Intersección (geometría)

Para la determinación del punto de intersección de dos líneas no paralelas

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}$

Se obtienen, mediante la regla de Cramer o sustituyendo una variable, las coordenadas del punto de intersección.${\displaystyle (x_{s},y_{s})}$ :

${\displaystyle x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}.\ }$

(Si${\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0}$Las líneas son paralelas y estas fórmulas no se pueden usar porque implican dividir por cero.

Para dos segmentos de línea no paralelos${\ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2})}$y${\ Displaystyle (x_ {3}, y_ {3}), (x_ {4}, y_ {4})}$No necesariamente hay un punto de intersección (ver diagrama), porque el punto de intersección${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$Las líneas correspondientes no tienen por qué estar contenidas en los segmentos de línea. Para comprobar la situación, se utilizan representaciones paramétricas de las líneas:

${\displaystyle (x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1})),}$

${\displaystyle (x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3})).}$

Los segmentos de línea se intersecan únicamente en un punto común.${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$de las líneas correspondientes si los parámetros correspondientes${\displaystyle s_{0},t_{0}}$cumplir la condición${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$Los parámetros${\displaystyle s_{0},t_{0}}$son la solución del sistema lineal

${\displaystyle s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},}$

${\displaystyle s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .}$

Se puede resolver para s y t usando la regla de Cramer (ver arriba ). Si la condición${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$se cumple uno inserta${\displaystyle s_{0}}$o${\displaystyle t_{0}}$en la representación paramétrica correspondiente y obtiene el punto de intersección${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

Ejemplo: Para los segmentos de línea${\displaystyle (1,1),(3,2)}$y${\displaystyle (1,4),(2,-1)}$se obtiene el sistema lineal

${\displaystyle 2s-t=0}$

${\displaystyle s+5t=3}$

y${\displaystyle s_{0}={\tfrac {3}{11}},t_{0}={\tfrac {6}{11}}}$. Eso significa: las líneas se intersecan en el punto${\displaystyle ({\tfrac {17}{11}},{\tfrac {14}{11}})}$.

Nota: Si se consideran líneas, en lugar de segmentos, determinados por pares de puntos, cada condición${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$se puede eliminar y el método produce el punto de intersección de las líneas (ver arriba ).

Para la intersección de

• línea${\displaystyle ax+by=c}$y círculo${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

Se resuelve la ecuación de la recta para x o y y se sustituye en la ecuación del círculo y se obtiene la solución (usando la fórmula de una ecuación cuadrática).${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$con

${\displaystyle x_{1/2}={\frac {ac\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle y_{1/2}={\frac {bc\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$

si${\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}>0\ .}$Si esta condición se cumple con desigualdad estricta, existen dos puntos de intersección; en este caso, la línea se denomina secante del círculo, y el segmento de línea que conecta los puntos de intersección se denomina cuerda del círculo.

Si${\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0}$Si se cumple la desigualdad débil, existe un único punto de intersección y la recta es tangente a la circunferencia. Si no se cumple la desigualdad débil, la recta no interseca la circunferencia.

Otra forma rápida de derivar los puntos de intersección es el ansatz${\displaystyle (x_{1/2},y_{1/2})=s(a,b)\pm t(b,-a)}$, resolviendo primero para${\displaystyle s}$utilizando la ecuación de la línea, que se simplifica a${\displaystyle s(a^{2}+b^{2})=c}$y luego para${\displaystyle t}$utilizando la ecuación del círculo, que se simplifica a${\displaystyle (s^{2}+t^{2})(a^{2}+b^{2})=r^{2}}$.

Si el punto medio del círculo no es el origen, véase. ^{[ 1 ]} La intersección de una línea y una parábola o hipérbola puede tratarse de forma análoga.

Determinación de los puntos de intersección de dos círculos

• ${\displaystyle (x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2},\ \quad (x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}}$

se puede reducir al caso anterior de intersección de una línea y un círculo. Restando las dos ecuaciones dadas se obtiene la ecuación de la línea:

${\displaystyle 2(x_{2}-x_{1})x+2(y_{2}-y_{1})y=r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}.}$

Esta línea especial es la línea radical de los dos círculos.

