Coordenadas de Plücker

En un espacio proyectivo tridimensional${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$⁠ , sea L una línea que pasa por puntos distintos x e y con coordenadas homogéneas ( x ₀  : x ₁  : x ₂  : x ₃ ) y ( y ₀  : y ₁  : y ₂  : y ₃ ) .

Las coordenadas de Plücker p _ij se definen de la siguiente manera:

${\displaystyle p_{ij}={\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{vmatrix}}=x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}.}$

(la matriz antisimétrica cuyos elementos son p _ij también se llama matriz de Plücker ) Esto implica p _ii = 0 y p _ij = − p _ji , reduciendo las posibilidades a solo seis (4 sobre 2) cantidades independientes. La séxtupla

${\displaystyle (p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12})}$

Está determinado unívocamente por L salvo un factor de escala común distinto de cero. Además, no todos los seis componentes pueden ser cero. Por lo tanto, las coordenadas de Plücker de L pueden considerarse como coordenadas homogéneas de un punto en un espacio proyectivo de 5 dimensiones, como sugiere la notación de dos puntos.

Para ver estos hechos, sea M la matriz de 4×2 con las coordenadas de los puntos como columnas.

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}}}$

La coordenada de Plücker p _ij es el determinante de las filas i y j de M. Debido a que x e y son puntos distintos, las columnas de M son linealmente independientes ; M tiene rango 2. Sea M ′ una segunda matriz, con columnas x ′ , y ′ un par diferente de puntos distintos en L. Entonces las columnas de M ′ son combinaciones lineales de las columnas de M ; por lo tanto, para alguna matriz no singular de 2×2 Λ ,

${\displaystyle M'=M\Lambda .}$

En particular, las filas i y j de M ′ y M están relacionadas por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'_{i}&y'_{i}\\x'_{j}&y'_{j}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{00}&\lambda _{01}\\\lambda _{10}&\lambda _{11}\end{bmatrix}}.}$

Por lo tanto, el determinante de la matriz 2×2 del lado izquierdo es igual al producto de los determinantes de las matrices 2×2 del lado derecho, siendo este último un escalar fijo, det Λ . Además, los seis subdeterminantes 2×2 de M no pueden ser cero porque el rango de M es 2.

Denotemos el conjunto de todas las líneas (imágenes lineales de ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$) en​${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$por G _1,3 . Porlo tanto, tenemos un mapa:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \colon \mathrm {G} _{1,3}&\rightarrow \mathbb {P} ^{5}\\L&\mapsto L^{\alpha },\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle L^{\alpha }=(p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12}).}$

Alternativamente, una línea puede describirse como la intersección de dos planos. Sea L una línea contenida en planos distintos a y b con coeficientes homogéneos ⁽ a₀ : ^a₁ :  a₂ ^: a₃ ⁾ y   ( b₀ : ^b₁    : b₂ : b₃ ) ^, respectivamente . ⁽ La ^ecuación del primer plano es${\textstyle \sum _{k}a^{k}x_{k}=0,}$por ejemplo.) La coordenada dual de Plücker p ^ij es

${\displaystyle p^{ij}={\begin{vmatrix}a^{i}&a^{j}\\b^{i}&b^{j}\end{vmatrix}}=a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i}.}$

Las coordenadas duales son convenientes en algunos cálculos y son equivalentes a las coordenadas primarias:

${\displaystyle (p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12})=(p^{23}:p^{31}:p^{12}:p^{01}:p^{02}:p^{03})}$

Aquí, la igualdad entre los dos vectores en coordenadas homogéneas significa que los números del lado derecho son iguales a los números del lado izquierdo salvo un factor de escala común λ . Específicamente, sea ( i , j , k , ℓ ) una permutación par de (0, 1, 2, 3) ; entonces

${\displaystyle p_{ij}=\lambda p^{k\ell }.}$

Para relacionarlo con la intuición geométrica, tomemos x ₀ = 0 como el plano en el infinito; por lo tanto, las coordenadas de los puntos que no están en el infinito se pueden normalizar de modo que x ₀ = 1. Entonces M se convierte en

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&1\\x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}},}$

y configuración${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})}$y${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},y_{3})}$, tenemos${\displaystyle d=(p_{01},p_{02},p_{03})}$y${\displaystyle m=(p_{23},p_{31},p_{12})}$.

