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Coeficiente de variación

En teoría de la probabilidad y estadística , el coeficiente de variación ( CV ), también conocido como desviación cuadrática media normalizada (NRMSD) y desviación estándar rela...

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En teoría de la probabilidad y estadística , el coeficiente de variación ( CV ), también conocido como desviación cuadrática media normalizada (NRMSD) y desviación estándar relativa ( RSD ), es una medida estandarizada de la dispersión de una distribución de probabilidad o distribución de frecuencia . Se define como la razón de la desviación estándar.σ{\displaystyle \sigma }al medioμ{\displaystyle \mu }(o su valor absoluto ,|μ|{\displaystyle |\mu |}) y a menudo se expresa como un porcentaje ("%RSD").

El coeficiente de variación (CV) o la desviación estándar relativa (RSD) se utilizan ampliamente en química analítica para expresar la precisión y la repetibilidad de un ensayo . También se emplean comúnmente en campos como la ingeniería o la física al realizar estudios de garantía de calidad y análisis de varianza (ANOVA) para evaluar la repetibilidad y reproducibilidad (R&R) , por economistas e inversores en modelos económicos , en epidemiología y en psicología / neurociencia .

Definición

El coeficiente de variación (CV) se define [ 1 ] como la razón de la desviación estándarσ{\displaystyle \sigma }al medioμ{\displaystyle \mu },

doV=σμ.{\displaystyle CV={\frac {\sigma }{\mu }}.}

Muestra el grado de variabilidad en relación con la media de la población. El coeficiente de variación debe calcularse solo para datos medidos en escalas que tengan un cero significativo ( escala de razón ) y que, por lo tanto, permitan la comparación relativa de dos mediciones (es decir, la división de una medición por la otra). El coeficiente de variación puede no tener ningún significado para datos en una escala de intervalo . [ 2 ] Por ejemplo, la mayoría de las escalas de temperatura (p. ej., Celsius, Fahrenheit, etc.) son escalas de intervalo con ceros arbitrarios, por lo que el coeficiente de variación calculado sería diferente según la escala utilizada. Por otro lado, la temperatura Kelvin tiene un cero significativo, la ausencia total de energía térmica, y por lo tanto es una escala de razón. En lenguaje sencillo, tiene sentido decir que 20 Kelvin es el doble de caliente que 10 Kelvin, pero solo en esta escala con un verdadero cero absoluto. Si bien una desviación estándar (DE) puede medirse en Kelvin, Celsius o Fahrenheit, el valor calculado solo es aplicable a esa escala. Solo la escala Kelvin puede utilizarse para calcular un coeficiente de variación válido.

Las mediciones que siguen una distribución log-normal presentan un coeficiente de variación (CV) estacionario; en cambio, la desviación estándar (SD) varía en función del valor esperado de las mediciones.

Una posibilidad más sólida es el coeficiente de dispersión cuartil , la mitad del rango intercuartil.(Q3−Q1)/2{\displaystyle {(Q_{3}-Q_{1})/2}}dividido por el promedio de los cuartiles (el punto medio ),(Q1+Q3)/2{\displaystyle {(Q_{1}+Q_{3})/2}}.

En la mayoría de los casos, el coeficiente de variación (CV) se calcula para una única variable independiente (por ejemplo, un único producto de fábrica) con numerosas mediciones repetidas de una variable dependiente (por ejemplo, un error en el proceso de producción). Sin embargo, los datos que son lineales o incluso logarítmicamente no lineales e incluyen un rango continuo para la variable independiente con mediciones dispersas en cada valor (por ejemplo, un diagrama de dispersión) pueden ser susceptibles de un único cálculo de CV utilizando un enfoque de estimación de máxima verosimilitud . [ 3 ]

Ejemplos

En los ejemplos que se muestran a continuación, tomaremos los valores dados como elegidos aleatoriamente de una población más grande de valores .

  • El conjunto de datos [100, 100, 100] tiene valores constantes. Su desviación estándar es 0 y su promedio es 100, lo que da como resultado un coeficiente de variación de 0 / 100 = 0.
  • El conjunto de datos [90, 100, 110] tiene mayor variabilidad. Su desviación estándar es 10 y su promedio es 100, lo que da un coeficiente de variación de 10 / 100 = 0,1.
  • El conjunto de datos [1, 5, 6, 8, 10, 40, 65, 88] presenta aún más variabilidad. Su desviación estándar es 32,9 y su media es 27,9, lo que da un coeficiente de variación de 32,9 / 27,9 = 1,18.

