Variedad de Chow

En matemáticas , particularmente en el campo de la geometría algebraica , una variedad de Chow es una variedad algebraica cuyos puntos corresponden a ciclos algebraicos efectivos de dimensión y grado fijos en un espacio proyectivo dado . Más precisamente, la variedad de Chow ^{[ 1 ]}${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$es la variedad de módulos finos que parametriza todos los ciclos algebraicos efectivos de dimensión${\displaystyle k-1}$y título${\displaystyle d}$en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$.

La variedad Chow${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$puede construirse mediante una incrustación de Chow en un espacio proyectivo suficientemente grande. Esta es una generalización directa de la construcción de una variedad grassmanniana mediante la incrustación de Plücker , ya que las grassmannianas son las${\displaystyle d=1}$caso de variedades de Chow.

Las variedades de Chow se distinguen de los grupos de Chow , que son el grupo abeliano de todos los ciclos algebraicos en una variedad (no necesariamente un espacio proyectivo) salvo equivalencia racional. Ambos reciben su nombre de Wei-Liang Chow (周煒良), pionero en el estudio de los ciclos algebraicos.

Si X es una subvariedad cerrada de${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$de dimensión${\displaystyle k-1}$, el grado de X es el número de puntos de intersección entre X y un genérico ^{[ 2 ]}${\displaystyle (nk)}$subespacio proyectivo de dimensión${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$. ^{[ 3 ]}

El grado es constante en familias ^{[ 4 ]} de subvariedades, excepto en ciertos límites degenerados. Para ver esto, considérese la siguiente familia parametrizada por t.

${\displaystyle X_{t}:=V(x^{2}-tyz)\subset \mathbb {P} ^{2}}$.

Cuando sea${\displaystyle t\neq 0}$,${\displaystyle X_{t}}$es una cónica (una subvariedad irreducible de grado 2), pero${\displaystyle X_{0}}$degenera hasta la línea${\displaystyle x=0}$(que tiene grado 1). Hay varios enfoques para conciliar este problema, pero el más simple es declarar${\displaystyle X_{0}}$ser una línea de multiplicidad 2 (y más generalmente adjuntar multiplicidades a subvariedades) utilizando el lenguaje de los ciclos algebraicos .

A${\displaystyle (k-1)}$Un ciclo algebraico de dimensión - es una combinación lineal formal finita.

${\displaystyle X=\sum _{i}m_{i}X_{i}}$.

en el cual${\displaystyle X_{i}}$s son${\displaystyle (k-1)}$Subvariedades cerradas irreducibles de dimensión -${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$, y${\displaystyle m_{i}}$s son enteros. Un ciclo algebraico es efectivo si cada${\displaystyle m_{i}\geq 0}$El grado de un ciclo algebraico se define como

${\displaystyle \deg(X):=\sum _{i}m_{i}\deg(X_{i})}$.

Un polinomio homogéneo o un ideal homogéneo en n variables define un ciclo algebraico efectivo en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$, en la que la multiplicidad de cada componente irreducible es el orden de anulación en ese componente. En la familia de ciclos algebraicos definidos por${\displaystyle x^{2}-tyz}$, el${\displaystyle t=0}$El ciclo es 2 veces la línea ${\displaystyle x=0}$, que tiene grado 2. De manera más general, el grado de un ciclo algebraico es constante en familias, por lo que tiene sentido considerar el problema de los módulos de ciclos algebraicos efectivos de dimensión y grado fijos.

Existen tres clases especiales de variedades de Chow Chow con elaboraciones particularmente sencillas.

Sea X una subvariedad irreducible en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$de dimensión k-1 y grado d. Por definición de grado, la mayoría${\displaystyle (nk)}$Subespacios proyectivos de dimensión -${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$intersecan X en d puntos. Por el contrario, la mayoría${\displaystyle (nk-1)}$Subespacios proyectivos de dimensión -${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$no se intersecan en X en absoluto. Esto se puede mejorar de la siguiente manera.

Lema. ^{[ 6 ]} El conjunto${\displaystyle Z(X)\subset \operatorname {Gr} (nk,n)}$parametrizando los subespacios de${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$que interseca X de manera no trivial es una hipersuperficie irreducible de grado ^{[ 7 ]} d.

