Teorema de la estructura de Cohen

En matemáticas, el teorema de estructura de Cohen , introducido por Cohen ( 1946 ) , describe la estructura de los anillos locales noetherianos completos . 

Algunas consecuencias del teorema de estructura de Cohen incluyen tres conjeturas de Krull ^{[ 1 ]} :

• Cualquier anillo local noetheriano completo , regular y equicaracterístico es un anillo de series de potencias formales sobre un cuerpo. (Equicaracterístico significa que el anillo local y su cuerpo residual tienen la misma característica , y es equivalente a que el anillo local contenga un cuerpo).
• Cualquier anillo local noetheriano regular completo que no sea equicaracterístico pero que no esté ramificado está determinado de forma única por su campo residual y su dimensión.
• Cualquier anillo local noetheriano completo es la imagen de un anillo local noetheriano regular completo.

El caso más comúnmente utilizado del teorema de Cohen es cuando el anillo local noetheriano completo contiene algún cuerpo. En este caso, el teorema de estructura de Cohen establece que el anillo es de la forma k [[ x ₁ ,..., x _n ]]/( I ) para algún ideal I , donde k es su cuerpo de clases residuales.

En el caso de característica desigual, cuando el anillo local noetheriano completo no contiene un cuerpo, el teorema de estructura de Cohen establece que el anillo local es un cociente de un anillo de series de potencias formales en un número finito de variables sobre un anillo de Cohen con el mismo cuerpo residual que el anillo local. Un anillo de Cohen es un cuerpo o un anillo de valuación discreta de característica cero completo cuyo ideal máximo es generado por un número primo p (igual a la característica del cuerpo residual).

En ambos casos, la parte más difícil de la prueba de Cohen es demostrar que el anillo local noetheriano completo contiene un anillo de coeficientes (o campo de coeficientes ), lo que significa un anillo de valuación discreta completo (o campo) con el mismo campo residual que el anillo local.

• Cohen, Irvin Sol (1946), "Sobre la estructura y la teoría ideal de anillos locales completos", Transactions of the American Mathematical Society , 59 (1): 54–106 , doi : 10.2307/1990313 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990313 , MR 0016094   El artículo de Cohen fue escrito cuando "anillo local" significaba lo que ahora se denomina "anillo local noetheriano".
• Samuel, Pierre (1953), Algèbre locale , Mémor. Ciencia. Matemáticas, vol.  123, Gauthier-Villars, MR 0054995 
• Los autores del proyecto Stacks. "Proyecto Stacks — Etiqueta 0323" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 13 de agosto de 2018 .