Símbolos de Christoffel

En matemáticas y física , los símbolos de Christoffel son una matriz de números que describen una conexión métrica . ^{[ 1 ]} La conexión métrica es una especialización de la conexión afín a superficies u otras variedades dotadas de una métrica , lo que permite medir distancias en esa superficie. En geometría diferencial , una conexión afín puede definirse sin referencia a una métrica, y se derivan muchos conceptos adicionales: el transporte paralelo , las derivadas covariantes , las geodésicas , etc., tampoco requieren el concepto de métrica. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Sin embargo, cuando se dispone de una métrica, estos conceptos pueden vincularse directamente a la "forma" de la variedad misma; esa forma está determinada por cómo el espacio tangente se une al espacio cotangente mediante el tensor métrico . ^{[ 4 ]} En abstracto, se diría que la variedad tiene un fibrado de marcos ( ortonormal ) asociado , siendo cada " marco " una posible elección de un sistema de coordenadas . Una métrica invariante implica que el grupo de estructura del fibrado de marcos es el grupo ortogonal $O($ $p$ $,$ $q$ $)$ . Como resultado, dicha variedad es necesariamente una variedad ( pseudo ) riemanniana . ^[⁵^]^[⁶^] Los símbolos de Christoffel proporcionan una representación concreta de la conexión de la geometría (pseudo)riemanniana en términos de coordenadas en la variedad. Conceptos adicionales, como el transporte paralelo, las geodésicas, etc., pueden expresarse entonces en términos de símbolos de Christoffel.

En general, existe un número infinito de conexiones métricas para un tensor métrico dado ; sin embargo, hay una única conexión libre de torsión : la conexión de Levi-Civita . En física y relatividad general, es común trabajar casi exclusivamente con la conexión de Levi-Civita, utilizando sistemas de coordenadas (llamados coordenadas holonómicas ) donde la torsión se anula. Por ejemplo, en espacios euclidianos , los símbolos de Christoffel describen cómo cambian las bases de coordenadas locales de un punto a otro.

En cada punto de la variedad subyacente $n$ -dimensional, para cualquier sistema de coordenadas local alrededor de ese punto, los símbolos de Christoffel se denotan como $Γ i jk$ para $i, j, k = 1, 2, ..., n$ . Cada entrada de esta matriz $n \times n \times n$ es un número real . Bajo transformaciones de coordenadas lineales en la variedad, los símbolos de Christoffel se transforman como las componentes de un tensor , pero bajo transformaciones de coordenadas generales ( difeomorfismos ) no lo hacen. La mayoría de las propiedades algebraicas de los símbolos de Christoffel se derivan de su relación con la conexión afín; solo unas pocas se derivan del hecho de que el grupo de estructura es el grupo ortogonal $O($ $m$ $,$ $n$ $)$ (o el grupo de Lorentz $O(3, 1)$ para la relatividad general).

Los símbolos de Christoffel se utilizan para realizar cálculos prácticos. Por ejemplo, el tensor de curvatura de Riemann se puede expresar completamente en términos de los símbolos de Christoffel y sus primeras derivadas parciales . En la relatividad general , la conexión desempeña el papel del campo de fuerza gravitatoria, siendo el potencial gravitatorio correspondiente el tensor métrico. Cuando el sistema de coordenadas y el tensor métrico comparten alguna simetría, muchos de los $Γ i jk$ son cero .

Los símbolos de Christoffel reciben su nombre de Elwin Bruno Christoffel (1829–1900). ^{[ 7 ]}

Nota

Las definiciones que se presentan a continuación son válidas tanto para variedades riemannianas como para variedades pseudoriemannianas , como las de la relatividad general , haciendo una distinción precisa entre índices superiores e inferiores ( índices contravariantes y covariantes ). Las fórmulas son válidas para ambas convenciones de signos , salvo que se indique lo contrario.

En este artículo se utiliza la convención de suma de Einstein , con los vectores indicados en negrita. Los coeficientes de conexión de la conexión de Levi-Civita (o conexión pseudoriemanniana) expresados en una base de coordenadas se denominan símbolos de Christoffel .

Definiciones preliminares

Dado un conjunto $M$ , un atlas consiste en una colección de cartas $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ por cada tapa abierta $U\subset M$ Estos gráficos permiten la base vectorial estándar. $({\vec {e}}_{1},\cdots,{\vec {e}}_{n})$ en $\mathbb {R} ^{n}$ ser retraído a una base vectorial en el espacio tangente $TM$ de $M$ Esto se hace de la siguiente manera. Dada alguna función real arbitraria $f:M\to \mathbb {R}$ El gráfico permite definir un gradiente :

\partial _{i}f\equiv {\frac {\partial \left(f\circ \varphi ^{-1}\right)}{\partial x^{i}}}\quad {\mbox{para }}i=1,\,2,\,\dots ,\,n

Este gradiente se denomina comúnmente retroceso porque "retrocede" el gradiente en $\mathbb {R} ^{n}$ a un gradiente en $M$ El retroceso es independiente del gráfico. $\varphi$ De esta manera, la base vectorial estándar $({\vec {e}}_{1},\cdots,{\vec {e}}_{n})$ en $\mathbb {R} ^{n}$ Se retrae a una base vectorial estándar ("de coordenadas"). $(\partial _{1},\cdots ,\partial _{n})$ en $TM$ . Esto se denomina "base de coordenadas", porque depende explícitamente de las coordenadas en $\mathbb {R} ^{n}$ A veces se le llama "base local".

