Distribución circular

La distribución de von Mises es una distribución circular que, como cualquier otra distribución circular, puede considerarse como una envoltura de una determinada distribución de probabilidad lineal alrededor del círculo. La distribución de probabilidad lineal subyacente a la distribución de von Mises es matemáticamente intratable; sin embargo, para fines estadísticos, no es necesario tratar con dicha distribución. La utilidad de la distribución de von Mises radica en dos aspectos: es la más manejable matemáticamente de todas las distribuciones circulares, lo que permite un análisis estadístico más sencillo, y constituye una aproximación cercana a la distribución normal envuelta , la cual, de forma análoga a la distribución normal lineal, es importante porque representa el caso límite para la suma de un gran número de pequeñas desviaciones angulares. De hecho, la distribución de von Mises se conoce a menudo como la distribución "normal circular" debido a su facilidad de uso y su estrecha relación con la distribución normal envuelta. ^{[ 3 ]}

La función de densidad de probabilidad de la distribución de von Mises es:$${\displaystyle f(\theta$$ ;\mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(\theta -\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}} donde${\displaystyle I_{0}}$es la función de Bessel modificada de orden 0.

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución uniforme circular viene dada por $${\displaystyle U(\theta )={\frac {1}{2\pi }}.}$$

También puede considerarse como${\displaystyle \kappa =0}$del von Mises mencionado anteriormente.

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución normal envuelta (WN) es: $${\displaystyle WN(\theta$$ ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu -2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right)} donde μ y σ son la media y la desviación estándar de la distribución desenrollada, respectivamente y ${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )}$es la función theta de Jacobi : $${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}}$$dónde${\displaystyle w\equiv e^{i\pi \theta }}$y${\displaystyle q\equiv e^{i\pi \tau }.}$

El PDF de la distribución de Cauchy envuelta (WC) es: $${\displaystyle WC(\theta$$ ;\theta _{0},\gamma )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+(\theta +2\pi n-\theta _{0})^{2})}}={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\theta _{0})}}} donde${\displaystyle \gamma }$es el factor de escala y${\displaystyle \theta _{0}}$es la posición máxima.

El PDF de la distribución de Lévy encapsulada (WL) es: $${\displaystyle f_{WL}(\theta$$ ;\mu ,c)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-c/2(\theta +2\pi n-\mu )}}{(\theta +2\pi n-\mu )^{3/2}}}} donde el valor del sumando se toma como cero cuando${\displaystyle \theta +2\pi n-\mu \leq 0}$,${\displaystyle c}$es el factor de escala y${\displaystyle \mu }$es el parámetro de ubicación.

La distribución normal proyectada es una distribución circular que representa la dirección de una variable aleatoria con distribución normal multivariada, obtenida mediante la proyección radial de la variable sobre la esfera unitaria (n-1). Debido a esto, y a diferencia de otras distribuciones circulares de uso común, no es simétrica ni unimodal .