Hispanopedia WikiEn matemáticas , un esquema de módulos es un espacio de módulos que existe en la categoría de esquemas desarrollados por Alexander Grothendieck . Algunos problemas de módulos importantes de la geometría algebraica se pueden resolver satisfactoriamente mediante la teoría de esquemas únicamente, mientras que otros requieren alguna extensión del concepto de "objeto geométrico" ( espacios algebraicos , pilas algebraicas de Michael Artin ).
Historia
El trabajo de Grothendieck y David Mumford (véase teoría de invariantes geométricos ) abrió esta área a principios de los años 1960. El enfoque más algebraico y abstracto para los problemas de módulos es plantearlos como una cuestión de funtores representables , y luego aplicar un criterio que seleccione los funtores representables para los esquemas. Cuando este enfoque programático funciona, el resultado es un buen esquema de módulos . Bajo la influencia de ideas más geométricas, basta con encontrar un esquema que proporcione los puntos geométricos correctos . Esto se parece más a la idea clásica de que el problema de módulos es expresar la estructura algebraica que viene naturalmente con un conjunto (por ejemplo, de clases de isomorfismo de curvas elípticas ).
El resultado es entonces un esquema de módulos gruesos . Su falta de refinamiento es, en términos generales, que no garantiza para las familias de objetos lo que es inherente al esquema de módulos finos. Como señaló Mumford en su libro Teoría de invariantes geométricos , uno podría querer tener la versión fina, pero hay un problema técnico ( estructura de niveles y otras "marcas") que debe abordarse para obtener una pregunta con una posibilidad de tener esa respuesta.
Teruhisa Matsusaka demostró un resultado, ahora conocido como el gran teorema de Matsusaka , que establece una condición necesaria en un problema de módulos para la existencia de un esquema de módulos grueso. [1]
Ejemplos
Mumford demostró que si g > 1, existe un esquema de módulos gruesos de curvas suaves de género g , que es cuasi-proyectivo . [2] Según una encuesta reciente de János Kollár , "tiene una geometría intrínseca rica e intrigante que está relacionada con preguntas importantes en muchas ramas de las matemáticas y la física teórica". [3] Braungardt ha planteado la cuestión de si el teorema de Belyi puede generalizarse a variedades de dimensión superior en el campo de los números algebraicos , con la formulación de que generalmente son biracionales a una cobertura étale finita de un espacio de módulos de curvas. [4]
Utilizando la noción de fibrado vectorial estable , se ha demostrado que existen esquemas de módulos gruesos para los fibrados vectoriales en cualquier variedad compleja suave, y que son cuasi-proyectivos: el enunciado utiliza el concepto de semiestabilidad . [5] Es posible identificar el espacio de módulos gruesos de fibrados de instantones especiales , en física matemática, con objetos en la geometría clásica de cónicas, en ciertos casos. [6]
Referencias
- "Teoría de módulos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Notas
- ^ Kovács, SJ (2009). "Guía para jóvenes sobre módulos de variedades de dimensiones superiores". Geometría algebraica, Seattle 2005: Instituto de investigación de verano de 2005, 25 de julio-12 de agosto de 2005, Universidad de Washington . Sociedad matemática estadounidense. págs. 711–743. ISBN. 978-0-8218-4703-9.pág. 13 del PDF
- ^ Hauser, Herwig; Lipman, Joseph; Oort, Frans; Quirós, Adolfo (6 de diciembre de 2012). "10.4 Esquemas de módulos gruesos". Resolución de singularidades: un libro de texto de investigación en homenaje a Oscar Zariski. Basado en los cursos impartidos en la Semana de trabajo en Obergurgl, Austria, del 7 al 14 de septiembre de 1997. Birkhäuser. pág. 83. ISBN 9783034883993. Recuperado el 22 de agosto de 2017 .
- ^ Kollár, János (20 de julio de 2017). "1.1. Breve historia de los problemas de módulos: Teorema 1.14". Familias de variedades de tipo general (PDF) . pág. 11.
- ^ Goldring, W. (2012). "Temas unificadores sugeridos por el teorema de Belyi". Teoría de números, análisis y geometría . Springer. pp. 181–214. Véase p. 203. doi :10.1007/978-1-4614-1260-1_10. ISBN . 978-1-4614-1260-1.
- ^ Harris, Joe (1987). "Curvas y sus módulos". Geometría algebraica: Bowdoin 1985. American Mathematical Soc. pp. 99–143 Véase p. 103. ISBN 978-0-8218-1480-2.
- ^ Böhmer, W.; Trautman, G. (2006). "Fibrados especiales de instantones y curvas de Poncelet". En Greuel, Gert-Martin; Trautmann, Günther (eds.). Singularidades, representación de álgebras y fibrados vectoriales: actas de un simposio celebrado en Lambrecht/Pfalz, República Federal de Alemania, del 13 al 17 de diciembre de 1985. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1273. Springer. págs. 325–336. doi :10.1007/BFb0078852. ISBN. 978-3-540-47851-5.