Caso especial${\displaystyle \;x_{1}=y_{1}=y_{2}=0}$ En este caso , el origen es el centro del primer círculo y el segundo centro se encuentra sobre el eje x (véase el diagrama). La ecuación de la línea radical se simplifica a${\displaystyle \;2x_{2}x=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}\;}$y los puntos de intersección se pueden escribir como${\displaystyle (x_{0},\pm y_{0})}$con

${\displaystyle x_{0}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}}{2x_{2}}},\quad y_{0}={\sqrt {r_{1}^{2}-x_{0}^{2}}}\ .}$

En caso de${\displaystyle r_{1}^{2}<x_{0}^{2}}$Los círculos no tienen puntos en común. En caso de${\displaystyle r_{1}^{2}=x_{0}^{2}}$Los círculos tienen un punto en común y la línea radical es una tangente común.

Cualquier caso general como el descrito anteriormente puede transformarse mediante un desplazamiento y una rotación en un caso especial.

La intersección de dos discos (el interior de los dos círculos) forma una figura llamada lente .

El problema de la intersección de una elipse, hipérbola o parábola con otra sección cónica conduce a un sistema de ecuaciones cuadráticas , que en casos especiales se puede resolver fácilmente eliminando una coordenada. Se pueden utilizar propiedades especiales de las secciones cónicas para obtener una solución . En general, los puntos de intersección se pueden determinar resolviendo la ecuación mediante una iteración de Newton. Si a) ambas cónicas se dan implícitamente (por una ecuación), se requiere una iteración de Newton bidimensional; b) una se da implícitamente y la otra paramétricamente, se requiere una iteración de Newton unidimensional. Véase la siguiente sección.

Dos curvas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(espacio bidimensional), que son continuamente diferenciables (es decir, no hay inflexión pronunciada), tienen un punto de intersección, si tienen un punto del plano en común y tienen en este punto (ver diagrama):

a) diferentes líneas tangentes ( intersección transversal , después de transversalidad ), o

b) la línea tangente es común y se cruzan entre sí ( intersección tocándose , después de la tangencia ).

Si ambas curvas tienen en común un punto S y la línea tangente a ese punto , pero no se cruzan entre sí, se dice que solo se tocan en el punto S.

Dado que las intersecciones con contacto son poco frecuentes y difíciles de manejar, las siguientes consideraciones omiten este caso. En cualquier caso que se presente a continuación, se presuponen todas las condiciones diferenciales necesarias. La determinación de los puntos de intersección siempre conduce a una o dos ecuaciones no lineales que pueden resolverse mediante el método de Newton. A continuación se presenta una lista de los casos que aparecen:

• Si ambas curvas se dan explícitamente:${\displaystyle y=f_{1}(x),\ y=f_{2}(x)}$, igualándolas se obtiene la ecuación

${\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)\ .}$

• Si ambas curvas se dan paramétricamente:${\displaystyle C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:(x_{2}(s),y_{2}(s)).}$

Igualándolas se obtienen dos ecuaciones con dos variables:

${\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(s),\ y_{1}(t)=y_{2}(s)\ .}$

• Si una curva se da paramétricamente y la otra implícitamente :${\displaystyle C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:f(x,y)=0.}$

Este es el caso más simple aparte del caso explícito. Hay que insertar la representación paramétrica de${\displaystyle C_{1}}$en la ecuación${\displaystyle f(x,y)=0}$de curva${\displaystyle C_{2}}$y se obtiene la ecuación:

${\displaystyle f(x_{1}(t),y_{2}(t))=0\ .}$

• Si ambas curvas se dan implícitamente:${\displaystyle C_{1}:f_{1}(x,y)=0,\ C_{2}:f_{2}(x,y)=0.}$

Aquí, un punto de intersección es una solución del sistema.

