funciones trigonométricas

La siguiente tabla enumera los senos, cosenos y tangentes de múltiplos de 15 grados desde 0 hasta 90 grados.

El seno y el coseno pueden definirse como la solución única al problema de valor inicial : ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x,\ {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1.}$$

Diferenciando de nuevo,${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x={\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$y${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cos x=-{\frac {d}{dx}}\sin x=-\cos x}$Por lo tanto, tanto el seno como el coseno son soluciones de la misma ecuación diferencial ordinaria.$${\displaystyle y''+y=0\,.}$$ El seno es la solución única con y (0) = 0 y y ′(0) = 1 ; el coseno es la solución única con y (0) = 1 y y ′(0) = 0 .

Entonces se puede demostrar, como un teorema, que las soluciones${\displaystyle \cos ,\sin }$son periódicos, teniendo el mismo período. Escribiendo este período como${\displaystyle 2\pi }$es entonces una definición de número real${\displaystyle \pi }$lo cual es independiente de la geometría.

Aplicando la regla del cociente a la tangente${\displaystyle \tan x=\sin x/\cos x}$, $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x\,,}$$ Por lo tanto, la función tangente satisface la ecuación diferencial ordinaria. $${\displaystyle y'=1+y^{2}\,.}$$ Es la solución única con y (0) = 0 .

Las funciones trigonométricas básicas se pueden definir mediante las siguientes expansiones en series de potencias . ^{[ 17 ]} Estas series también se conocen como series de Taylor o series de Maclaurin de estas funciones trigonométricas: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\end{aligned}}}$$ El radio de convergencia de estas series es infinito. Por lo tanto, el seno y el coseno pueden extenderse a funciones enteras (también llamadas "seno" y "coseno"), que son (por definición) funciones de valores complejos que están definidas y son holomorfas en todo el plano complejo .

La diferenciación término a término muestra que el seno y el coseno definidos por la serie obedecen la ecuación diferencial discutida anteriormente, y a la inversa, se pueden obtener estas series a partir de relaciones de recurrencia elementales derivadas de la ecuación diferencial.

Al definirse como fracciones de funciones enteras, las demás funciones trigonométricas pueden extenderse a funciones meromorfas , es decir, funciones que son holomorfas en todo el plano complejo, excepto en algunos puntos aislados llamados polos . Aquí, los polos son los números de la forma${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$para la tangente y la secante, o${\displaystyle k\pi }$para la cotangente y la cosecante, donde k es un número entero arbitrario.

También se pueden calcular relaciones de recurrencia para los coeficientes de las series de Taylor de las demás funciones trigonométricas. Estas series tienen un radio de convergencia finito . Sus coeficientes tienen una interpretación combinatoria : enumeran permutaciones alternas de conjuntos finitos. ^{[ 18 ]}

Más precisamente, definiendo

U _n , el n -ésimo número ascendente/descendente ,

B _n , el n - ésimo número de Bernoulli , y

E _n , es el n -ésimo número de Euler ,

una tiene las siguientes expansiones de serie: ^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

Las siguientes fracciones continuas son válidas en todo el plano complejo:

^{[ 20 ]}$${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$$

$${\displaystyle \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$$

$${\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ddots }}}}}}}}}$$

El último se utilizó en la primera prueba histórica de que π es irracional . ^{[ 21 ]}

Existe una fracción continua de rápida convergencia para${\displaystyle \tan(x)}$: ^{[ 22 ]}

$${\displaystyle \tan x=1+{\cfrac {5x^{2}}{T_{0}+5x^{2}}},T_{k}=(4k+1)(4k+3)(4k+5)-4x^{2}(4k+3)+{\cfrac {x^{2}(4k+1)}{1+{\cfrac {x^{2}(4k+9)}{T_{k+1}}}}}}$$ Dejar${\displaystyle x=1}$Entonces, la siguiente representación de fracción continua proporciona (asintóticamente) 12,68 nuevos lugares decimales correctos por ciclo: $${\displaystyle \tan 1=1+{\cfrac {5}{T_{0}+5}},T_{k}=(4k+1)(4k+3)(4k+5)-4(4k+3)+{\cfrac {4k+1}{1+{\cfrac {4k+9}{T_{k+1}}}}}}$$

