Clélie

En matemáticas , una curva de Clélie o Clelia es una curva en una esfera con la propiedad: ^{[ 1 ]}

Si la superficie de una esfera se describe como de costumbre mediante la longitud (ángulo${\displaystyle \varphi }$) y la colatitud (ángulo${\displaystyle \theta }$) entonces

${\displaystyle \varphi =c\;\theta ,\quad c>0}$.

La curva fue nombrada por Luigi Guido Grandi en honor a Clelia Borromeo . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

La curva de Viviani y las espirales esféricas son casos especiales de curvas de Clelia. En la práctica, las curvas de Clelia aparecen como la trayectoria terrestre de los satélites en órbitas circulares polares , es decir, cuyas trazas en la Tierra incluyen los polos. Si la órbita es geosíncrona , entonces${\displaystyle c=1}$y la traza es una curva de Viviani.

Si la esfera de radio${\displaystyle r}$se parametriza en el sistema de coordenadas esféricas mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cdot \cos \theta \cdot \cos \varphi \\y&=r\cdot \cos \theta \cdot \sin \varphi \\z&=r\cdot \sin \theta \end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \varphi }$son ángulos, la longitud y la latitud (respectivamente) de un punto en la esfera y estos dos ángulos están relacionados por una ecuación lineal.${\displaystyle \;\varphi =c\theta }$, luego usando esta ecuación para reemplazar${\displaystyle \varphi }$proporciona una representación paramétrica de una curva de Clelia:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cdot \cos \theta \cdot \cos c\theta \\y&=r\cdot \cos \theta \cdot \sin c\theta \\z&=r\cdot \sin \theta .\end{aligned}}}$

Cualquier curva de Clelia se encuentra con los polos al menos una vez.

Espirales esféricas:${\displaystyle \quad c\geq 2\ ,\quad -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2}$

Una espiral esférica generalmente comienza en el polo sur y termina en el polo norte (o viceversa).

La curva de Viviani:${\displaystyle \quad c=1\ ,\quad 0\leq \theta \leq 2\pi }$

Trazado de una órbita polar de un satélite:${\displaystyle \quad c\leq 1\ ,\quad \theta \geq 0}$

En caso de${\displaystyle \;c\leq 1\;}$La curva es periódica , si${\displaystyle c}$es racional (ver rosa). Por ejemplo: En caso de${\displaystyle \;c=1/n\;}$el período es${\displaystyle \;n\cdot 2\pi \;}$. Si${\displaystyle c}$es un número no racional, la curva no es periódica.

La tabla (segundo diagrama) muestra los planos de planta de las curvas de Clelia. Las cuatro curvas inferiores son espirales esféricas. Las cuatro superiores son órbitas polares. En caso de${\displaystyle \;c=1/3\;}$Los arcos inferiores quedan completamente ocultos por los arcos superiores. La imagen central (círculo) muestra la planta de una curva de Viviani. La típica forma de ocho solo se consigue mediante la proyección a lo largo del eje x.

• HA Pierer : Universal-Lexikon der Gegenwart und Vergangenheit oder neuestes encyclopädisches Wörterbuch der Wissenschaften, Künste und Gewerbe. Verlag HA Pierer, 1844, pág.  82.

• Clelia. , Mathcurve.com. .