Teorema del grafo cerrado

f(x)=x^{3}-9x

en el intervalo

[-4,4]

es cerrado porque la función es continua . La gráfica de la función de Heaviside en

[-2,2]

no es cerrado, porque la función no es continua.

En matemáticas , el teorema de la gráfica cerrada puede referirse a varios resultados básicos que caracterizan las funciones continuas en función de sus gráficas . Cada uno de ellos proporciona condiciones para que las funciones con gráficas cerradas sean necesariamente continuas.

Una entrada de blog ^{[ 1 ]} de T. Tao enumera varios teoremas de grafos cerrados en matemáticas.

Gráficos y mapas con gráficos cerrados

Si $f:X\to Y$ es un mapa entre espacios topológicos entonces el gráfico de $f$ es el conjunto $\Gamma _{f}:=\{(x,f(x)):x\in X\}$ o equivalentemente, $\Gamma _{f}:=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}$ Se dice que la gráfica de $f$ está cerrado si $\Gamma _{f}$ es un subconjunto cerrado de $X\times Y$ (con la topología del producto ).

Cualquier función continua en un espacio de Hausdorff tiene una gráfica cerrada (véase § Teorema de la gráfica cerrada en la topología de conjuntos de puntos ).

Cualquier mapa lineal, $L:X\to Y,$ entre dos espacios vectoriales topológicos cuyas topologías son (Cauchy) completas con respecto a métricas invariantes de traslación, y si además (1a) $L$ es secuencialmente continuo en el sentido de la topología del producto, entonces el mapa $L$ es continua y su gráfica, $Gr L$ , es necesariamente cerrada. Por el contrario, si $L$ es tal un mapa lineal con, en lugar de (1a), la gráfica de $L$ se sabe que (1b) es cerrado en el espacio de productos cartesianos $X\times Y$ , entonces $L$ es continua y, por lo tanto, necesariamente secuencialmente continua. ^{[ 2 ]}

Ejemplos de mapas continuos que no tienen un grafo cerrado

Si $X$ Si hay algún espacio, entonces el mapa de identidad $\operatorname {Id} :X\to X$ es continua pero su gráfica, que es la diagonal $\Gamma _{\operatorname {Id} }:=\{(x,x):x\in X\},$ , está cerrado en $X\times X$ si y solo si $X$ es Hausdorff. ^{[ 3 ]} En particular, si $X$ Entonces no es Hausdorff. $\operatorname {Id} :X\to X$ Es continua pero no tiene una gráfica cerrada.

Dejar $X$ denotan los números reales $\mathbb {R}$ con la topología euclidiana habitual y dejemos $Y$ denotar $\mathbb {R}$ con la topología indiscreta (donde tenga en cuenta que $Y$ no es Hausdorff y que cada función valorada en $Y$ es continuo). $f:X\to Y$ ser definido por $f(0)=1$ y $f(x)=0$ a pesar de $x\neq 0$ . Entonces $f:X\to Y$ es continua pero su gráfica no es cerrada en $X\times Y$ . ^{[ 4 ]}

Teorema del grafo cerrado en la topología de conjuntos de puntos.

En topología de conjuntos de puntos , el teorema del grafo cerrado establece lo siguiente:

Teorema del grafo cerrado ^{[ 5 ]} — Si $f:X\to Y$ es un mapa de un espacio topológico $X$ en un espacio Hausdorff $Y,$ luego el gráfico de $f$ está cerrado si $f:X\to Y$ es continua . Lo contrario es cierto cuando $Y$ es compacto . (Tenga en cuenta que la compacidad y la propiedad de Hausdorff no se implican mutuamente).

Prueba

Primera parte: simplemente observe que el gráfico de $f$ es lo mismo que la preimagen $(f\times \operatorname {id} _{Y})^{-1}(D)$ dónde $D=\{(y,y)\mid y\in Y\}$ es la diagonal en $Y^{2}$ .

Segunda parte:

Para cualquier apertura $V\subset Y$ , comprobamos $f^{-1}(V)$ está abierto. Así que toma cualquiera $x\in f^{-1}(V)$ , construimos algunos vecindarios abiertos $U$ de $x$ , de tal manera que $f(U)\subset V$ .

Dado que la gráfica de $f$ está cerrado, por cada punto $(x,y')$ en la "línea vertical en x", con $y'\neq f(x)$ , dibuja un rectángulo abierto $U_{y'}\times V_{y'}$ disjunto del grafo de $f$ Estos rectángulos abiertos, cuando se proyectan sobre el eje y, cubren el eje y excepto en $f(x)$ , así que añade un conjunto más $V$ .

Ingenuamente intentando tomar $U:=\bigcap _{y'\neq f(x)}U_{y'}$ construiría un conjunto que contiene $x$ , pero no se garantiza que sea abierto, por lo que aquí utilizamos la compacidad.

Desde $Y$ es compacto, podemos tomar un recubrimiento abierto finito de $Y$ como $\{V,V_{y'_{1}},...,V_{y'_{n}}\}$ .