Esta definición permite un abuso común de la notación . $\partial _{i}$ se definieron para estar en correspondencia uno a uno con los vectores base ${\vec {e}}_{i}$ en $\mathbb {R} ^{n}$ . La notación $\partial _{i}$ sirve como recordatorio de que los vectores base en el espacio tangente $TM$ provino de una construcción de gradiente. A pesar de esto, es común "olvidar" esta construcción y simplemente escribir (o más bien, definir) vectores. $e_{i}$ en $TM$ de tal manera que $e_{i}\equiv \partial _{i}$ La gama completa de notación de uso común incluye el uso de flechas y negrita para denotar vectores:

\partial _{i}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\equiv e_{i}\equiv {\vec {e}}_{i}\equiv \mathbf {e} _{i}\equiv {\boldsymbol {\partial }}_{i}

dónde $\equiv$ Se utiliza para recordar que estas notaciones se definen como equivalentes para el mismo concepto. La elección de la notación depende del estilo y el gusto personal, y varía de un texto a otro.

La base de coordenadas proporciona una base vectorial para campos vectoriales en $M$ Notación comúnmente utilizada para campos vectoriales en $M$ incluir

X={\vec {X}}=X^{i}\partial _{i}=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}

La mayúscula $X$ , sin la flecha vectorial, es particularmente popular para la notación sin índice , porque minimiza el desorden y recuerda que los resultados son independientes de la base elegida y, en este caso, independientes del atlas.

El mismo abuso de notación se utiliza para impulsar las formas únicas desde $\mathbb {R} ^{n}$ a $M$ Esto se hace escribiendo $(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})=(x^{1},\ldots ,x^{n})$ o $x=\varphi$ o $x^{i}=\varphi ^{i}$ . La forma única es entonces $dx^{i}=d\varphi ^{i}$ . Esto está soldado a los vectores base como $dx^{i}(\partial _{j})=\delta _{j}^{i}$ Nótese el uso cuidadoso de índices superiores e inferiores para distinguir entre vectores contravariantes y covariantes.

El retroceso induce (define) un tensor métrico en $M$ Se utilizan comúnmente varios estilos de notación: $g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\langle {\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{j}\rangle =e_{i}^{a}e_{j}^{b}\,\eta _{ab}$ donde tanto el punto central como el corchete angular $\langle ,\rangle$ denota el producto escalar . La última forma utiliza el tensor. $\eta _{ab}$ , que se entiende como el tensor métrico de "espacio plano". Para las variedades riemannianas , es la delta de Kronecker. $\eta _{ab}=\delta _{ab}$ Para las variedades pseudoriemannianas , es la matriz diagonal que tiene signatura $(p,q)$ . La notación $e_{i}^{a}$ Sirve como recordatorio de que el retroceso es realmente una transformación lineal, dada como el gradiente, arriba. Las letras del índice $a,b,c,\cdots$ vivir en $\mathbb {R} ^{n}$ mientras que las letras del índice $i,j,k,\cdots$ vivir en la variedad tangente.

La matriz inversa $g^{ij}$ del tensor métrico $g_{ij}$ es dado por $g^{ij}g_{jk}=\delta _ {k}^{i}$ Esto se utiliza para definir la base dual: $\mathbf {e} ^{i}=\mathbf {e} _{j}g^{ji},\quad i=1,\,2,\,\dots ,\,n$

Algunos textos escriben $\mathbf {g} _{i}$ para $\mathbf {e} _ {i}$ , de modo que el tensor métrico toma la forma particularmente seductora $g_{ij}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}$ Esto se hace comúnmente para que el símbolo $e_{i}$ puede utilizarse inequívocamente para el vierbein .

Definición en el espacio euclidiano

En el espacio euclidiano , se puede demostrar que la definición general que se da a continuación para los símbolos de Christoffel de segunda especie es equivalente a: ${\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {\partial \mathbf {e} _{j}}{\partial x^{i}}}\cdot \mathbf {e} ^{k}={\frac {\partial \mathbf {e} _{j}}{\partial x^{i}}}\cdot g^{km}\mathbf {e} _{m}$

Los símbolos de Christoffel de primer tipo se pueden encontrar mediante la reducción del índice : $\Gamma _{kij}={\Gamma ^{m}}_{ij}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{j}}{\partial x^{i}}}\cdot \mathbf {e} ^{m}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{j}}{\partial x^{i}}}\cdot \mathbf {e} _{k}$

Reordenando, vemos que (suponiendo que la derivada parcial pertenece al espacio tangente, lo cual no puede ocurrir en un espacio curvo no euclidiano ): ${\frac {\partial \mathbf {e} _{j}}{\partial x^{i}}}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}=\Gamma _{kij}\mathbf {e} ^{k}$

En otras palabras, las matrices representadas por los símbolos de Christoffel muestran cómo cambia la base de un punto a otro. Si la derivada no se encuentra en el espacio tangente, la expresión de la derecha es la proyección de la derivada sobre el espacio tangente (véase la derivada covariante más adelante). Los símbolos de segundo tipo descomponen el cambio con respecto a la base, mientras que los símbolos de primer tipo lo descomponen con respecto a la base dual. De esta forma, es fácil apreciar la simetría de los dos últimos índices: ${\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}$ y $\Gamma _{kij}=\Gamma _{kji},$ de la definición de $\mathbf {e} _ {i}$ y el hecho de que las derivadas parciales conmutan (siempre que la variedad y el sistema de coordenadas se comporten adecuadamente ).

