Ajuste de curvas

La ecuación polinómica de primer grado

${\displaystyle y=ax+b\;}$

es una línea con pendiente a . Una línea conecta dos puntos cualesquiera, por lo que una ecuación polinómica de primer grado es un ajuste exacto que pasa por dos puntos cualesquiera con coordenadas x distintas.

Si se aumenta el orden de la ecuación a un polinomio de segundo grado, se obtienen los siguientes resultados:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\;.}$

Esto ajustará perfectamente una curva simple a tres puntos.

Si se aumenta el orden de la ecuación a un polinomio de tercer grado, se obtiene lo siguiente:

${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\;.}$

Esto encajará exactamente en cuatro puntos.

Una afirmación más general sería decir que se ajustará exactamente a cuatro restricciones . Cada restricción puede ser un punto, un ángulo o una curvatura (que es el recíproco del radio de un círculo osculador ). Las restricciones de ángulo y curvatura se suelen añadir a los extremos de una curva y, en tales casos, se denominan condiciones de extremo . Las condiciones de extremo idénticas se utilizan con frecuencia para garantizar una transición suave entre curvas polinómicas contenidas en una sola spline . También se podrían añadir restricciones de orden superior, como "el cambio en la tasa de curvatura". Esto, por ejemplo, sería útil en el diseño de cruces de autopistas para comprender la tasa de cambio de las fuerzas aplicadas a un automóvil (véase la sacudida ) mientras sigue el cruce, y para establecer límites de velocidad razonables en consecuencia.

La ecuación polinómica de primer grado también podría ajustarse con precisión a un punto y un ángulo, mientras que la ecuación polinómica de tercer grado podría ajustarse con precisión a dos puntos, una restricción angular y una restricción de curvatura. Son posibles muchas otras combinaciones de restricciones para estas ecuaciones y para ecuaciones polinómicas de orden superior.

Si existen más de n  +  1 restricciones ( donde n es el grado del polinomio), la curva polinómica aún puede ajustarse a dichas restricciones. Un ajuste exacto a todas las restricciones no es seguro (aunque podría ocurrir, por ejemplo, en el caso de un polinomio de primer grado que se ajuste con precisión a tres puntos colineales ). En general, sin embargo, se requiere algún método para evaluar cada aproximación. El método de mínimos cuadrados es una forma de comparar las desviaciones.

Se aducen varias razones para obtener un ajuste aproximado cuando es posible simplemente aumentar el grado de la ecuación polinómica y obtener un ajuste exacto.

• Aunque exista una coincidencia exacta, no significa necesariamente que pueda descubrirse fácilmente. Dependiendo del algoritmo utilizado, puede darse el caso de que no se pueda calcular la coincidencia exacta o que el cálculo requiera demasiado tiempo de procesamiento. En tal caso, podría ser necesaria una solución aproximada.
• El efecto de promediar los puntos de datos cuestionables en una muestra, en lugar de distorsionar la curva para que se ajuste exactamente a ellos, puede resultar deseable.
• Fenómeno de Runge : los polinomios de alto grado pueden ser altamente oscilatorios. Si una curva pasa por dos puntos A y B , se esperaría que también pasara cerca del punto medio entre A y B. Esto puede no ocurrir con las curvas de polinomios de alto grado; incluso pueden tener valores muy grandes, tanto positivos como negativos . Con los polinomios de bajo grado, es más probable que la curva pase cerca del punto medio (incluso se garantiza que pase exactamente por el punto medio en un polinomio de primer grado).
• Los polinomios de bajo grado tienden a ser suaves, mientras que las curvas polinómicas de alto grado tienden a ser irregulares. Para definir esto con mayor precisión, el número máximo de puntos de inflexión posibles en una curva polinómica es n-2 , donde n es el grado de la ecuación polinómica. Un punto de inflexión es un punto en la curva donde cambia de radio positivo a negativo. También podemos decir que es donde pasa de "retener agua" a "desprender agua". Cabe destacar que solo es "posible" que los polinomios de alto grado sean irregulares; también podrían ser suaves, pero no hay garantía de ello, a diferencia de las curvas polinómicas de bajo grado. Un polinomio de grado quince podría tener, como máximo, trece puntos de inflexión, pero también podría tener once, nueve o cualquier número impar hasta uno. (Los polinomios de grado par podrían tener cualquier número par de puntos de inflexión desde n  -  2 hasta cero).

Un grado de la curva polinómica superior al necesario para un ajuste exacto resulta indeseable por todas las razones mencionadas anteriormente para polinomios de alto grado, y además conduce a un número infinito de soluciones. Por ejemplo, un polinomio de primer grado (una línea) restringido por un solo punto, en lugar de los dos habituales, daría lugar a un número infinito de soluciones. Esto plantea el problema de cómo comparar y elegir una sola solución, lo cual puede ser complicado tanto para el software como para los humanos. Por ello, lo más recomendable suele ser elegir el grado más bajo posible para lograr un ajuste exacto en todas las restricciones, e incluso un grado menor si se acepta un ajuste aproximado.

En ciertos casos, también se pueden utilizar otros tipos de curvas, como las funciones trigonométricas (por ejemplo, el seno y el coseno).

En espectroscopia, los datos pueden ajustarse mediante funciones gaussianas , lorentzianas , de Voigt y funciones relacionadas.

En biología, ecología, demografía, epidemiología y muchas otras disciplinas, el crecimiento de una población , la propagación de enfermedades infecciosas, etc., se pueden ajustar utilizando la función logística .

En agricultura, la función sigmoide logística invertida (curva en S) se utiliza para describir la relación entre el rendimiento de los cultivos y los factores de crecimiento. La figura azul se obtuvo mediante una regresión sigmoide de datos medidos en tierras agrícolas. Se observa que, inicialmente, es decir, con baja salinidad del suelo, el rendimiento de los cultivos disminuye lentamente al aumentar la salinidad, mientras que posteriormente la disminución se acelera.

Coope ^{[ 23 ]} aborda el problema de encontrar el mejor ajuste visual de un círculo a un conjunto de puntos de datos 2D. El método transforma elegantemente el problema, normalmente no lineal, en un problema lineal que puede resolverse sin utilizar métodos numéricos iterativos, y por lo tanto es mucho más rápido que las técnicas anteriores.

La ecuación de una sección cónica (incluidas las elipses) tiene la forma ^{[ 24 ].}

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

para puntos con coordenadas cartesianas (x,y) en el borde. Para un conjunto de datos de puntos dispersos (x _i ,y _i ) y una elipse fija, los segundos miembros de esta ecuación ya no son cero. Un enfoque para ajustar los puntos a una elipse es encontrar los seis parámetros A a F tales que la suma de los (cuadrados de) los segundos miembros residuales se minimice. Esto conduce a un problema de ajuste lineal por mínimos cuadrados que se resuelve básicamente encontrando los autovectores de una matriz asociada de 6 x 6 que contiene sumas de potencias mixtas de (x _i ,y _i ) . ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}

La técnica anterior se extiende a elipses generales ^{[ 29 ]} mediante la adición de un paso no lineal, lo que da como resultado un método rápido que, además, encuentra elipses visualmente agradables de orientación y desplazamiento arbitrarios. El ajuste geométrico minimiza la suma de las distancias ortogonales al cuadrado de los puntos de datos al borde de la elipse. ^{[ 30 ] [ 31 ]} Un método similar que aproxima estas distancias ortogonales se basa en la métrica de Sampson. ^{[ 32 ] [ 33 ]}