Variedad algebraica

Uno de los primeros ejemplos de una variedad algebraica no cuasiproyectiva fue dado por Nagata. ^{[ 4 ]} El ejemplo de Nagata no era completo (el análogo de la compacidad), pero poco después encontró una superficie algebraica que era completa y no proyectiva. ^{[ 5 ] [ 1 ] : 105, Observación 4.10.2} Desde entonces se han encontrado otros ejemplos: por ejemplo, es sencillo construir variedades tóricas que no son cuasiproyectivas pero sí completas. ^{[ 6 ]}

Sea k = C y A ² el espacio afín bidimensional sobre C. Los polinomios en el anillo C [ x , y ] pueden verse como funciones de valor complejo en A ² evaluándolos en los puntos de A ^2. Sea S un subconjunto de C [ x , y ] que contiene un único elemento f ( x , y ) :

${\displaystyle f(x,y)=x+y-1.}$

El lugar geométrico de ceros de f ( x , y ) es el conjunto de puntos en A ² en los que esta función se anula: es el conjunto de todos los pares de números complejos ( x , y ) tales que y = 1 − x . Esto se denomina una línea en el plano afín. (En la topología clásica derivada de la topología de los números complejos, una línea compleja es una variedad real de dimensión dos). Este es el conjunto Z ( f ) :

${\displaystyle Z(f)=\{(x,1-x)\in \mathbf {C} ^{2}\}.}$

Así, el subconjunto V = Z ( f ) de A2 es un conjunto algebraico . El conjunto V no es vacío. Es irreducible, ya que no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios. Por lo tanto ^, es una variedad algebraica afín.

Sea k = C y A ² el espacio afín bidimensional sobre C. Los polinomios en el anillo C [ x , y ] pueden verse como funciones de valor complejo en A ² evaluándolas en los puntos de A ^2. Sea un subconjunto S de C [ x , y ] que contiene un único elemento g ( x , y ) :

${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.}$

El lugar geométrico de los ceros de ^g ( x , y ) es el conjunto de puntos en A² donde esta función se anula, es decir, el conjunto de puntos ⁽ x , y ) tales que x² + y² = 1. Como g ( x , y ) es un polinomio absolutamente irreducible , se trata de una variedad algebraica. El conjunto de sus puntos reales (es decir ^, los puntos para los cuales x e y son números reales) se conoce como círculo unitario ; este nombre también se suele dar a toda la variedad.

El siguiente ejemplo no es ni una hipersuperficie , ni un espacio lineal , ni un solo punto. Sea A₃ el espacio afín tridimensional sobre C. ^El conjunto de puntos ( x₁ , x₂ ^, x₃ ⁾ para x en C es una variedad algebraica, y más precisamente una curva algebraica que no está contenida en ningún plano. ^{[ nota 2 ]} Es la cúbica retorcida que se muestra en la figura anterior. Se puede definir mediante las ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}y-x^{2}&=0\\z-x^{3}&=0\end{aligned}}}$

La irreducibilidad de este conjunto algebraico requiere una demostración. Un enfoque en este caso consiste en comprobar que la proyección ( x , y , z ) ↦ ( x , y ) es inyectiva en el conjunto de las soluciones y que su imagen es una curva plana irreducible.

Para ejemplos más difíciles, siempre se puede dar una demostración similar, pero puede implicar un cálculo difícil: primero un cálculo de base de Gröbner para calcular la dimensión, seguido de un cambio lineal aleatorio de variables (no siempre necesario); luego un cálculo de base de Gröbner para otro ordenamiento monomial para calcular la proyección y demostrar que es genéricamente inyectiva y que su imagen es una hipersuperficie , y finalmente una factorización polinómica para demostrar la irreducibilidad de la imagen.

El conjunto de matrices n- ×- n sobre el cuerpo base k puede identificarse con el espacio afín n ² A ^{n 2} con coordenadas x _ij tales que x _ij ( A ) es la entrada ( i , j ) -ésima de la matriz A . El determinante det es entonces un polinomio en x _ij y por lo tanto define la hipersuperficie H = V (det) en A ^{n 2} . El complemento de H es entonces un subconjunto abierto de A ^{n 2} que consta de todas las matrices n- ×- n invertibles , el grupo lineal general GL _n ( k ) . Es una variedad afín, ya que, en general, el complemento de una hipersuperficie en una variedad afín es afín. Explícitamente, consideremos A ^{n 2} × A ¹ , donde la línea afín está dada por la coordenada t . Entonces GL _n ( k ) equivale al lugar geométrico de ceros en A ^{n 2} × A ¹ del polinomio en x _ij , t :

${\displaystyle t\cdot \det[x_{ij}]-1,}$

es decir, el conjunto de matrices A tales que t det( A ) = 1 tiene una solución. Esto se ve mejor algebraicamente: el anillo de coordenadas de GL _n ( k ) es la localización k [ x _ij | 0 ≤ i , j ≤ n ][det ⁻¹ ] , que se puede identificar con k [ x _ij , t | 0 ≤ i , j ≤ n ]/( t det − 1) .