Los mismos valores numéricos para los símbolos de Christoffel de segunda especie también se relacionan con las derivadas de la base dual, como se ve en la expresión: ${\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}=-{\Gamma ^{i}}_{jk}\mathbf {e} ^{k},$ que podemos reorganizar como: ${\Gamma ^{i}}_{jk}=-{\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{k}.$

Definición general

Los símbolos de Christoffel se presentan en dos formas: la primera y la segunda. La definición de la segunda es más básica y, por lo tanto, se presenta primero.

Símbolos de Christoffel de segunda especie (definición simétrica)

Los símbolos de Christoffel de segunda especie son los coeficientes de conexión —en una base de coordenadas— de la conexión de Levi-Civita . En otras palabras, los símbolos de Christoffel de segunda especie ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} $Γ k ij$ (a veces $Γ k ij$ o ${k ij}$ ) ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} se definen como los coeficientes únicos tales que $\nabla _{i}\mathrm {e} _{j}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathrm {e} _{k},$ dónde $\nabla _{i}$ es la conexión de Levi-Civita en $M$ tomada en la dirección de coordenadas $e i$ (es decir, $\nabla i \equiv \nabla e i$ ) y donde $e_{i}=\partial _{i}$ es una base de coordenadas locales ( holonómicas ) . Dado que esta conexión tiene torsión cero y los campos vectoriales holonómicos conmutan (es decir, $[e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0$ ) tenemos $\nabla _{i}\mathrm {e} _{j}=\nabla _{j}\mathrm {e} _{i}.$ Por lo tanto, en esta base los coeficientes de conexión son simétricos: ^{[ 8 ]} ${\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}.$ Por esta razón, una conexión sin torsión se suele denominar simétrica .

Los símbolos de Christoffel se pueden derivar de la anulación de la derivada covariante del tensor métrico. $g_{ik}$ : $0=\nabla _{l}g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-2g_{m(k}{\Gamma ^{m}}_{i)l}.$

Como notación abreviada, el símbolo nabla y los símbolos de derivada parcial se omiten con frecuencia, y en su lugar se utilizan un punto y coma y una coma para delimitar el índice que se está utilizando para la derivada. Por lo tanto, lo anterior a veces se escribe como $0=\,g_{ik;l}=g_{ik,l}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.$

Utilizando que los símbolos son simétricos en los dos índices inferiores, se puede resolver explícitamente para los símbolos de Christoffel como una función del tensor métrico permutando los índices y volviendo a sumar: ^{[ 10 ]} ${\Gamma ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}\right),$

donde $(g jk)$ es la inversa de la matriz $(g jk)$ , definida como (usando la delta de Kronecker y la notación de Einstein para la suma) $g^{ji}g_{ik}=\delta ^{j}{}_{k}$ Aunque los símbolos de Christoffel se escriben con la misma notación que los tensores con notación de índice , no se transforman como los tensores bajo un cambio de coordenadas .

Contracción de los índices

Contraer el índice superior con cualquiera de los índices inferiores (siendo estos simétricos) conduce a ${\Gamma ^{i}}_{ki}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\ln {\sqrt {|g|}}$ dónde $g=\det g_{ik}$ es el determinante del tensor métrico. Esta identidad se puede utilizar para evaluar la divergencia de vectores y las derivadas covariantes de densidades tensoriales . También

{\Gamma ^{i}}_{ki}={\Gamma ^{i}}_{ik}={\tfrac {1}{2}}\left(g^{mi}g_{mk,i}+g^{mi}g_{mi,k}-g^{im}g_{ki,m}\right)={\tfrac {1}{2}}g^{mi}g_{mi,k}

.

Símbolos de Christoffel de primera clase

Los símbolos de Christoffel de primera especie pueden derivarse tanto de los símbolos de Christoffel de segunda especie como de la métrica, ^{[ 11 ]} $\Gamma _{cab}=g_{cd}{\Gamma ^{d}}_{ab}\,,$

o a partir de la métrica únicamente, ^{[ 11 ]} ${\begin{aligned}\Gamma _{cab}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ca}}{\partial x^{b}}}+{\frac {\partial g_{cb}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\left(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c}\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\left(\partial _{b}g_{ca}+\partial _{a}g_{cb}-\partial _{c}g_{ab}\right)\,.\\\end{aligned}}$

Como notación alternativa también se encuentran ^{[ 7 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

$\Gamma _{cab}=[ab,c].$ Vale la pena señalar que $[ab, c] = [ba, c]$ . ^{[ 10 ]}

Coeficientes de conexión en una base no holonómica

Los símbolos de Christoffel se definen típicamente en una base de coordenadas, que es la convención que se sigue aquí. En otras palabras, el nombre de símbolos de Christoffel se reserva solo para sistemas de coordenadas (es decir, holonómicos ). Sin embargo, los coeficientes de conexión también pueden definirse en una base arbitraria (es decir, no holonómica) de vectores tangentes $u i$ mediante $\nabla _{\mathbf {u} _{j}}\mathbf {u} _{i}={\omega ^{k}}_{ij}\mathbf {u} _{k}.$