Dualmente, tenemos${\displaystyle d=(p^{23},p^{31},p^{12})}$y${\displaystyle m=(p^{01},p^{02},p^{03}).}$

Si el punto${\displaystyle \mathbf {z} =(z_{0}:z_{1}:z_{2}:z_{3})}$se encuentra en L , entonces las columnas de

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}&y_{0}&z_{0}\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{bmatrix}}}$

son linealmente dependientes , de modo que el rango de esta matriz más grande sigue siendo 2. Esto implica que todas las submatrices de 3×3 tienen determinante cero, generando cuatro ecuaciones planas (4 sobre 3), como

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&z_{0}\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}z_{0}-{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}z_{1}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}z_{2}\\[5pt]&=p_{12}z_{0}-p_{02}z_{1}+p_{01}z_{2}.\\[5pt]&=p^{03}z_{0}+p^{13}z_{1}+p^{23}z_{2}.\end{aligned}}}$

Los cuatro planos posibles obtenidos son los siguientes.

${\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{}+p_{12}z_{0}&{}-p_{02}z_{1}&{}+p_{01}z_{2}&\\0&=&{}-p_{31}z_{0}&{}-p_{03}z_{1}&&{}+p_{01}z_{3}\\0&=&{}+p_{23}z_{0}&&{}-p_{03}z_{2}&{}+p_{02}z_{3}\\0&=&&{}+p_{23}z_{1}&{}+p_{31}z_{2}&{}+p_{12}z_{3}\end{matrix}}}$

Utilizando coordenadas duales, y siendo ( a ⁰  : a ¹  : a ²  : a ³ ) los coeficientes de línea, cada uno de estos es simplemente a ⁱ = p ^ij , o

${\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{3}p^{ij}z_{i},\qquad j=0,\ldots ,3.}$

Cada coordenada de Plücker aparece en dos de las cuatro ecuaciones, multiplicando cada vez una variable diferente; y como al menos una de las coordenadas es distinta de cero, se nos garantiza que existen ecuaciones no vacías para dos planos distintos que se intersecan en L. Por lo tanto, las coordenadas de Plücker de una línea determinan esa línea de forma única, y la aplicación α es una inyección .

La imagen de α no es el conjunto completo de puntos en ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$; las coordenadas de Plücker de una línea L satisfacen la relación cuadrática de Plücker.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=p_{01}p^{01}+p_{02}p^{02}+p_{03}p^{03}\\&=p_{01}p_{23}+p_{02}p_{31}+p_{03}p_{12}.\end{aligned}}}$

Para demostrarlo, escriba este polinomio homogéneo como determinantes y utilice la expansión de Laplace (en sentido inverso).

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&=(x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1}){\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-(x_{0}y_{2}-y_{0}x_{2}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+(x_{0}y_{3}-y_{0}x_{3}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&=x_{0}\left(y_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+y_{3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\right)-y_{0}\left(x_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-x_{2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+x_{3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\right)\\[5pt]&=x_{0}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{0}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}&x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

Dado que ambos determinantes de 3×3 tienen columnas duplicadas, el lado derecho es idénticamente cero.

Otra prueba puede hacerse así: Dado que vector

${\displaystyle d=\left(p_{01},p_{02},p_{03}\right)}$

es perpendicular al vector

${\displaystyle m=\left(p_{23},p_{31},p_{12}\right)}$

(véase arriba), el producto escalar de d y m debe ser cero. qed

Sea ( x ₀  : x ₁  : x ₂  : x ₃ ) las coordenadas de los puntos, cuatro posibles puntos en una línea tienen cada uno coordenadas x _i = p _ij , para j = 0, 1, 2, 3 . Algunos de estos posibles puntos pueden ser inadmisibles porque todas las coordenadas son cero, pero como al menos una coordenada de Plücker es distinta de cero, se garantizan al menos dos puntos distintos.

Si${\displaystyle (q_{01}:q_{02}:q_{03}:q_{23}:q_{31}:q_{12})}$son las coordenadas homogéneas de un punto en${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$Sin pérdida de generalidad, supongamos que q ₀₁ es distinto de cero. Entonces la matriz

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}q_{01}&0\\0&q_{01}\\-q_{12}&q_{02}\\q_{31}&q_{03}\end{bmatrix}}}$

tiene rango 2, por lo que sus columnas son puntos distintos que definen una línea L. Cuando el${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$Las coordenadas q _ij satisfacen la relación cuadrática de Plücker; son las coordenadas de Plücker de L. Para ver esto, primero normalizamos q ₀₁ a 1. Entonces, inmediatamente tenemos que para las coordenadas de Plücker calculadas a partir de M , p _ij = q _ij , excepto por

${\displaystyle p_{23}=-q_{03}q_{12}-q_{02}q_{31}.}$

Pero si los q _ij satisfacen la relación de Plücker

${\displaystyle q_{23}+q_{02}q_{31}+q_{03}q_{12}=0,}$

entonces p ₂₃ = q ₂₃ , completando el conjunto de identidades.