El grupo multiplicativo k ^× del cuerpo base k es el mismo que GL ₁ ( k ) y, por lo tanto, es una variedad afín. Un producto finito de este ( k ^× ) ^r es un toro algebraico , que también es una variedad afín.

Un grupo lineal general es un ejemplo de grupo algebraico lineal , una variedad afín que tiene una estructura de grupo de tal manera que las operaciones de grupo son morfismos de variedades.

Sea A un álgebra no necesariamente conmutativa sobre un cuerpo k . Incluso si A no es conmutativa, aún puede suceder que A tenga una filtración Z tal que el anillo asociado${\displaystyle \textstyle \operatorname {gr} A=\bigoplus _{i=-\infty }^{\infty }A_{i}/{A_{i-1}}}$es conmutativo, reducido y finitamente generado como un k -álgebra; es decir, gr A es el anillo de coordenadas de una variedad afín (reducible) X . Por ejemplo, si A es el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie de dimensión finita${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, entonces gr A es un anillo de polinomios (el teorema PBW ); más precisamente, el anillo de coordenadas del espacio vectorial dual${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$.

Sea M un módulo filtrado sobre A (es decir, A _i M _j ⊂ M _{i + j} ). Si gr M es finitamente generado como un álgebra gr A , entonces el soporte de gr M en X ; es decir, el lugar donde gr M no se anula se llama la variedad característica de M . ^{[ 7 ]} La noción juega un papel importante en la teoría de los D -módulos .

Una curva proyectiva plana es el lugar geométrico de los ceros de un polinomio homogéneo irreducible en tres indeterminadas. La recta proyectiva P ¹ es un ejemplo de curva proyectiva; puede verse como la curva en el plano proyectivo P ² = {[ x , y , z ]} definida por x = 0 . Para otro ejemplo, consideremos primero la curva cúbica afín.

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x.}$

en el espacio afín bidimensional (sobre un campo de característica no dos). Tiene la ecuación polinómica homogénea cúbica asociada:

${\displaystyle y^{2}z=x^{3}-xz^{2},}$

que define una curva en P ² llamada curva elíptica . La curva tiene género uno ( fórmula del género ); en particular, no es isomorfa a la recta proyectiva P ¹ , que tiene género cero. Usar el género para distinguir curvas es muy básico: de hecho, el género es el primer invariante que se usa para clasificar curvas (véase también la construcción de módulos de curvas algebraicas ).

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. La variedad grassmanniana G _n ( V ) es el conjunto de todos los subespacios n- dimensionales de V. Es una variedad proyectiva: se incrusta en un espacio proyectivo mediante la incrustación de Plücker :

${\displaystyle {\begin{cases}G_{n}(V)\hookrightarrow \mathbf {P} \left(\bigwedge ^{n}V\right)\\\langle b_{1},\ldots ,b_{n}\rangle \mapsto [b_{1}\wedge \cdots \wedge b_{n}]\end{cases}}}$

donde b _i son cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en V ,${\displaystyle \wedge ^{n}V}$es la n -ésima potencia exterior de V , y el corchete [ w ] significa la línea generada por el vector no nulo w .

La variedad grassmanniana viene con un haz vectorial natural (o haz libre local en otra terminología) llamado haz tautológico , que es importante en el estudio de clases características como las clases de Chern .

Sea C una curva completa y lisa y Pic( C ) su grupo de Picard ; es decir, el grupo de clases de isomorfismo de haces de líneas en C. Dado que C es lisa, Pic( C ) puede identificarse como el grupo de clases de divisores de C y, por lo tanto, existe el homomorfismo de grado deg  : Pic( C ) → Z. La variedad jacobiana Jac( C ) de C es el núcleo de este mapeo de grado; es decir, el grupo de clases de divisores en C de grado cero. Una variedad jacobiana es un ejemplo de una variedad abeliana , una variedad completa con una estructura de grupo abeliano compatible en ella (sin embargo, el nombre "abeliano" no se debe a que sea un grupo abeliano). Una variedad abeliana resulta ser proyectiva (en resumen, las funciones theta algebraicas dan una incrustación en un espacio proyectivo. Véanse las ecuaciones que definen las variedades abelianas ); por lo tanto, Jac( C ) es una variedad proyectiva. El espacio tangente a Jac( C ) en el elemento identidad es naturalmente isomorfo a${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C});}$^{[ 8 ]} Por lo tanto, la dimensión deJac(C)es el género deC.