Existe una representación en serie como expansión en fracciones parciales donde se suman funciones recíprocas trasladadas , de tal manera que los polos de la función cotangente y las funciones recíprocas coinciden: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.}$$ Esta identidad se puede demostrar con el truco de Herglotz . ^{[ 24 ]} La combinación del término (– n ) con el término n conduce a series absolutamente convergentes :$${\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}.}$$ De manera similar, se puede encontrar una expansión en fracciones parciales para las funciones secante, cosecante y tangente: $${\displaystyle \pi \csc \pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x+n}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}},}$$$${\displaystyle \pi ^{2}\csc ^{2}\pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}},}$$$${\displaystyle \pi \sec \pi x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n+1)}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}},}$$$${\displaystyle \pi \tan \pi x=2x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}.}$$ Esas series se pueden deducir a partir del desarrollo de Mittag-Leffler (utilizando el teorema de Mittag-Leffler ).

El siguiente producto infinito para el seno se debe a Leonhard Euler y es de gran importancia en el análisis complejo: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$$ Esto se puede obtener a partir de la descomposición en fracciones parciales de${\displaystyle \cot z}$dado arriba, que es la derivada logarítmica de${\displaystyle \sin z}$. ^{[ 26 ]} De esto también se puede deducir que $${\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$$

La fórmula de Euler relaciona el seno y el coseno con la función exponencial : $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$$ Esta fórmula se suele considerar para valores reales de x , pero sigue siendo válida para todos los valores complejos.

Prueba : Sea${\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\sin x,}$y${\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}.}$Uno tiene${\displaystyle df_{j}(x)/dx=if_{j}(x)}$para j = 1, 2 . La regla del cociente implica, por lo tanto, que${\displaystyle d/dx\,(f_{1}(x)/f_{2}(x))=0}$. Por lo tanto,${\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)}$es una función constante , que es igual a1 , como${\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.}$Esto demuestra la fórmula.

Uno tiene $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}}$$

Al resolver este sistema lineal en seno y coseno, se puede expresar en términos de la función exponencial: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}$$

Cuando x es real, esto puede reescribirse como $${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).}$$

La mayoría de las identidades trigonométricas se pueden demostrar expresando las funciones trigonométricas en términos de la función exponencial compleja mediante las fórmulas anteriores y luego utilizando la identidad.${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}$para simplificar el resultado.

La fórmula de Euler también puede utilizarse para definir directamente la función trigonométrica básica, como sigue, utilizando el lenguaje de los grupos topológicos . ^{[ 27 ]} El conjunto${\displaystyle U}$El conjunto de números complejos de módulo unitario es un grupo topológico compacto y conexo, que tiene un entorno de la identidad que es homeomorfo a la recta real. Por lo tanto, es isomorfo como grupo topológico al grupo toroidal unidimensional.${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$, mediante un isomorfismo $${\displaystyle e:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to U.}$$ En términos sencillos,${\displaystyle e(t)=\exp(2\pi it)}$y este isomorfismo es único salvo al tomar conjugados complejos.

Para un número real distinto de cero${\displaystyle a}$(la base ), la función${\displaystyle t\mapsto e(t/a)}$define un isomorfismo del grupo${\displaystyle \mathbb {R} /a\mathbb {Z} \to U}$. Las partes reales e imaginarias de${\displaystyle e(t/a)}$son el coseno y el seno, donde${\displaystyle a}$se utiliza como base para medir ángulos. Por ejemplo, cuando${\displaystyle a=2\pi }$, obtenemos la medida en radianes y las funciones trigonométricas habituales. Cuando${\displaystyle a=360}$, obtenemos el seno y el coseno de ángulos medidos en grados.

Tenga en cuenta que${\displaystyle a=2\pi }$es el valor único en el que la derivada $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e(t/a)}$$ se convierte en un vector unitario con parte imaginaria positiva en${\displaystyle t=0}$Este hecho, a su vez, puede utilizarse para definir la constante.${\displaystyle 2\pi }$.