Explícitamente, en términos del tensor métrico, esto es ^{[ 9 ].} ${\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}+c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right),$

donde $c klm = g mp c kl p$ son los coeficientes de conmutación de la base; es decir, $[\mathbf {u} _{k},\,\mathbf {u} _{l}]={c_{kl}}^{m}\mathbf {u} _{m}$

donde $u k$ son los vectores base y $[ , ]$ es el corchete de Lie . Los vectores unitarios estándar en coordenadas esféricas y cilíndricas proporcionan un ejemplo de una base con coeficientes de conmutación no nulos. La diferencia entre la conexión en dicho marco y la conexión de Levi-Civita se conoce como el tensor de contorsión .

Coeficientes de rotación de Ricci (definición asimétrica)

Cuando elegimos la base $X i \equiv u i$ ortonormal: $g ab \equiv η ab = ⟨ X a, X b ⟩$ entonces $g mk,l \equiv η mk,l = 0$ . Esto implica que ${\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}\eta ^{im}\left(c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right)$ y los coeficientes de conexión se vuelven antisimétricos en los dos primeros índices: $\omega _{abc}=-\omega _{bac}\,,$ dónde $\omega _{abc}=\eta _{ad}{\omega ^{d}}_{bc}\,.$

En este caso, los coeficientes de conexión $ω a bc$ se denominan coeficientes de rotación de Ricci . ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}

De forma equivalente, se pueden definir los coeficientes de rotación de Ricci de la siguiente manera: ^{[ 9 ]} ${\omega ^{k}}_{ij}:=\mathbf {u} ^{k}\cdot \left(\nabla _{j}\mathbf {u} _{i}\right)\,,$ donde $u i$ es una base no holonómica ortonormal y $u k = η kl u l$ su co-base .

Ley de transformación bajo cambio de variable

Bajo un cambio de variable de $\left(x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right)$ a $\left({\bar {x}}^{1},\,\ldots ,\,{\bar {x}}^{n}\right)$ , los símbolos de Christoffel se transforman como

${{\bar {\Gamma }}^{i}}_{kl}={\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{k}}}\,{\frac {\partial x^{p}}{\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\Gamma ^{m}}_{np}+{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{k}\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}$

donde la línea superior denota los símbolos de Christoffel en el ${\bar {x}}^{i}$ Sistema de coordenadas. El símbolo de Christoffel no se transforma como un tensor, sino como un objeto en el fibrado jet . Más precisamente, los símbolos de Christoffel pueden considerarse funciones en el fibrado jet del fibrado de marcos de $M$ , independientemente de cualquier sistema de coordenadas local. La elección de un sistema de coordenadas local determina una sección local de este fibrado, que luego puede usarse para convertir los símbolos de Christoffel en funciones en $M$ , aunque, por supuesto, estas funciones dependen de la elección del sistema de coordenadas local.

Para cada punto, existen sistemas de coordenadas en los que los símbolos de Christoffel se desvanecen en el punto. ^{[ 16 ]} Estas se denominan coordenadas normales (geodésicas) y se utilizan a menudo en la geometría riemanniana .

Existen algunas propiedades interesantes que pueden derivarse directamente de la ley de transformación.

Para una transformación lineal, la parte no homogénea de la transformación (segundo término del lado derecho) se anula idénticamente y luego ${\Gamma ^{i}}_{jk}$ Se comporta como un tensor.
Si tenemos dos campos de conexiones, por ejemplo ${\Gamma ^{i}}_{jk}$ y ${{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}$ , entonces su diferencia ${\Gamma ^{i}}_{jk}-{{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}$ es un tensor ya que los términos no homogéneos se cancelan entre sí. Los términos no homogéneos dependen únicamente de cómo se modifican las coordenadas, pero son independientes del símbolo de Christoffel en sí.
Si el símbolo de Christoffel no es simétrico con respecto a sus índices inferiores en un sistema de coordenadas, es decir, ${\Gamma ^{i}}_{jk}\neq {\Gamma ^{i}}_{kj}$ Entonces, permanecen asimétricos ante cualquier cambio de coordenadas. Una consecuencia de esta propiedad es que es imposible encontrar un sistema de coordenadas en el que todos los elementos del símbolo de Christoffel sean cero en un punto, a menos que los índices inferiores sean simétricos. Esta propiedad fue señalada independientemente por Albert Einstein ^{[ 17 ]} y Erwin Schrödinger ^{[ 18 ]} .

Relación con el transporte paralelo y derivación de los símbolos de Christoffel en el espacio riemanniano.