Fijemos un punto P ₀ en C . Para cada entero n > 0 , existe un morfismo natural ^{[ 9 ].}

${\displaystyle C^{n}\to \operatorname {Jac} (C),\,(P_{1},\dots ,P_{r})\mapsto [P_{1}+\cdots +P_{n}-nP_{0}]}$

donde C ⁿ es el producto de n copias de C . Para g = 1 (es decir, C es una curva elíptica), el morfismo anterior para n = 1 resulta ser un isomorfismo; ^{[ 1 ] : Cap. IV, Ejemplo 1.3.7} en particular, una curva elíptica es una variedad abeliana.

Dado un entero g ≥ 0 , el conjunto de clases de isomorfismo de curvas completas suaves de género g se llama módulos de curvas de género${\displaystyle g}$y se denota como${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$Hay pocas maneras de demostrar que este módulo tiene una estructura de una variedad algebraica posiblemente reducible; por ejemplo, una forma es usar la teoría de invariantes geométricos que asegura que un conjunto de clases de isomorfismo tiene una estructura de variedad cuasiproyectiva (reducible). ^{[ 10 ]} Los módulos como los módulos de curvas de género fijo no suelen ser una variedad proyectiva; aproximadamente la razón es que una degeneración (límite) de una curva suave tiende a ser no suave o reducible. Esto lleva a la noción de una curva estable de género g ≥ 2 , una curva completa no necesariamente suave sin singularidades terriblemente malas y con un grupo de automorfismos no tan grande. Los módulos de curvas estables${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$, el conjunto de clases de isomorfismo de curvas estables de género g ≥ 2 , es entonces una variedad proyectiva que contiene${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$como un subconjunto denso abierto. Dado que${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$se obtiene añadiendo puntos límite a${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$,${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$Se dice coloquialmente que es una compactificación de${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$Históricamente, un artículo de Mumford y Deligne ^{[ 11 ]} introdujo la noción de una curva estable para demostrar${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$es irreducible cuando g ≥ 2 .

Los módulos de curvas ejemplifican una situación típica: los módulos de objetos agradables tienden a no ser proyectivos, sino solo cuasiproyectivos. Otro caso son los módulos de haces vectoriales sobre una curva. Aquí, existen las nociones de haces vectoriales estables y semiestables sobre una curva completa y suave C. Los módulos de haces vectoriales semiestables de un rango n dado y un grado d dado (grado del determinante del haz) son entonces una variedad proyectiva denotada como${\displaystyle SU_{C}(n,d)}$, que contiene el conjunto${\displaystyle U_{C}(n,d)}$de clases de isomorfismo de haces vectoriales estables de rango n y grado d como un subconjunto abierto. ^{[ 12 ]} Dado que un haz de líneas es estable, tales módulos son una generalización de la variedad jacobiana de C .

En general, a diferencia del caso de los módulos de curvas, una compactificación de un módulo no tiene por qué ser única y, en algunos casos, se construyen diferentes compactificaciones no equivalentes utilizando diferentes métodos y por diferentes autores. Un ejemplo sobre C es el problema de compactificar D / Γ , el cociente de un dominio simétrico acotado D por una acción de un grupo discreto aritmético Γ . ^{[ 13 ]} Un ejemplo básico de${\displaystyle D/\Gamma }$es cuando${\displaystyle D={\mathfrak {H}}_{g}}$, el semiespacio superior de Siegel y Γ conmensurable con Sp(2 g , Z ) ; en ese caso, D / Γ tiene una interpretación como los módulos${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{g}}$de variedades abelianas complejas polarizadas principalmente de dimensión g (una polarización principal identifica una variedad abeliana con su dual). La teoría de variedades tóricas (o incrustaciones de toro) da una forma de compactificar D / Γ , una compactificación toroidal de la misma. ^{[ 14 ] [ 15 ]} Pero hay otras formas de compactificar D / Γ ; por ejemplo, está la compactificación mínima de D / Γ debida a Baily y Borel: es la variedad proyectiva asociada al anillo graduado formado por formas modulares (en el caso de Siegel, formas modulares de Siegel ; ^{[ 16 ]} véase también variedad modular de Siegel ). La no unicidad de las compactificaciones se debe a la falta de interpretaciones de módulos de esas compactificaciones; es decir, no representan (en el sentido de la teoría de categorías) ningún problema de módulos natural o, en el lenguaje preciso, no hay una pila de módulos natural que sería un análogo de la pila de módulos de curvas estables.