${\displaystyle f_{1}(x,y)=0,\ f_{2}(x,y)=0\ .}$

Cualquier iteración de Newton requiere valores iniciales convenientes, que pueden obtenerse mediante la visualización de ambas curvas. Una curva dada paramétricamente o explícitamente se puede visualizar fácilmente, ya que para cualquier parámetro t o x , respectivamente, es sencillo calcular el punto correspondiente. Para curvas dadas implícitamente, esta tarea no es tan sencilla. En este caso, es necesario determinar un punto de la curva con la ayuda de valores iniciales y una iteración. Véase ^{[ 2 ] .}

Ejemplos:

1:${\displaystyle C_{1}:(t,t^{3})}$y círculo${\displaystyle C_{2}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-10=0}$(Ver diagrama).

La iteración de Newton${\displaystyle t_{n+1}:=t_{n}-{\frac {f(t_{n})}{f'(t_{n})}}}$para función

${\displaystyle f(t)=(t-1)^{2}+(t^{3}-1)^{2}-10}$Hay que hacerlo. Como valores iniciales se pueden elegir −1 y 1,5.

Los puntos de intersección son: (−1,1073, −1,3578), (1,6011, 4,1046)

2:${\displaystyle C_{1}:f_{1}(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0,}$

${\displaystyle C_{2}:f_{2}(x,y)=(x-0.5)^{2}+(y-0.5)^{2}-1=0}$(Ver diagrama).

La iteración de Newton

${\displaystyle {x_{n+1} \choose y_{n+1}}={x_{n}+\delta _{x} \choose y_{n}+\delta _{y}}}$debe realizarse, donde${\displaystyle {\delta _{x} \choose \delta _{y}}}$es la solución del sistema lineal

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{pmatrix}}{\delta _{x} \choose \delta _{y}}={-f_{1} \choose -f_{2}}}$en el punto${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$. Como valores iniciales se pueden elegir (−0,5, 1) y (1, −0,5).

El sistema lineal se puede resolver mediante la regla de Cramer.

Los puntos de intersección son (−0,3686, 0,9953) y (0,9953, −0,3686).

Si se desea determinar los puntos de intersección de dos polígonos , se puede comprobar la intersección de cualquier par de segmentos de línea de los polígonos (véase más arriba ). Para polígonos con muchos segmentos, este método es bastante lento. En la práctica, se acelera el algoritmo de intersección mediante pruebas de ventana . En este caso, se divide el polígono en subpolígonos pequeños y se determina la ventana más pequeña (rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas) para cada subpolígono. Antes de comenzar la determinación, que consume mucho tiempo, del punto de intersección de dos segmentos de línea, se comprueba si cualquier par de ventanas tiene puntos comunes. Véase ^{[ 3 ] .}

La intersección de una línea y un plano en posición general en tres dimensiones es un punto.

Comúnmente, una línea en el espacio se representa paramétricamente. ${\displaystyle (x(t),y(t),z(t))}$y un plano mediante una ecuación${\displaystyle ax+by+cz=d}$Al insertar la representación de los parámetros en la ecuación, se obtiene la ecuación lineal.

${\displaystyle ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,}$

para el parámetro${\displaystyle t_{0}}$del punto de intersección${\displaystyle (x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))}$.

Si la ecuación lineal no tiene solución, la recta se encuentra sobre el plano o es paralela a él.

Si una línea está definida por dos planos que se intersecan${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2}$y debe ser intersectado por un tercer plano.${\displaystyle \varepsilon _{3}:\ {\vec {n}}_{3}\cdot {\vec {x}}=d_{3}}$, hay que evaluar el punto de intersección común de los tres planos.

Tres aviones${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3}$con vectores normales linealmente independientes${\displaystyle {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}}$tener el punto de intersección

${\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+d_{2}({\vec {n}}_{3}\times {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})}}\ .}$

Para la prueba se debe establecer${\displaystyle {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3,}$utilizando las reglas de un producto triple escalar . Si el producto triple escalar es igual a 0, entonces los planos no tienen la triple intersección o se trata de una línea (o un plano, si los tres planos son iguales).