Si un vector $\xi ^{i}$ se transporta en paralelo sobre una curva parametrizada por algún parámetro $s$ En una variedad riemanniana , la tasa de cambio de las componentes del vector viene dada por ${\frac {d\xi ^{i}}{ds}}=-{\Gamma ^{i}}_{mj}{\frac {dx^{m}}{ds}}\xi ^{j}.$

Ahora, simplemente usando la condición de que el producto escalar $g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}$ formado por dos vectores arbitrarios $\xi ^{i}$ y $\eta ^{k}$ es suficiente para derivar los símbolos de Christoffel. La condición es ${\frac {d}{ds}}\left(g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}\right)=0$ que por la regla del producto se expande a ${\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}{\frac {dx^{l}}{ds}}\xi ^{i}\eta ^{k}+g_{ik}{\frac {d\xi ^{i}}{ds}}\eta ^{k}+g_{ik}\xi ^{i}{\frac {d\eta ^{k}}{ds}}=0.$

Aplicando la regla de transporte paralelo para los dos vectores arbitrarios y renombrando los índices ficticios y recopilando los coeficientes de $\xi ^{i}\eta ^{k}dx^{l}$ (arbitrario), obtenemos

${\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}=g_{rk}{\Gamma ^{r}}_{il}+g_{ir}{\Gamma ^{r}}_{lk}.$

Esto es lo mismo que la ecuación obtenida al exigir que la derivada covariante del tensor métrico se anule en la sección de definición general. La derivación a partir de aquí es simple. Al permutar cíclicamente los índices $ikl$ En la ecuación anterior, podemos obtener dos ecuaciones más y luego, combinando linealmente estas tres ecuaciones, podemos expresar ${\Gamma ^{i}}_{jk}$ en términos del tensor métrico.

Relación con la notación sin índices

Sean $X$ e $Y$ campos vectoriales con componentes $X i$ e $Y k$ . Entonces, la $k$ -ésima componente de la derivada covariante de $Y$ con respecto a $X$ viene dada por $\left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}(\nabla _{i}Y)^{k}=X^{i}\left({\frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+{\Gamma ^{k}}_{im}Y^{m}\right).$

Aquí se utiliza la notación de Einstein , por lo que los índices repetidos indican suma sobre los índices y la contracción con el tensor métrico sirve para subir y bajar los índices: $g(X,Y)=X^{i}Y_{i}=g_{ik}X^{i}Y^{k}=g^{ik}X_{i}Y_{k}.$

Tenga en cuenta que $g ik \neq g ik$ y que $g i k = δ i k$ , la delta de Kronecker . La convención es que el tensor métrico es el que tiene los índices más bajos; la forma correcta de obtener $g ik$ a partir de $g ik$ es resolver las ecuaciones lineales $g ij g jk = δ i k$ .

La afirmación de que la conexión está libre de torsión , es decir, que $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,\,Y]$

es equivalente a afirmar que, en una base de coordenadas, el símbolo de Christoffel es simétrico en los dos índices inferiores: ${\Gamma ^{i}}_{jk}={\Gamma ^{i}}_{kj}.$

Las propiedades de transformación sin índice de un tensor se definen mediante retrocesos para índices covariantes y empujes para índices contravariantes. El artículo sobre derivadas covariantes ofrece un análisis más detallado de la correspondencia entre la notación sin índice y la notación indexada.

Derivadas covariantes de tensores

La derivada covariante de un campo vectorial con componentes $V m$ es $\nabla _{l}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{m}}_{kl}V^{k}.$

Por corolario, la divergencia de un vector se puede obtener como $\nabla _{i}V^{i}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}\,V^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.$

La derivada covariante de un campo covectorial $ω m$ es $\nabla _{l}\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m}}{\partial x^{l}}}-{\Gamma ^{k}}_{ml}\omega _{k}.$

La simetría del símbolo de Christoffel ahora implica $\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi =\nabla _{j}\nabla _{i}\varphi$ para cualquier campo escalar, pero en general las derivadas covariantes de campos tensoriales de orden superior no conmutan (véase tensor de curvatura ).

La derivada covariante de un campo tensorial de tipo $(2, 0)$ $A$ $ik$ es $\nabla _{l}A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{i}}_{ml}A^{mk}+{\Gamma ^{k}}_{ml}A^{im},$ eso es, ${A^{ik}}_{;l}={A^{ik}}_{,l}+A^{mk}{\Gamma ^{i}}_{ml}+A^{im}{\Gamma ^{k}}_{ml}.$

Si el campo tensorial es mixto , entonces su derivada covariante es ${A^{i}}_{k;l}={A^{i}}_{k,l}+{A^{m}}_{k}{\Gamma ^{i}}_{ml}-{A^{i}}_{m}{\Gamma ^{m}}_{kl},$ y si el campo tensorial es de tipo $(0, 2),$ entonces su derivada covariante es $A_{ik;l}=A_{ik,l}-A_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-A_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.$

Derivadas contravariantes de tensores

Para hallar la derivada contravariante de un campo vectorial, primero debemos transformarlo en una derivada covariante utilizando el tensor métrico. $\nabla ^{l}V^{m}=g^{il}\nabla _{i}V^{m}=g^{il}\partial _{i}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}=\partial ^{l}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}$

Aplicaciones

En la relatividad general

Los símbolos de Christoffel se utilizan con frecuencia en la teoría de la relatividad general de Einstein , donde el espaciotiempo se representa mediante una variedad de Lorentz curva de cuatro dimensiones con una conexión de Levi-Civita . Las ecuaciones de campo de Einstein —que determinan la geometría del espaciotiempo en presencia de materia— contienen el tensor de Ricci , por lo que el cálculo de los símbolos de Christoffel es esencial. Una vez determinada la geometría, las trayectorias de las partículas y los haces de luz se calculan resolviendo las ecuaciones geodésicas en las que aparecen explícitamente los símbolos de Christoffel.