En consecuencia, α es una sobreyección sobre la variedad algebraica que consiste en el conjunto de ceros del polinomio cuadrático.

${\displaystyle p_{01}p_{23}+p_{02}p_{31}+p_{03}p_{12}.}$

Y dado que α también es una inyección, las líneas en ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$⁠ están así en correspondencia biyectiva con los puntos de esta cuádrica en ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$⁠ , llamada cuádrica de Plücker o cuádrica de Klein .

Dos líneas en${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$son oblicuaso coplanares , y en este último caso coinciden o se intersecan en un único punto. Si p _ij y p ′ _ij son las coordenadas de Plücker de dos líneas, entonces son coplanares precisamente cuando

${\displaystyle \mathbf {d} \cdot \mathbf {m} '+\mathbf {m} \cdot \mathbf {d} '=0,}$

como lo demuestra

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=p_{01}p'_{23}+p_{02}p'_{31}+p_{03}p'_{12}+p_{23}p'_{01}+p_{31}p'_{02}+p_{12}p'_{03}\\[5pt]&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&x'_{0}&y'_{0}\\x_{1}&y_{1}&x'_{1}&y'_{1}\\x_{2}&y_{2}&x'_{2}&y'_{2}\\x_{3}&y_{3}&x'_{3}&y'_{3}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

Cuando las líneas están sesgadas, el signo del resultado indica el sentido del cruce: positivo si un tornillo dextrógiro transforma L en L ′ , de lo contrario negativo.

La relación cuadrática de Plücker establece esencialmente que una línea es coplanar consigo misma.

En el caso de que dos líneas sean coplanares pero no paralelas, su plano común tiene ecuación

${\displaystyle 0=(\mathbf {m} \cdot \mathbf {d} ')x_{0}+(\mathbf {d} \times \mathbf {d} ')\cdot \mathbf {x} ,}$

dónde${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3}).}$

La más mínima perturbación destruirá la existencia de un plano común, y el paralelismo casi absoluto de las líneas provocará dificultades numéricas para encontrar dicho plano, incluso si existe.

De manera similar, dos líneas coplanares, ninguna de las cuales contiene el origen, tienen un punto común.

${\displaystyle (x_{0}:\mathbf {x} )=(\mathbf {d} \cdot \mathbf {m} ':\mathbf {m} \times \mathbf {m} ').}$

Para gestionar las líneas que no cumplen esta restricción, consulte las referencias.

Dado un plano con ecuación

${\displaystyle 0=a^{0}x_{0}+a^{1}x_{1}+a^{2}x_{2}+a^{3}x_{3},}$

o más concisamente,

${\displaystyle 0=a^{0}x_{0}+\mathbf {a} \cdot \mathbf {x}$ ;}

y dada una línea que no está en ella con coordenadas de Plücker ( d  : m ) , entonces su punto de intersección es

${\displaystyle (x_{0}:\mathbf {x} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d}$ :\mathbf {a} \times \mathbf {m} -a_{0}\mathbf {d} ).}

Las coordenadas del punto, ( x ₀  : x ₁  : x ₂  : x ₃ ) , también se pueden expresar en términos de coordenadas de Plücker como

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j\neq i}a^{j}p_{ij},\qquad i=0\ldots 3.}$

Dualmente, dado un punto ( y ₀  : y ) y una recta que no lo contiene, su plano común tiene ecuación

${\displaystyle 0=(\mathbf {y} \cdot \mathbf {m} )x_{0}+(\mathbf {y} \times \mathbf {d} -y_{0}\mathbf {m} )\cdot \mathbf {x} .}$

Las coordenadas del plano, ( a ⁰  : a ¹  : a ²  : a ³ ) , también pueden expresarse en términos de coordenadas duales de Plücker como

${\displaystyle a^{i}=\sum _{j\neq i}y_{j}p^{ij},\qquad i=0\ldots 3.}$

Porque la cuádrica de Klein está en${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$⁠ , contiene subespacios lineales de dimensiones uno y dos (pero no superiores). Estos corresponden a familias de líneas de uno y dos parámetros en ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$.​

Por ejemplo, supongamos que L y L ′ son líneas distintas en ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$Determinadas por los puntos x , y y x ′ , y ′ , respectivamente. Las combinaciones lineales de sus puntos determinantes dan lugar a combinaciones lineales de sus coordenadas de Plücker, generando una familia uniparamétrica de rectas que contienen L y L ′ . Esto corresponde a un subespacio lineal unidimensional perteneciente a la cuádrica de Klein.

Durante el siglo XIX, se estudió intensamente la geometría de líneas . En términos de la biyección mencionada anteriormente, esta es una descripción de la geometría intrínseca de la cuádrica de Klein.