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Media circular

En matemáticas y estadística , una media circular o media angular es una media diseñada para ángulos y cantidades cíclicas similares, como las horas del día y las partes fraccio...

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En matemáticas y estadística , una media circular o media angular es una media diseñada para ángulos y cantidades cíclicas similares, como las horas del día y las partes fraccionarias de los números reales .

Esto es necesario ya que la mayoría de los medios habituales pueden no ser apropiados para cantidades angulares. Por ejemplo, la media aritmética de 0° y 360° es 180°, lo cual es engañoso porque 360° es igual a 0° módulo un ciclo completo. [ 1 ] Como otro ejemplo, la "hora promedio" entre las 11 p. m. y la 1 a. m. es medianoche o mediodía, dependiendo de si las dos horas son parte de una sola noche o parte de un solo día calendario.

La media circular es uno de los ejemplos más sencillos de estadística direccional y de estadística de espacios no euclidianos . Este cálculo produce un resultado diferente al de la media aritmética, siendo la diferencia mayor cuando los ángulos están muy dispersos. Por ejemplo, la media aritmética de los tres ángulos 0°, 0° y 90° es (0° + 0° + 90°) / 3 = 30°, pero la media vectorial es arctan(1/2) = 26,565°. Además, con la media aritmética, la varianza circular solo está definida en ±180°.

Definición

Dado que la media aritmética no siempre es apropiada para los ángulos, se puede utilizar el siguiente método para obtener tanto un valor medio como una medida de la varianza de los ángulos:

Convierta todos los ángulos a puntos correspondientes en el círculo unitario , por ejemplo,α{\displaystyle \alpha }a(porque⁡α,pecado⁡α){\displaystyle (\cos \alpha ,\sin \alpha )}Es decir, convertir las coordenadas polares a coordenadas cartesianas . Luego, calcular la media aritmética de estos puntos. El punto resultante estará dentro del disco unitario , pero generalmente no sobre el círculo unitario. Convertir ese punto de nuevo a coordenadas polares. El ángulo es una media razonable de los ángulos de entrada. El radio resultante será 1 si todos los ángulos son iguales. Si los ángulos están distribuidos uniformemente sobre el círculo, entonces el radio resultante será 0, y no existe una media circular. (De hecho, es imposible definir una operación de media continua sobre el círculo). En otras palabras, el radio mide la concentración de los ángulos.

Dados los ángulosα1,…,αnorte{\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}Una fórmula común para la media que utiliza la variante atan2 de la función arcotangente es:

α¯=atan2⁡(1norte∑j=1nortepecado⁡αj,1norte∑j=1norteporque⁡αj)=atan2⁡(∑j=1nortepecado⁡αj,∑j=1norteporque⁡αj){\displaystyle {\bar {\alpha }}=\operatorname {atan2} \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)=\operatorname {atan2} \left(\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)}
Resultados de ejemplo para dos direcciones fijas desde el punto O a los puntos A y B y una dirección variable a un punto C en movimiento: el punto D representa una media de A, B y C, y el punto E en un círculo representa la dirección OD, una media circular de las direcciones OA, OB y ​​OC.

Utilizando aritmética compleja

Se puede formular una definición equivalente utilizando números complejos :

α¯=arg⁡(1norte∑j=1norteexp⁡(i⋅αj))=arg⁡(∑j=1norteexp⁡(i⋅αj)){\displaystyle {\bar {\alpha }}=\arg \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)=\arg \left(\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)}.

Para que coincida con la derivación anterior utilizando medias aritméticas de puntos, las sumas tendrían que dividirse pornorte{\displaystyle n}Sin embargo, la escala no importa paraatan2{\displaystyle \operatorname {atan2} }yarg{\displaystyle \arg }, por lo tanto, puede omitirse.