En mecánica clásica (no relativista)

Dejar $x^{i}$ sean las coordenadas generalizadas y ${\dot {x}}^{i}$ Si las velocidades generalizadas son, entonces la energía cinética para una unidad de masa viene dada por $T={\tfrac {1}{2}}g_{ik}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{k}$ , dónde $g_{ik}$ es el tensor métrico . Si $V\left(x^{i}\right)$ , la función potencial, existe entonces los componentes contravariantes de la fuerza generalizada por unidad de masa son $F_{i}=\partial V/\partial x^{i}$ La métrica (aquí en un dominio puramente espacial) se puede obtener a partir del elemento de línea. $ds^{2}=2Tdt^{2}$ Sustituyendo el lagrangiano $L=T-V$ En la ecuación de Euler-Lagrange , obtenemos ^{[ 19 ].}

$g_{ik}{\ddot {x}}^{k}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{il}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{lk}}{\partial x^{i}}}\right){\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F_{i}.$

Ahora multiplicando por $g^{ij}$ , obtenemos ${\ddot {x}}^{j}+{\Gamma ^{j}}_{lk}{\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F^{j}.$

Cuando se pueden adoptar coordenadas cartesianas (como en los sistemas de referencia inerciales), tenemos una métrica euclidiana, el símbolo de Christoffel desaparece y la ecuación se reduce a la segunda ley del movimiento de Newton . En coordenadas curvilíneas ^{[ 20 ]} (obligatoriamente en sistemas no inerciales, donde la métrica no es euclidiana ni plana), fuerzas ficticias como la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis se originan a partir de los símbolos de Christoffel, es decir, a partir de las coordenadas curvilíneas puramente espaciales.

En coordenadas de la superficie terrestre

Dado un sistema de coordenadas esféricas , que describe puntos en la superficie de la Tierra (aproximado como una esfera ideal).

${\begin{aligned}x(R,\theta ,\varphi )&={\begin{pmatrix}R\cos \theta \cos \varphi &R\cos \theta \sin \varphi &R\sin \theta \end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$

Para un punto x, $R$ es la distancia al núcleo terrestre (generalmente aproximadamente el radio terrestre ). $θ$ y $φ$ son la latitud y la longitud . Un valor positivo $de θ$ corresponde al hemisferio norte. Para simplificar las derivadas, los ángulos se expresan en radianes (donde d sin(x)/dx = cos(x), los valores en grados introducen un factor adicional de 360 / 2 pi).

En cualquier lugar, las direcciones tangentes son $e_{R}$ (arriba), $e_{\theta }$ (norte) y $e_{\varphi }$ (este) - también puedes usar los índices 1, 2, 3.

${\begin{aligned}e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\e_{\theta }&=R\cdot {\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \varphi &-\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \end{pmatrix}}\\e_{\varphi }&=R\cos \theta \cdot {\begin{pmatrix}-\sin \varphi &\cos \varphi &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$

El tensor métrico correspondiente solo tiene elementos diagonales (las longitudes de los vectores al cuadrado). Esto es una ventaja del sistema de coordenadas y no es una regla general.

^{[ 21 ]} ${\begin{aligned}g_{RR}=1\qquad &g_{\theta \theta }=R^{2}\qquad &g_{\varphi \varphi }=R^{2}\cos ^{2}\theta \qquad &g_{ij}=0\quad \mathrm {else} \\g^{RR}=1\qquad &g^{\theta \theta }=1/R^{2}\qquad &g^{\varphi \varphi }=1/(R^{2}\cos ^{2}\theta )\qquad &g^{ij}=0\quad \mathrm {else} \\\end{aligned}}$

Ahora se pueden calcular las cantidades necesarias. Ejemplos:

${\begin{aligned}e^{R}=e_{R}g^{RR}=1\cdot e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }=e^{R}\cdot {\frac {\partial }{\partial \varphi }}e_{\varphi }&=e^{R}\cdot {\begin{pmatrix}-R\cos \theta \cos \varphi &-R\cos \theta \sin \varphi &0\end{pmatrix}}=-R\cos ^{2}\theta \\\end{aligned}}$

Los símbolos de Christoffel resultantes de segunda clase ${\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}$ Luego están (organizados por el índice "derivado" $i$ en una matriz):

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{RR}&{\Gamma ^{R}}_{\theta R}&{\Gamma ^{R}}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\theta }}_{RR}&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\varphi }}_{RR}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi R}\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1/R&0\\0&0&1/R\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\theta }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \theta }\\\end{pmatrix}}\quad &={\begin{pmatrix}0&-R&0\\1/R&0&0\\0&0&-\tan \theta \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&-R\cos ^{2}\theta \\0&0&\cos \theta \sin \theta \\1/R&-\tan \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$

Estos valores muestran cómo las direcciones tangentes (columnas: $e_{R}$ , $e_{\theta }$ , $e_{\varphi }$ ) cambio, visto desde una perspectiva externa (por ejemplo, desde el espacio), pero dado en las direcciones tangentes de la ubicación real (filas: $R$ , $θ$ , $φ$ ).

