Teorema de Golod-Shafarevich

En matemáticas , el teorema de Golod-Shafarevich fue demostrado en 1964 por Evgeny Golod e Igor Shafarevich . Es un resultado del álgebra homológica no conmutativa que resuelve el problema de la torre de cuerpos de clases , al demostrar que las torres de cuerpos de clases pueden ser infinitas.

Sea A = K ⟨ x ₁ , ..., x _n ⟩ el álgebra libre sobre un cuerpo K en n = d  +  1 variables no conmutativas x _i .

Sea J el ideal bilateral de A generado por elementos homogéneos f _j de A de grado d _j con

2 ≤ d ₁ ≤ d ₂ ≤ ...

donde d _j tiende a infinito. Sea r _i el número de d _j igual a i .

Sea B = A / J , un álgebra graduada . Sea b _j = dim B _j .

La desigualdad fundamental de Golod y Shafarevich establece que

${\displaystyle b_{j}\geq nb_{j-1}-\sum _{i=2}^{j}b_{ji}r_{i}.}$

Como consecuencia:

• B es de dimensión infinita si${\displaystyle r_{i}\leq d^{2}/4}$por todo lo que yo

Este resultado tiene importantes aplicaciones en la teoría combinatoria de grupos :

• Si G es un p-grupo finito no trivial , entonces${\displaystyle r>d^{2}/4}$ dónde${\displaystyle d=\dim H^{1}(G,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$y${\displaystyle r=\dim H^{2}(G,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$(los grupos de cohomología módulo p de G ). En particular, si G es un p-grupo finito con un número mínimo de generadores d y tiene r relatores en una presentación dada, entonces${\displaystyle r>d^{2}/4}$.
• Para cada número primo p , existe un grupo infinito G generado por tres elementos, cuyo orden es una potencia de p . El grupo G constituye un contraejemplo a la conjetura generalizada de Burnside : es un grupo de torsión infinito finitamente generado , aunque no existe una cota uniforme para el orden de sus elementos.

En la teoría de cuerpos de clases , la torre de cuerpos de clases de un cuerpo numérico K se crea iterando la construcción de cuerpos de clases de Hilbert . El problema de la torre de cuerpos de clases pregunta si esta torre es siempre finita; Hasse (1926) atribuyó esta pregunta a Furtwängler, aunque Furtwängler dijo haberla escuchado de Schreier. Otra consecuencia del teorema de Golod-Shafarevich es que tales torres pueden ser infinitas (en otras palabras, no siempre terminan en un cuerpo igual a su cuerpo de clases de Hilbert ). Específicamente,

• Sea K un cuerpo cuadrático imaginario cuyo discriminante tiene al menos 6 factores primos. Entonces, la máxima extensión 2-no ramificada de K tiene grado infinito.

En términos más generales, un cuerpo numérico con suficientes factores primos en el discriminante tiene una torre de cuerpos de clases infinita.

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• Golod, ES (1964), "Sobre álgebras nulas y grupos p finitamente aproximables", Izv. Akád. Nauk SSSR , 28 : 273-276(en ruso ) MR 0161878 
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