Esto se puede expresar de forma más concisa al comprender que los datos direccionales son, de hecho, vectores de longitud unitaria. En el caso de datos unidimensionales, estos puntos de datos se pueden representar convenientemente como números complejos de magnitud unitaria.z=porque⁡(θ)+ipecado⁡(θ)=miiθ{\displaystyle z=\cos(\theta )+i\,\sin(\theta )=e^{i\theta }}, dóndeθ{\displaystyle \theta }es el ángulo medido. El vector resultante medio para la muestra es entonces:

ρ¯=1norte∑norte=1norteznorte.{\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\frac {1}{N}}\sum _ {n=1}^{N}z_{n}.}

El ángulo medio de la muestra es entonces el argumento de la resultante media:

θ¯=Arg⁡(ρ¯).{\displaystyle {\overline {\theta }}=\operatorname {Arg} ({\overline {\mathbf {\rho } }}).}

La longitud del vector resultante de la media muestral es:

R¯=|ρ¯|{\displaystyle {\overline {R}}=|{\overline {\mathbf {\rho } }}|}

y tendrá un valor entre 0 y 1. Por lo tanto, el vector resultante de la media muestral se puede representar como:

ρ¯=R¯miiθ¯.{\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\overline {R}}\,e^{i{\overline {\theta }}}.}

Cálculos similares también se utilizan para definir la varianza circular .

Propiedades

La media circular,α¯{\displaystyle {\bar {\alpha }}}

α¯=argininaβ∑j=1norted(αj,β), dónde d(φ,β)=1−porque⁡(φ−β).{\displaystyle {\bar {\alpha }}={\underset {\beta }{\operatorname {argmin} }}\sum _{j=1}^{n}d(\alpha _{j},\beta ),{\text{ donde }}d(\varphi ,\beta )=1-\cos(\varphi -\beta ).}
La distanciad(φ,β){\displaystyle d(\varphi,\beta)}es igual a la mitad de la distancia euclidiana al cuadrado entre los dos puntos en el círculo unitario asociado conφ{\displaystyle \varphi }yβ{\displaystyle \beta }.

Ejemplo

Una forma sencilla de calcular la media de una serie de ángulos (en el intervalo [0°,  360°) ) es calcular la media de los cosenos y senos de cada ángulo y obtener el ángulo calculando la tangente inversa. Consideremos los siguientes tres ángulos como ejemplo: 10, 20 y 30 grados. Intuitivamente, calcular la media implicaría sumar estos tres ángulos y dividirlos por 3, lo que en este caso resulta en una media correcta de 20 grados. Al rotar este sistema en sentido antihorario 15 grados, los tres ángulos se convierten en 355 grados, 5 grados y 15 grados. La media aritmética es ahora 125 grados, que es la respuesta incorrecta, ya que debería ser 5 grados. La media vectorialθ¯{\textstyle {\bar {\theta }}}se puede calcular de la siguiente manera, utilizando el seno medios¯{\textstyle {\bar {s}}}y el coseno mediodo¯≠0{\textstyle {\bar {c}}\not =0}:

s¯=13(pecado⁡(355∘)+pecado⁡(5∘)+pecado⁡(15∘))=13(−0,087+0,087+0,259)≈0,086{\displaystyle {\bar {s}}={\frac {1}{3}}(\sin(355^{\circ })+\sin(5^{\circ })+\sin(15^{\circ }))={\frac {1}{3}}(-0.087+0.087+0.259)\approx 0.086}
do¯=13(porque⁡(355∘)+porque⁡(5∘)+porque⁡(15∘))=13(0,996+0,996+0,966)≈0,986{\displaystyle {\bar {c}}={\frac {1}{3}}(\cos(355^{\circ })+\cos(5^{\circ })+\cos(15^{\circ }))={\frac {1}{3}}(0.996+0.996+0.966)\approx 0.986}
θ¯={arctan⁡(s¯do¯)s¯>0, do¯>0arctan⁡(s¯do¯)+180∘do¯<0arctan⁡(s¯do¯)+360∘s¯<0, do¯>0}=arctan⁡(0,0860,986)=arctan⁡(0,087)=5∘.{\displaystyle {\bar {\theta }}=\left.{\begin{cases}\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)&{\bar {s}}>0,\ {\bar {c}}>0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+180^{\circ }&{\bar {c}}<0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+360^{\circ }&{\bar {s}}<0,\ {\bar {c}}>0\end{cases}}\right\}=\arctan \left({\frac {0.086}{0.986}}\right)=\arctan(0.087)=5^{\circ }.}