Como ejemplo, tomemos las derivadas no nulas con respecto a $θ$ en ${\Gamma ^{k}}_{j\ \theta }$ , lo que corresponde a un movimiento hacia el norte (dθ positivo):

La nueva dirección norte $e_{\theta }$ cambia en -R dθ en la dirección hacia arriba (R). Por lo tanto, la dirección norte rotará hacia abajo, hacia el centro de la Tierra.
De manera similar, la dirección hacia arriba $e_{R}$ se ajustará hacia el norte. Las diferentes longitudes de $e_{R}$ y $e_{\theta }$ conducen a un factor de 1/R.
Moviéndose hacia el norte, el vector tangente al este $e_{\varphi }$ cambia su longitud (-tan(θ) en la diagonal), se contraerá (-tan(θ) dθ < 0) en el hemisferio norte y aumentará (-tan(θ) dθ > 0) en el hemisferio sur. ^{[ 21 ]}

Estos efectos tal vez no sean evidentes durante el movimiento, ya que son los ajustes que mantienen las mediciones en las coordenadas $R$ , $θ$ , $φ$ . Sin embargo, pueden afectar distancias, ecuaciones físicas, etc. Por ejemplo, si se necesita el cambio exacto de un campo magnético que apunta aproximadamente hacia el sur, puede ser necesario corregir la medición mediante el cambio de la dirección norte utilizando los símbolos de Christoffel para obtener el valor verdadero ( tensorial ).

Los símbolos de Christoffel de primera clase ${\Gamma _{l}}_{ji}=g_{lk}{\Gamma ^{k}}_{ji}$ mostrar el mismo cambio usando coordenadas corregidas métricamente, por ejemplo para la derivada por $φ$ :

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma _{R}}_{R\varphi }&{\Gamma _{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=R\cos \theta {\begin{pmatrix}0&0&-\cos \theta \\0&0&R\sin \theta \\\cos \theta &-R\sin \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$

Enfoque lagrangiano para encontrar una solución

En coordenadas cilíndricas, las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares cilíndricas existen como:

${\textstyle {\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \\z=h\end{cases}}}$ y ${\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\\h=z\end{cases}}$

Los puntos cartesianos existen y los símbolos de Christoffel se desvanecen con el paso del tiempo, por lo tanto, en coordenadas cilíndricas:

$\Gamma _{rr}^{r}=\Gamma _{\varphi r}^{r}={\frac {\partial ^{2}x}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial z}}=0$

$\Gamma _{r\varphi }^{r}=\Gamma _{\varphi r}^{r}={\frac {\partial ^{2}x}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial r}{\partial z}}=-\sin \varphi \cos \varphi +\sin \varphi \cos \varphi =0$

$\Gamma _{\varphi \varphi }^{r}={\frac {\partial ^{2}x}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial z}}=-{\frac {x}{r}}-{\frac {y}{r}}=-r$

$\Gamma _{rr}^{\varphi }=\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }={\frac {\partial ^{2}x}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial r^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=0$

$\Gamma _{r\varphi }^{\varphi }=\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }={\frac {\partial ^{2}x}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial r\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=-{\frac {y}{r^{2}}}+\cos \varphi {\frac {x}{r^{2}}}={\frac {1}{r}}$

$\Gamma _{\varphi \varphi }^{\varphi }={\frac {\partial ^{2}x}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=-{\frac {x}{r^{2}}}-{\frac {y}{r^{2}}}=0$

Coordenadas esféricas (usando el lagrangiano 2x2x2)

$ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$

El lagrangiano se puede evaluar como:

$L={\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}$

Por eso,

${\begin{cases}{\ddot {\phi }}+2{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\dot {\theta }}{\dot {\phi }}=0\\{\ddot {\theta }}-\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}=0\\{\frac {d^{2}x^{k}}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{ij}^{k}{\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {dx^{j}}{d\lambda }}=0\\{\frac {\partial L}{\partial {\ddot {\theta }}}}=0\end{cases}}$ se puede reorganizar para ${\begin{cases}{\ddot {\phi }}+2{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\dot {\theta }}{\dot {\phi }}=0\\{\ddot {\theta }}-\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}=0\end{cases}}$

Utilizando la siguiente ecuación geodésica:

${\frac {d^{2}x^{k}}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{ij}^{k}{\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {dx^{j}}{d\lambda }}=0$

Se puede obtener lo siguiente:

$\Gamma _{22}^{1}=-\sin \theta \cos \theta (\Gamma _{12}^{2})=\Gamma _{21}^{2}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}$

^{[ 21 ]}

Mecánica lagrangiana en geodésicas (principios de mínima acción en símbolos de Christoffel)

Al incorporar la mecánica lagrangiana y utilizar la ecuación de Euler-Lagrange , se pueden sustituir los símbolos de Christoffel en el lagrangiano para tener en cuenta la geometría de la variedad. Dado que los símbolos de Christoffel se calculan a partir del tensor métrico , las ecuaciones se pueden derivar y expresar a partir del principio de mínima acción. Al aplicar la ecuación de Euler-Lagrange a un sistema de ecuaciones, el lagrangiano incluirá términos que involucran los símbolos de Christoffel, lo que permite que la ecuación actúe sobre la curvatura y determine las ecuaciones de movimiento correctas para objetos que se mueven a lo largo de geodésicas.