Como consecuencia, existe una forma de grado d ^{[ 8 ]}${\displaystyle R_{X}}$en${\displaystyle \operatorname {Gr} (nk,n)}$que desaparece precisamente en${\displaystyle Z(X)}$y esta forma es única salvo escala. Esta construcción puede extenderse a un ciclo algebraico.${\displaystyle X=\sum _{i}m_{i}X_{i}}$declarando que${\displaystyle R_{X}:=\prod _{i}R_{X_{i}}^{m_{i}}}$A cada ciclo algebraico de grado d se le asocia una forma de grado d.${\displaystyle R_{X}}$en${\displaystyle \operatorname {Gr} (nk,n)}$, denominada forma de Chow de X, que está bien definida salvo por el escalado.

Dejar${\displaystyle V_{k,d,n}}$denotemos el espacio vectorial de grado d formas en${\displaystyle \operatorname {Gr} (nk,n)}$.

El teorema de Chow-van-der-Waerden. ^{[ 9 ]} El mapa${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)\hookrightarrow \mathbb {P} V_{k,d,n}}$que envía${\displaystyle X\mapsto R_{X}}$es una incrustación cerrada de variedades.

En particular, un ciclo algebraico efectivo X está determinado por su forma de Chow.${\displaystyle R_{X}}$.

Si una base para${\displaystyle V_{k,d,n}}$ha sido elegido, enviando${\displaystyle X}$a los coeficientes de${\displaystyle R_{X}}$En esta base se obtiene un sistema de coordenadas homogéneas en la variedad de Chow.${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$, llamadas las coordenadas de Chow de${\displaystyle X}$Sin embargo, como no existe consenso sobre cuál es la mejor base para${\displaystyle V_{k,d,n}}$Este término puede resultar ambiguo.

Desde una perspectiva fundamental, el teorema anterior se utiliza habitualmente como la definición de${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$. Es decir, la variedad Chow se define generalmente como una subvariedad de${\displaystyle \mathbb {P} V_{k,d,n}}$y solo entonces se demostró que era un espacio de módulos adecuado para el problema de módulos en cuestión.

Una solución más sofisticada al problema de contar "correctamente" el grado de una subvariedad degenerada es trabajar con subesquemas de${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$en lugar de subvariedades. Los esquemas pueden registrar información infinitesimal que las variedades y los ciclos algebraicos no pueden.

Por ejemplo, si dos puntos de una variedad se aproximan entre sí en una familia algebraica, la subvariedad límite es un único punto, el ciclo algebraico límite es un punto con multiplicidad 2, y el subesquema límite es un "punto gordo" que contiene la dirección tangente a lo largo de la cual colisionaron los dos puntos.

El esquema de Hilbert${\displaystyle \operatorname {Hilb} (k,d,n)}$es el esquema de módulos finos de subesquemas cerrados de dimensión k-1 y grado d dentro${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$. ^{[ 10 ]} Cada subesquema cerrado determina un ciclo algebraico efectivo y el mapa inducido

${\displaystyle \operatorname {Hilb} (k,d,n)\longrightarrow \operatorname {Gr} (k,d,n)}$.

se denomina mapa cíclico o morfismo de Hilbert-Chow . Este mapa es genéricamente un isomorfismo sobre los puntos en${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$correspondientes a subvariedades irreducibles de grado d, pero las fibras sobre ciclos algebraicos no simples pueden ser más interesantes.

Un cociente de Chow parametriza cierres de órbitas genéricas . Se construye como una subvariedad cerrada de una variedad de Chow.

El teorema de Kapranov dice que el espacio de módulos${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}}$de curvas estables de género cero con n puntos marcados es el cociente de Chow de Grassmann.${\displaystyle \operatorname {Gr} (2,\mathbb {C} ^{n})}$por el toro maximal estándar.

• Variedad Picard
• Cociente GIT

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• Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994) [1952]. Métodos de geometría algebraica: Volumen 2 Libro III: Teoría general de variedades algebraicas en el espacio proyectivo. Libro IV: Cuádricas y variedades de Grassmann . Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46901-2. MR 0048065 . 
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