
• Teorema de Holditch , para una cuerda que gira en una curva cerrada convexa.
• Gráfico circular
• Exsecante y excosecante
• Versina y haversina – (${\displaystyle \operatorname {crd} \theta =2{\sqrt {\operatorname {haversin} \theta }}}$)
• Curva de Zindler (curva cerrada y simple en la que todas las cuerdas que dividen la longitud del arco en dos mitades tienen la misma longitud).
• Paradoja de Bertrand (probabilidad) paradoja de la longitud media de la cuerda

• Esquema de la historia de la trigonometría
• Funciones trigonométricas. Archivado el 10 de marzo de 2017 en Wayback Machine , centrándose en la historia.
• Cuerda (de un círculo) Con animación interactiva