Ahora toma $U:=\bigcap _{i=1}^{n}U_{y'_{i}}$ Es un barrio abierto de $x$ , puesto que se trata simplemente de una intersección finita. Afirmamos que este es el vecindario abierto. $U$ de $x$ que queremos.

Supongamos que no, entonces hay algún rebelde $x'\in U$ de tal manera que $f(x')\not \in V$ , entonces eso implicaría $f(x')\in V_{y'_{i}}$ para algunos $i$ por una cubierta abierta, pero luego $(x',f(x'))\in U\times V_{y'_{i}}\subset U_{y'_{i}}\times V_{y'_{i}}$ , una contradicción puesto que se supone que es disjunto del gráfico de $f$ .

Si X e Y son espacios compactos de Hausdorff, entonces el teorema también se puede deducir del teorema de la aplicación abierta para tales espacios; véase § Relación con el teorema de la aplicación abierta .

Los espacios que no son de Hausdorff se ven raramente, pero los espacios no compactos son comunes. Un ejemplo de espacio no compacto $Y$ es la línea real, que permite la función discontinua con gráfica cerrada $f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}{\text{ si }}x\neq 0,\\0{\text{ en otro caso}}\end{cases}}$ .

Además, los operadores lineales cerrados en el análisis funcional (operadores lineales con gráficas cerradas) normalmente no son continuos.

Para funciones con valores de conjunto

Teorema del grafo cerrado para funciones multivaluadas ^{[ 6 ]} — Para un espacio de rango compacto de Hausdorff $Y$ , una función con valores de conjunto $F:X\to 2^{Y}$ tiene una gráfica cerrada si y solo si es hemicontinua superiormente y $F (x)$ es un conjunto cerrado para todo $x\in X$ .

En el análisis funcional

Si $T:X\to Y$ es un operador lineal entre espacios vectoriales topológicos (TVS), entonces decimos que $T$ es un operador cerrado si la gráfica de $T$ está cerrado en $X\times Y$ cuando $X\times Y$ está dotado de la topología del producto.

El teorema del grafo cerrado es un resultado importante en el análisis funcional que garantiza que un operador lineal cerrado es continuo bajo ciertas condiciones. El resultado original se ha generalizado muchas veces. Una versión bien conocida del teorema del grafo cerrado es la siguiente.

Teorema ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} — Una aplicación lineal entre dos espacios F (por ejemplo, espacios de Banach ) es continua si y solo si su gráfica es cerrada.

El teorema es una consecuencia del teorema de la aplicación abierta ; véase la sección « Relación con el teorema de la aplicación abierta» más adelante (a la inversa, el teorema de la aplicación abierta a su vez puede deducirse del teorema del grafo cerrado).

Relación con el teorema de la aplicación abierta

A menudo, los teoremas de grafos cerrados se obtienen como corolarios de los teoremas de mapeo abierto de la siguiente manera. ^{[ 1 ]}^{[ 9 ]} Sea $f:X\to Y$ sea cualquier mapa. Entonces influye como

f:X{\overset {i}{\to }}\Gamma _ {f}{\overset {q}{\to }}Y

.

Ahora, $i$ es la inversa de la proyección $p:\Gamma _{f}\to X$ . Entonces, si el teorema de la aplicación abierta se cumple para $p$ ; es decir, $p$ es un mapeo abierto, entonces $i$ es continuo y luego $f$ es continua (como la composición de mapas continuos).

Por ejemplo, el argumento anterior se aplica si $f$ es un operador lineal entre espacios de Banach con grafo cerrado, o si $f$ es un mapa con grafo cerrado entre espacios compactos de Hausdorff.

Véase también

Mapa lineal casi abierto : mapa que cumple una condición similar a la de ser un mapa abierto. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección.
Espacio de barril – Tipo de espacio vectorial topológico
Grafo cerrado : propiedad de las funciones en topología. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento.
Operador lineal cerrado : operador lineal cuya gráfica es cerrada.
Mapa lineal discontinuo
Teorema del punto fijo de Kakutani – Teorema del punto fijo para funciones multivaluadas
Teorema de la aplicación abierta (análisis funcional) : condición para que un operador lineal sea abierto.
Teorema de Ursescu : Generalización del teorema de la gráfica cerrada, la aplicación abierta y la acotación uniforme.
Espacio en red : espacio donde se cumplen los teoremas de mapeo abierto y de grafos cerrados.
Teorema principal de Zariski : Teorema de geometría algebraica y álgebra conmutativa

Notas

Referencias

1 2 "El teorema del grafo cerrado en varias categorías" . 21 de noviembre de 2012.
↑ Rudin 1991 , págs. 51-52.
↑ Rudin 1991 , pág. 50.
↑ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 459–483.
↑ Munkres 2000 , págs. 163–172.
↑ Aliprantis, Charlambos; Kim C. Border (1999). "Capítulo 17". Análisis de dimensión infinita: Guía del autoestopista (3.ª ed.). Springer.
↑ Schaefer y Wolff 1999 , pág. 78.
↑ Trèves (2006) , pág. 173
↑ Noll, Dominikus (2024). "Espacios topológicos que satisfacen un teorema de grafos cerrados". arXiv : 2403.03904 [ math.GN ].

Bibliografía

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