Otra forma de definir las funciones trigonométricas en análisis es mediante la integración. ^{[ 13 ] [ 28 ]} Para un número real${\displaystyle t}$, poner $${\displaystyle \theta (t)=\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\arctan t}$$ donde esto define esta función tangente inversa. Además,${\displaystyle \pi }$se define por $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =\int _{0}^{\infty }{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$ una definición que se remonta a Karl Weierstrass . ^{[ 29 ]}

En el intervalo${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$, las funciones trigonométricas se definen invirtiendo la relación${\displaystyle \theta =\arctan t}$. Así definimos las funciones trigonométricas por $${\displaystyle \tan \theta =t,\quad \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2},\quad \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}}$$ donde el punto${\displaystyle (t,\theta )}$está en el gráfico de${\displaystyle \theta =\arctan t}$y se toma la raíz cuadrada positiva.

Esto define las funciones trigonométricas en${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$. La definición puede extenderse a todos los números reales observando primero que, como${\displaystyle \theta \to \pi /2}$,${\displaystyle t\to \infty }$, y entonces${\displaystyle \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2}\to 0}$y${\displaystyle \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}\to 1}$. De este modo${\displaystyle \cos \theta }$y${\displaystyle \sin \theta }$se extienden continuamente de modo que${\displaystyle \cos(\pi /2)=0,\sin(\pi /2)=1}$Ahora las condiciones${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos(\theta )}$y${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin(\theta )}$Definimos el seno y el coseno como funciones periódicas con período${\displaystyle 2\pi }$, para todos los números reales.

Para demostrar las propiedades básicas del seno y el coseno, incluyendo el hecho de que el seno y el coseno son analíticos, primero se pueden establecer las fórmulas de suma. Primero, $${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\arctan {\frac {s+t}{1-st}}}$$ se sostiene, proporcionado${\displaystyle \arctan s+\arctan t\in (-\pi /2,\pi /2)}$, desde $${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\int _{-s}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\int _{0}^{\frac {s+t}{1-st}}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$ después de la sustitución${\displaystyle \tau \to {\frac {s+\tau }{1-s\tau }}}$. En particular, el caso límite como${\displaystyle s\to \infty }$da $${\displaystyle \arctan t+{\frac {\pi }{2}}=\arctan(-1/t),\quad t\in (-\infty ,0).}$$ Así tenemos $${\displaystyle \sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {-1}{t{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}}={\frac {-1}{\sqrt {1+t^{2}}}}=-\cos(\theta )}$$ y $${\displaystyle \cos \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}=\sin(\theta ).}$$ Así pues, las funciones seno y coseno están relacionadas por una traslación a lo largo de un cuarto de período.${\displaystyle \pi /2}$.

También se pueden definir las funciones trigonométricas utilizando diversas ecuaciones funcionales .

Por ejemplo, ^{[ 30 ]} el seno y el coseno forman el único par de funciones continuas que satisfacen la fórmula de diferencias. $${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,}$$ y la condición añadida $${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ for }}\quad 0<x<1.}$$

El seno y el coseno de un número complejo${\displaystyle z=x+iy}$se puede expresar en términos de senos, cosenos y funciones hiperbólicas reales de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}$$

Aprovechando la coloración de dominio , es posible graficar las funciones trigonométricas como funciones de valor complejo. En la gráfica se pueden observar varias características únicas de las funciones complejas; por ejemplo, se puede ver que las funciones seno y coseno no están acotadas, ya que la parte imaginaria de${\displaystyle z}$Se hace más grande (ya que el color blanco representa el infinito), y el hecho de que las funciones contengan ceros o polos simples es evidente porque el tono gira alrededor de cada cero o polo exactamente una vez. La comparación de estas gráficas con las de las funciones hiperbólicas correspondientes resalta las relaciones entre ambas.

El coseno y la secante son funciones pares ; las demás funciones trigonométricas son funciones impares . Es decir: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned}}}$$

Todas las funciones trigonométricas son funciones periódicas de período 2π . Este es el período más pequeño, excepto para la tangente y la cotangente, que tienen π como período más pequeño. Esto significa que, para cada entero k , se tiene $${\displaystyle {\begin{array}{lrl}\sin(x+&2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+&2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+&k\pi )&=\tan x\\\cot(x+&k\pi )&=\cot x\\\csc(x+&2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+&2k\pi )&=\sec x.\end{array}}}$$ Véase Periodicidad y asíntotas .

