Órbita circular

Una órbita circular es aquella que tiene una distancia fija alrededor del baricentro ; es decir, tiene forma de círculo . En este caso, no solo la distancia, sino también la velocidad, la velocidad angular , la energía potencial y la energía cinética son constantes. No hay periapsis ni apoapsis. Esta órbita no tiene versión radial .

A continuación se muestra una órbita circular en astrodinámica o mecánica celeste bajo supuestos estándar. Aquí, la fuerza centrípeta es la fuerza gravitatoria , y el eje mencionado anteriormente es la línea que pasa por el centro de la masa central y es perpendicular al plano orbital .

La aceleración transversal ( perpendicular a la velocidad) provoca un cambio de dirección. Si su magnitud es constante y su dirección varía con la velocidad, se produce un movimiento circular . Al tomar dos derivadas de las coordenadas de la partícula con respecto al tiempo, se obtiene la aceleración centrípeta.

${\displaystyle a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\omega ^{2}}{r}}$

dónde:

• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle r\,}$es el radio del círculo
• ${\displaystyle \omega \ }$es la velocidad angular , medida en radianes por unidad de tiempo.

La fórmula es adimensional , describiendo una razón válida para todas las unidades de medida aplicadas uniformemente en toda la fórmula. Si el valor numérico${\displaystyle \mathbf {a} }$se mide en metros por segundo al cuadrado, luego los valores numéricos${\displaystyle v\,}$estará en metros por segundo,${\displaystyle r\,}$en metros y${\displaystyle \omega \ }$en radianes por segundo.

La velocidad (o magnitud de la velocidad) relativa al centro de masa es constante: ^{[ 1 ] : 30}

${\displaystyle v={\sqrt {GM\! \over {r}}}={\sqrt {\mu \over {r}}}}$

dónde:

• ${\displaystyle G}$es la constante gravitacional
• ${\displaystyle M}$es la masa de ambos cuerpos en órbita${\displaystyle (M_{1}+M_{2})}$, aunque en la práctica común, si la masa mayor es significativamente más grande, la masa menor a menudo se ignora, con un cambio mínimo en el resultado.
• ${\displaystyle \mu =GM}$, es el parámetro gravitacional estándar .
• ${\displaystyle r}$es la distancia desde el centro de masa.

La ecuación de la órbita en coordenadas polares, que en general da r en términos de θ , se reduce a:

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}}$

dónde:

• ${\displaystyle h=rv}$es el momento angular específico del cuerpo en órbita.

Esto se debe a que${\displaystyle \mu =rv^{2}}$

${\displaystyle \omega ^{2}r^{3}=\mu }$

Por lo tanto, el período orbital (${\displaystyle T\,\!}$) se puede calcular como: ^{[ 1 ] : 28}

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$

Comparar dos cantidades proporcionales, el tiempo de caída libre (tiempo que tarda una masa puntual en caer desde el reposo)

${\displaystyle T_{\text{ff}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$(17,7% del período orbital en una órbita circular)

y el tiempo para caer a una masa puntual en una órbita parabólica radial

${\displaystyle T_{\text{par}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$(7,5% del período orbital en una órbita circular)

El hecho de que las fórmulas solo difieran por un factor constante es claro a priori a partir del análisis dimensional .

La energía orbital específica (${\displaystyle \epsilon \,}$) es negativo y

${\displaystyle \epsilon =-{v^{2} \over {2}}}$

${\displaystyle \epsilon =-{\mu \over {2r}}}$

Por lo tanto, el teorema del virial ^{[ 1 ] : 72} se aplica incluso sin tomar un promedio temporal:

• La energía cinética del sistema es igual al valor absoluto de la energía total.
• La energía potencial del sistema es igual al doble de la energía total.

La velocidad de escape desde cualquier distancia es √ 2 veces la velocidad en una órbita circular a esa distancia: la energía cinética es el doble, por lo tanto, la energía total es cero.

Para entrar en una órbita circular amplia, como una órbita geoestacionaria , se requiere un delta-v mayor que para una órbita de escape , aunque esta última implica alejarse arbitrariamente y disponer de más energía de la necesaria para la velocidad orbital de la órbita circular. También se trata de maniobrar para entrar en la órbita. Véase también órbita de transferencia de Hohmann .

En la métrica de Schwarzschild , la velocidad orbital para una órbita circular con radio${\displaystyle r}$viene dada por la siguiente fórmula:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

dónde${\displaystyle \scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$es el radio de Schwarzschild del cuerpo central.

Derivación

Para mayor comodidad, la derivación se escribirá en unidades en las que${\displaystyle \scriptstyle c=G=1}$.

La cuadrivelocidad de un cuerpo en una órbita circular viene dada por:

${\displaystyle u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})}$

(${\displaystyle \scriptstyle r}$es constante en una órbita circular, y las coordenadas se pueden elegir de manera que${\displaystyle \scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$). El punto sobre una variable denota derivación con respecto al tiempo propio.${\displaystyle \scriptstyle \tau }$.

Para una partícula masiva, las componentes de la cuadrivelocidad satisfacen la siguiente ecuación:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2}=1}$

Utilizamos la ecuación geodésica:

${\displaystyle {\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\sigma }=0}$

La única ecuación no trivial es la de${\displaystyle \scriptstyle \mu =r}$. Proporciona:

${\displaystyle {\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0}$

De esto obtenemos:

${\displaystyle {\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}}$

Sustituyendo esto en la ecuación para una partícula masiva se obtiene:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}}^{2}=1}$

Por eso:

${\displaystyle {\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}}$

Supongamos que tenemos un observador en el radio${\displaystyle \scriptstyle r}$, que no se mueve con respecto al cuerpo central, es decir, su cuadrivelocidad es proporcional al vector${\displaystyle \scriptstyle \partial _{t}}$La condición de normalización implica que es igual a:

${\displaystyle v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)}$

El producto escalar de las cuadrivelocidades del observador y del cuerpo en órbita es igual al factor gamma del cuerpo en órbita con respecto al observador, por lo tanto:

${\displaystyle \gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}}$

Esto da la velocidad :

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}}$

O bien, en unidades del SI:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

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