Esquema de módulos

En geometría algebraica , un esquema de módulos es un espacio de módulos que existe en la categoría de esquemas desarrollada por el matemático francés Alexander Grothendieck . Algunos problemas importantes de módulos en geometría algebraica pueden resolverse satisfactoriamente solo con la teoría de esquemas , mientras que otros requieren alguna extensión del concepto de "objeto geométrico" ( espacios algebraicos , pilas algebraicas de Michael Artin ).

El trabajo de Grothendieck y David Mumford (véase la teoría de invariantes geométricos ) abrió este campo a principios de la década de 1960. El enfoque más algebraico y abstracto de los problemas de módulos consiste en plantearlos como una cuestión de funtores representables y, a continuación, aplicar un criterio que seleccione los funtores representables para los esquemas. Cuando este enfoque programático funciona, el resultado es un esquema de módulos adecuado . Bajo la influencia de ideas más geométricas, basta con encontrar un esquema que proporcione los puntos geométricos correctos . Esto se asemeja más a la idea clásica de que el problema de los módulos consiste en expresar la estructura algebraica que surge naturalmente de un conjunto (por ejemplo, de clases de isomorfismo de curvas elípticas ).

El resultado es, pues, un esquema de módulos grueso . Su falta de refinamiento radica, en términos generales, en que no garantiza para familias de objetos lo que es inherente al esquema de módulos fino. Como señaló Mumford en su libro Teoría de los invariantes geométricos , uno podría desear tener la versión fina, pero existe un problema técnico ( estructura de niveles y otras "marcas") que debe abordarse para obtener una pregunta con posibilidades de tener una respuesta de ese tipo.

Teruhisa Matsusaka demostró un resultado, ahora conocido como el gran teorema de Matsusaka , que establece una condición necesaria en un problema de módulos para la existencia de un esquema de módulos gruesos. ^{[ 1 ]}

Mumford demostró que si g > 1, existe un esquema de módulos grueso de curvas suaves de género g , que es cuasiproyectivo . ^{[ 2 ]} Según un estudio reciente de János Kollár , «tiene una geometría intrínseca rica e intrigante que está relacionada con cuestiones importantes en muchas ramas de las matemáticas y la física teórica ». ^{[ 3 ]} Braungardt ha planteado la cuestión de si el teorema de Belyi puede generalizarse a variedades de dimensión superior sobre el campo de los números algebraicos , con la formulación de que son generalmente birracionales a un recubrimiento étale finito de un espacio de módulos de curvas. ^{[ 4 ]}

Utilizando la noción de fibrado vectorial estable , se ha demostrado la existencia de esquemas de módulos gruesos para los fibrados vectoriales en cualquier variedad compleja lisa , y que estos esquemas son cuasiproyectivos: la afirmación utiliza el concepto de semiestabilidad . ^{[ 5 ]} En física matemática , es posible identificar el espacio de módulos gruesos de fibrados instantones especiales con objetos de la geometría clásica de cónicas, en ciertos casos. ^{[ 6 ]}

• "Teoría de módulos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]