La identidad pitagórica es la expresión del teorema de Pitágoras en términos de funciones trigonométricas. $${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\,.}$$ Dividiendo por cualquiera de las${\displaystyle \cos ^{2}x}$o${\displaystyle \sin ^{2}x}$da $${\displaystyle \tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x}$$$${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$$ y $${\displaystyle \sec ^{2}x+\csc ^{2}x=\sec ^{2}x\csc ^{2}x\,.}$$

Las fórmulas de suma y diferencia permiten expandir el seno, el coseno y la tangente de la suma o diferencia de dos ángulos en términos de los senos, cosenos y tangentes de los ángulos mismos. Estas pueden derivarse geométricamente, utilizando argumentos que se remontan a Ptolomeo (véase Identidades de suma y diferencia de ángulos ). También pueden obtenerse algebraicamente mediante la fórmula de Euler .

Suma

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$$

Diferencia

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$$

Cuando los dos ángulos son iguales, las fórmulas de suma se reducen a ecuaciones más simples conocidas como fórmulas de ángulo doble .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}$$

Estas identidades se pueden utilizar para derivar las identidades de producto a suma .

Al establecer${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }$(ver fórmulas de semiángulo ), todas las funciones trigonométricas de${\displaystyle \theta }$se pueden expresar como fracciones racionales de${\displaystyle t}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}}$$ Junto con $${\displaystyle d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,}$$ Esta es la sustitución de tangente por semiángulo , que reduce el cálculo de integrales y antiderivadas de funciones trigonométricas al de fracciones racionales.

Las derivadas de las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las del seno y el coseno aplicando la regla del cociente . Los valores de las antiderivadas que aparecen en la siguiente tabla se pueden verificar derivándolas. El número C es una constante de integración . 

Nota: Para${\displaystyle 0<x<\pi }$la integral de${\displaystyle \csc x}$también se puede escribir como${\displaystyle -\operatorname {arsinh} (\cot x),}$y la integral de${\displaystyle \sec x}$para${\displaystyle -\pi /2<x<\pi /2}$como${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\tan x),}$dónde${\displaystyle \operatorname {arsinh} }$es el seno hiperbólico inverso .

Alternativamente, las derivadas de las "cofunciones" se pueden obtener utilizando identidades trigonométricas y la regla de la cadena:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\cos x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sin(\pi /2-x)=-\cos(\pi /2-x)=-\sin x\,,\\{\frac {d\csc x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sec(\pi /2-x)=-\sec(\pi /2-x)\tan(\pi /2-x)=-\csc x\cot x\,,\\{\frac {d\cot x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\tan(\pi /2-x)=-\sec ^{2}(\pi /2-x)=-\csc ^{2}x\,.\end{aligned}}}$$

En esta sección , A , B y C representan los tres ángulos (interiores) de un triángulo, y a , b y c representan las longitudes de sus respectivos lados opuestos. Estos ángulos se relacionan mediante diversas fórmulas, cuyos nombres corresponden a las funciones trigonométricas que contienen.

Las funciones trigonométricas también son importantes en física. Las funciones seno y coseno, por ejemplo, se utilizan para describir el movimiento armónico simple , que modela muchos fenómenos naturales, como el movimiento de una masa unida a un resorte y, para ángulos pequeños, el movimiento pendular de una masa que cuelga de una cuerda. Las funciones seno y coseno son proyecciones unidimensionales del movimiento circular uniforme .

Las funciones trigonométricas también resultan útiles en el estudio de funciones periódicas generales . Los patrones de onda característicos de las funciones periódicas son útiles para modelar fenómenos recurrentes como las ondas sonoras o luminosas . ^{[ 32 ]}

En condiciones bastante generales, una función periódica f ( x ) puede expresarse como una suma de ondas sinusoidales o cosenoidales en una serie de Fourier . ^{[ 33 ]} Denotando las funciones base seno o coseno por φ _k , la expansión de la función periódica f ( t ) toma la forma: $${\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t).}$$

Por ejemplo, la onda cuadrada se puede escribir como la serie de Fourier.$${\displaystyle f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.}$$

En la animación de una onda cuadrada que se muestra arriba a la derecha, se puede observar que con tan solo unos pocos términos se obtiene una aproximación bastante buena. Debajo se muestra la superposición de varios términos en el desarrollo de una onda de diente de sierra .