Utilizando el principio de mínima acción de la ecuación de Euler-Lagrange

La ecuación de Euler-Lagrange se aplica a un funcional relacionado con la trayectoria de un objeto en un sistema de coordenadas esféricas,

Dado $L\in C^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ y $y\in C^{1}[a,b]$ de tal manera que $y(a)=C$ y $ey(b)=d$

si

${\begin{cases}\int _{a}^{b}L(y(x))dx\\\int _{a}^{b}L(y'(x))dx\\\int _{a}^{b}L(x)dx\end{cases}}$

Alcanza su mínimo $min\equiv y_{0}\in C$ , dónde $y_{0}$ es una solución que se puede encontrar resolviendo la ecuación diferencial:

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial L}{\partial y'}}(y(x),y'(x))\right)-{\frac {\partial L}{\partial y}}(y(x),y'(x))=0$

La ecuación diferencial proporciona las condiciones matemáticas que deben cumplirse para alcanzar esta trayectoria óptima.

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Véase también

Notas

↑ Véase, por ejemplo, ( Spivak 1999 ) y ( Choquet-Bruhat y DeWitt-Morette 1977 )
↑ Ronald Adler, Maurice Bazin, Menahem Schiffer, Introducción a la relatividad general (1965) McGraw-Hill Book Company ISBN 0-07-000423-4( Véase la sección 2.1 )
↑ Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation (1973) WH Freeman ISBN 0-7167-0334-3( Véanse los capítulos 8-11 )
↑ Misner, Thorne, Wheeler, op. cit. ( Véase el capítulo 13 )
↑ Jurgen Jost, Geometría riemanniana y análisis geométrico , (2002) Springer-Verlag ISBN 3-540-42627-2
↑ David Bleeker, Teoría de gauge y principios variacionales (1991) Addison-Wesley Publishing Company ISBN 0-201-10096-7
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1 2 3 "Símbolo de Christoffel de segunda especie -- de Wolfram MathWorld" . mathworld.wolfram.com . Archivado del original el 23 de enero de 2009.
1 2 Bishop, RL; Goldberg (1968), Análisis tensorial en variedades , pág. 241
1 2 Ludvigsen, Malcolm (1999), Relatividad general: un enfoque geométrico , pág. 88
↑ Chatterjee, U.; Chatterjee, N. (2010). Análisis vectorial y tensorial . pág. 480.
↑ Struik, DJ (1961). Lecciones de geometría diferencial clásica (primera edición publicada en 1988 por Dover). pág. 114.
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↑ Esto supone que la conexión es simétrica (por ejemplo, la conexión de Levi-Civita). Si la conexión tiene torsión , entonces solo la parte simétrica del símbolo de Christoffel puede hacerse desaparecer.
↑ Einstein, Albert (2005). "El significado de la relatividad (1956, 5.ª edición)" . Princeton University Press (2005).
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Referencias

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[1] Véase, por ejemplo, ( Spivak 1999 ) y ( Choquet-Bruhat y DeWitt-Morette 1977 )

[2] Ronald Adler, Maurice Bazin, Menahem Schiffer, Introducción a la relatividad general (1965) McGraw-Hill Book Company ISBN 0-07-000423-4( Véase la sección 2.1 )

[3] Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation (1973) WH Freeman ISBN 0-7167-0334-3( Véanse los capítulos 8-11 )

[4] Misner, Thorne, Wheeler, op. cit. ( Véase el capítulo 13 )

[5] Jurgen Jost, Geometría riemanniana y análisis geométrico , (2002) Springer-Verlag ISBN 3-540-42627-2

[6] David Bleeker, Teoría de gauge y principios variacionales (1991) Addison-Wesley Publishing Company ISBN 0-201-10096-7

[christoffel-7] 1 2 3 Christoffel, EB (1869), "Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 70 : 46– 70

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[dirkstruik-13] Struik, DJ (1961). Lecciones de geometría diferencial clásica (primera edición publicada en 1988 por Dover). pág. 114.

[14] G. Ricci-Curbastro (1896). "Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque". Memoria. Acc. Lincei . 2 (5): 276–322 .

[15] H. Levy (1925). "Coeficientes de rotación de Ricci" . Bull. Amer. Math. Soc . 31 ( 3–4 ): 142–145 . doi : 10.1090/s0002-9904-1925-03996-8 .

[16] Esto supone que la conexión es simétrica (por ejemplo, la conexión de Levi-Civita). Si la conexión tiene torsión , entonces solo la parte simétrica del símbolo de Christoffel puede hacerse desaparecer.

[17] Einstein, Albert (2005). "El significado de la relatividad (1956, 5.ª edición)" . Princeton University Press (2005).

[18] Schrödinger, E. (1950). Estructura del espacio-tiempo. Cambridge University Press.

[19] Adler, R., Bazin, M., & Schiffer, M. Introducción a la relatividad general (Nueva York, 1965).

[20] David, Kay, Cálculo tensorial (1988) McGraw-Hill Book Company ISBN 0-07-033484-6( Véase la sección 11.4 )

[:0-21] 1 2 3 4 "Alexander J. Sesslar" . sites.google.com . Consultado el 22 de octubre de 2024 .

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