Nervio (teoría de categorías)

En la teoría de categorías , una disciplina dentro de las matemáticas, el nervio N ( C ) de una categoría pequeña C es un conjunto simplicial construido a partir de los objetos y morfismos de C. La realización geométrica de este conjunto simplicial es un espacio topológico , llamado espacio clasificador de la categoría C. Estos objetos estrechamente relacionados pueden proporcionar información sobre algunas categorías familiares y útiles mediante la topología algebraica , con mayor frecuencia la teoría de la homotopía .

El núcleo de una categoría se utiliza a menudo para construir versiones topológicas de espacios de módulos . Si X es un objeto de C , su espacio de módulos debería codificar de alguna manera todos los objetos isomorfos a X y registrar los diversos isomorfismos entre todos estos objetos en esa categoría. Esto puede volverse bastante complejo, especialmente si los objetos tienen muchos automorfismos distintos de la identidad. El núcleo proporciona una forma combinatoria de organizar estos datos. Dado que los conjuntos simpliciales tienen una buena teoría de homotopía, se pueden plantear preguntas sobre el significado de los diversos grupos de homotopía π _n ( N ( C )). Se espera que las respuestas a estas preguntas proporcionen información interesante sobre la categoría original C o sobre categorías relacionadas.

La noción de nervio es una generalización directa de la noción clásica de espacio de clasificación de un grupo discreto ; véase más abajo para más detalles.

Sea C una categoría pequeña. Hay un 0-símplex de N ( C ) para cada objeto de C . Hay un 1-símplex para cada morfismo f  : x → y en C . Ahora supongamos que f : x → y y g : y → z son morfismos en C . Entonces también tenemos su composición gf : x → z .            

El diagrama sugiere nuestro plan de acción: añadir un 2-símplex a este triángulo conmutativo. Todo 2-símplex de N ( C ) se obtiene a partir de un par de morfismos componibles de esta manera. La adición de estos 2-símplices no borra ni ignora los morfismos obtenidos por composición; simplemente recuerda que así es como surgen.

En general, N ( C ) _k consiste en las k -tuplas de morfismos componibles.

${\displaystyle A_{0}\to A_{1}\to A_{2}\to \cdots \to A_{k-1}\to A_{k}}$

de C. Para completar la definición de N ( C ) como un conjunto simplicial, también debemos especificar los mapas de caras y degeneración. Estos también nos los proporciona la estructura de C como categoría. Los mapas de caras

${\displaystyle d_{i}\colon N(C)_{k}\to N(C)_{k-1}}$

se dan por composición de morfismos en el i -ésimo objeto (o eliminando el i- ésimo objeto de la secuencia, cuando i es 0 o k ). ^{[ 1 ]} Esto significa que d _i envía la k -tupla

${\displaystyle A_{0}\to \cdots \to A_{i-1}\to A_{i}\to A_{i+1}\to \cdots \to A_{k}}$

a la ( k  −  1)-tupla

${\displaystyle A_{0}\to \cdots \to A_{i-1}\to A_{i+1}\to \cdots \to A_{k}.}$

Es decir, el mapa d _i compone los morfismos A _{i −1} → A _i y A _i → A _{i +1} en el morfismo A _{i −1} → A _{i +1} , produciendo una ( k − 1)-tupla para cada k -tupla.  

De manera similar, los mapas de degeneración

${\displaystyle s_{i}:N(C)_{k}\to N(C)_{k+1}}$

se obtienen insertando un morfismo identidad en el objeto A _i .

Los conjuntos simpliciales también pueden considerarse como funtores Δ ^op → Set , donde Δ es la categoría de conjuntos finitos totalmente ordenados y morfismos que preservan el orden. Todo conjunto parcialmente ordenado P produce una categoría (pequeña) i ( P ) con objetos que son los elementos de P y con un morfismo único de p a q siempre que p ≤ q en P. Obtenemos así un funtor i de la categoría Δ a la categoría de categorías pequeñas . Ahora podemos describir el nervio de la categoría C como el funtor Δ ^op → Set.    

${\displaystyle N(C)(\_)=\mathrm {Fun} (i(\_),C).\,}$

Esta descripción del nervio hace transparente la funtorialidad; por ejemplo, un functor entre categorías pequeñas C y D induce una aplicación de conjuntos simpliciales N ( C ) → N ( D ). Además, una transformación natural entre dos de estos functores induce una homotopía entre las aplicaciones inducidas. Esta observación puede considerarse el inicio de uno de los principios de la teoría de categorías superiores . De ello se deduce que los functores adjuntos inducen equivalencias homotópicas . En particular, si C tiene un objeto inicial o final , su nervio es contraíble.

El ejemplo primordial es el espacio clasificador de un grupo discreto G. Consideramos G como una categoría con un objeto cuyos endomorfismos son los elementos de G. Entonces, los k -símplices de N ( G ) son simplemente k -tuplas de elementos de G. Los mapas de caras actúan mediante multiplicación, y los mapas de degeneración actúan mediante inserción del elemento identidad . Si G es el grupo con dos elementos, entonces hay exactamente un k -símplice no degenerado para cada entero no negativo k , que corresponde a la única k -tupla de elementos de G que no contiene identidades. Después de pasar a la realización geométrica, esta k -tupla puede identificarse con la única k -celda en la estructura CW usual en el espacio proyectivo real de dimensión infinita . Este último es el modelo más popular para el espacio clasificador del grupo con dos elementos. Véase (Segal 1968) para más detalles y la relación de lo anterior con la construcción de unión de Milnor de BG .

El siguiente teorema se debe a Grothendieck.

Véase también: Espacio de Segal , Categoría de homotopía de una ∞-categoría

Como un functor de nervio, pero de forma más general, el functor de nervio homotópicamente coherente asocia a una categoría enriquecida simplicialmente un conjunto simplicial; es decir, ^{[ 3 ]}

${\displaystyle N^{hc}:{\textbf {sSetCat}}\to {\textbf {sSet}}.}$

Por ejemplo, el nervio de Duskin de una categoría estricta 2 es un caso especial de esto.

Se ofrecen más detalles en la página correspondiente de nLab .

• Blanc, D. (2004). "El espacio de realización de un${\displaystyle \Pi }$-álgebra: un problema de módulos en topología algebraica". Topología . 43 (4): 857– 892. doi : 10.1016/j.top.2003.10.002 .
• Goerss, PG; Hopkins, MJ (2004). "Espacios de módulos de espectros de anillos conmutativos" (PDF) . Structured Ring Spectra . págs. 151–200 . doi : 10.1017/CBO9780511529955.009 . ISBN  978-0-521-60305-8. Archivado del original (PDF) el 07-05-2006 . Consultado el 23-05-2006 .
• Segal, Graeme (enero de 1968). «Clasificación de espacios y secuencias espectrales» (PDF) . Publicaciones matemáticas del IHÉS . 34 (1): 105– 112. doi : 10.1007/BF02684591 – vía Numdam.
• Nervio en el laboratorio n