De forma análoga al caso plano, los siguientes casos dan lugar a sistemas no lineales, que pueden resolverse mediante una iteración de Newton unidimensional o tridimensional. ^{[ 4 ]}

• curva paramétrica${\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t))}$y

superficie paramétrica${\displaystyle S:(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,}$

• curva paramétrica${\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t))}$y

superficie implícita${\displaystyle S:f(x,y,z)=0\ .}$

Ejemplo:

curva paramétrica${\displaystyle C:(t,t^{2},t^{3})}$ y

superficie implícita${\displaystyle S:x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0}$(imagen).

Los puntos de intersección son: (−0,8587, 0,7374, −0,6332), (0,8587, 0,7374, 0,6332).

La intersección de una línea y una esfera es un caso especial sencillo.

Al igual que en el caso de una línea y un plano, la intersección de una curva y una superficie en posición general consta de puntos discretos, pero una curva puede estar parcial o totalmente contenida en una superficie.

Dos superficies que se intersecan transversalmente forman una curva de intersección . El caso más sencillo es la línea de intersección de dos planos no paralelos.

Cuando la intersección de una esfera y un plano no es un punto vacío o único, es un círculo. Esto se puede ver de la siguiente manera:

Sea S una esfera con centro O , P un plano que interseca a S. Dibujemos OE perpendicular a P y que interseca a P en E. Sean A y B dos puntos cualesquiera en la intersección. Entonces AOE y BOE son triángulos rectángulos con un lado común, OE , y hipotenusas AO y BO iguales. Por lo tanto, los lados restantes AE y BE son iguales. Esto prueba que todos los puntos en la intersección están a la misma distancia del punto E en el plano P , en otras palabras , todos los puntos en la intersección se encuentran en una circunferencia C con centro E. ^{[ 5 ]} Esto prueba que la intersección de P y S está contenida en C. Nótese que OE es el eje de la circunferencia.

Consideremos ahora un punto D de la circunferencia C. Como C pertenece al triángulo P , D también pertenece a él . Por otro lado, los triángulos AOE y DOE son triángulos rectángulos con un lado común, OE , y catetos EA y ED iguales. Por lo tanto , las hipotenusas AO y DO son iguales, e iguales al radio de S , de modo que D pertenece a S. Esto demuestra que C está contenido en la intersección de P y S.

Como corolario, en una esfera hay exactamente un círculo que puede trazarse a través de tres puntos dados. ^{[ 6 ]}

La demostración puede extenderse para mostrar que los puntos de un círculo están todos a una distancia angular común de uno de sus polos. ^{[ 7 ]}

Compárese también con las secciones cónicas , que pueden producir óvalos .

Para demostrar que una intersección no trivial de dos esferas es un círculo, supongamos ( sin pérdida de generalidad ) que una esfera (con radio${\displaystyle R}$) está centrado en el origen. Los puntos en esta esfera satisfacen

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.}$

Además, sin pérdida de generalidad, supongamos que la segunda esfera, con radio${\displaystyle r}$, está centrado en un punto del eje x positivo, a una distancia${\displaystyle a}$desde el origen. Sus puntos satisfacen

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.}$

La intersección de las esferas es el conjunto de puntos que satisfacen ambas ecuaciones. Restando las ecuaciones se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-a)^{2}-x^{2}&=r^{2}-R^{2}\\a^{2}-2ax&=r^{2}-R^{2}\\x&={\frac {a^{2}+R^{2}-r^{2}}{2a}}.\end{aligned}}}$

En el caso singular${\displaystyle a=0}$, las esferas son concéntricas. Hay dos posibilidades: si${\displaystyle R=r}$, las esferas coinciden, y la intersección es la esfera completa; si${\displaystyle R\not =r}$Las esferas son disjuntas y la intersección es vacía. Cuando a es distinto de cero, la intersección se encuentra en un plano vertical con esta coordenada x, que puede intersecar ambas esferas, ser tangente a ambas o estar fuera de ambas. El resultado se deduce de la demostración anterior para intersecciones esfera-plano.