// Si el ángulo resultante es negativo, suma 360 para que esté dentro del rango estándar de 0 a 360, como por ejemplo: if result < 0 then result  := result + 360;

Implementación

En este código Python utilizamos las horas del día para calcular su promedio circular:

importar matemáticasdef circular_mean ( hours : list [ int ]) -> float : """Convierte horas a radianes""" # Para convertir de horas a grados, necesitamos # multiplicar la hora por 360/24 = 15. radianes = [ math . radians ( hour * 15 ) for hour in hours ]# Calcular la suma de los valores de seno y coseno sin_sum = sum ([ math . sin ( rad ) for rad in radians ]) cos_sum = sum ([ math . cos ( rad ) for rad in radians ])# Calcula la media circular usando arctan2 mean_rad = math . atan2 ( sin_sum , cos_sum )# Convertir la media de nuevo a horas media_hora = ( math.grados ( media_rad ) / 15 ) % 24devolver media_hora# Ejemplo de uso: horas = [ 0 , 12 , 18 ] media_hora = media_circular ( horas ) print ( "Primera media circular:" , round ( media_hora , 2 ))horas = [ 0 , 12 ] media_hora = media_circular ( horas ) print ( "Segunda media circular:" , round ( media_hora , 2 ))horas = [ 0 , 0 , 12 , 12 , 24 ] media_hora = media_circular ( horas ) print ( "Tercera media circular:" , round ( media_hora , 2 ))

Tenga en cuenta que la función anterior ya está implementada por la función de SciPycircmean .

Generalizaciones

Media esférica

Una serie de N vectores unitarios independientesincógnitai{\displaystyle x_{i}}se extraen de una distribución de von Mises-Fisher. Las estimaciones de máxima verosimilitud de la dirección mediaμ{\displaystyle \mu }es simplemente la media aritmética normalizada , una estadística suficiente : [ 2 ]μ=incógnita¯/R¯,dónde incógnita¯=1norte∑inorteincógnitai,y R¯=‖incógnita¯‖,{\displaystyle \mu ={\bar {x}}/{\bar {R}},{\text{where }}{\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i}^{N}x_{i},{\text{and }}{\bar {R}}=\|{\bar {x}}\|,}

Media esférica ponderada

Se puede definir una media esférica ponderada basada en la interpolación lineal esférica . [ 3 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Christopher M. Bishop: Reconocimiento de patrones y aprendizaje automático (Ciencia de la información y estadística) , ISBN 0-387-31073-8
  2. ↑ Mardia, Kanti ; Jupp, PE (1999). Estadística direccional . John Wiley & Sons Ltd. ISBN 978-0-471-95333-3.
  3. ↑ Buss, Samuel R.; Fillmore, Jay P. (2001). "Promedios esféricos y aplicaciones a splines esféricas e interpolación". ACM Transactions on Graphics . 20 (2). Association for Computing Machinery (ACM): 95– 126. doi : 10.1145/502122.502124 . ISSN 0730-0301 . 

Lecturas adicionales

  • Jammalamadaka, S. Rao y SenGupta, A. (2001). Temas de estadística circular , Sección 1.3, World Scientific Press, Singapur. ISBN 981-02-3778-2
  • Hotz, Thomas (2013). «Medios extrínsecos frente a intrínsecos en el círculo». Lecture Notes in Computer Science . Vol.  8085. Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. pp. 433–440 . doi : 10.1007/978-3-642-40020-9_47 . ISBN  978-3-642-40019-3ISSN 0302-9743​​ 
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