En estos ejemplos, tomaremos los valores dados como la población total de valores .

  • El conjunto de datos [100, 100, 100] tiene una desviación estándar poblacional de 0 y un coeficiente de variación de 0 / 100 = 0
  • El conjunto de datos [90, 100, 110] tiene una desviación estándar poblacional de 8,16 y un coeficiente de variación de 8,16 / 100 = 0,0816.
  • El conjunto de datos [1, 5, 6, 8, 10, 40, 65, 88] tiene una desviación estándar poblacional de 30,8 y un coeficiente de variación de 30,8 / 27,9 = 1,10

Estimación

Cuando solo se dispone de una muestra de datos de una población, el coeficiente de variación poblacional se puede estimar utilizando la razón de la desviación estándar muestral.s{\displaystyle s\,}a la media de la muestraincógnita¯{\displaystyle {\bar {x}}}:

dov^=sincógnita¯{\displaystyle {\widehat {c_{\rm {v}}}}={\frac {s}{\bar {x}}}}

Pero este estimador, cuando se aplica a una muestra pequeña o de tamaño moderado, tiende a ser demasiado bajo: es un estimador sesgado . Para datos con distribución normal , un estimador insesgado [ 4 ] para una muestra de tamaño n es:

dov^∗=(1+14norte)dov^{\displaystyle {\widehat {c_{\rm {v}}}}^{*}={\bigg (}1+{\frac {1}{4n}}{\bigg )}{\widehat {c_{\rm {v}}}}}

datos log-normales

Muchos conjuntos de datos siguen una distribución aproximadamente log-normal. [ 5 ] En tales casos, una estimación más precisa, derivada de las propiedades de la distribución log-normal , [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] se define como:

dov^raw=misln2−1{\displaystyle {\widehat {cv}}_{\rm {raw}}={\sqrt {\mathrm {e} ^{s_{\ln }^{2}}-1}}}

dóndesln{\displaystyle {s_{\ln }}\,}es la desviación estándar muestral de los datos después de una transformación logarítmica natural . (En caso de que las mediciones se registren utilizando cualquier otra base logarítmica, b, su desviación estándarsb{\displaystyle s_{b}\,}se convierte a base e usandosln=sbln⁡(b){\displaystyle s_{\ln }=s_{b}\ln(b)\,}y la fórmula paradov^raw{\displaystyle {\widehat {cv}}_{\rm {raw}}\,}permanece igual. [ 9 ] ) Esta estimación a veces se denomina "coeficiente de variación geométrico" (CVG) [ 10 ] [ 11 ] para distinguirla de la estimación simple anterior. Sin embargo, Kirkwood también ha definido el "coeficiente de variación geométrico" [ 12 ] como:

GRAMOdoVK=misln−1{\displaystyle \mathrm {GCV_{K}} ={\mathrm {e} ^{s_{\ln }}\!\!-1}}

Este término pretendía ser análogo al coeficiente de variación, para describir la variación multiplicativa en datos log-normales, pero esta definición de GCV no tiene base teórica como estimación dedov{\displaystyle c_{\rm {v}}\,}sí mismo.

Para muchos fines prácticos (como la determinación del tamaño de la muestra y el cálculo de intervalos de confianza ) esslnorte{\displaystyle s_{ln}\,}lo cual es de mayor utilidad en el contexto de datos con distribución log-normal. Si es necesario, esto se puede derivar de una estimación dedov{\displaystyle c_{\rm {v}}\,}o GCV invirtiendo la fórmula correspondiente.

Comparación con la desviación estándar

Ventajas

El coeficiente de variación es útil porque la desviación estándar de los datos siempre debe entenderse en el contexto de la media de los mismos. En cambio, el valor real del coeficiente de variación es independiente de la unidad en la que se haya realizado la medición, por lo que es un número adimensional . Para comparar conjuntos de datos con unidades diferentes o medias muy distintas, se debe utilizar el coeficiente de variación en lugar de la desviación estándar.

Desventajas

  • Cuando el valor medio se aproxima a cero, el coeficiente de variación tiende al infinito y, por lo tanto, es sensible a pequeños cambios en la media. Esto suele ocurrir si los valores no provienen de una escala de razón.
  • A diferencia de la desviación estándar, no se puede utilizar directamente para construir intervalos de confianza para la media.

Aplicaciones

El coeficiente de variación también es común en campos de probabilidad aplicada como la teoría de renovación , la teoría de colas y la teoría de confiabilidad . En estos campos, la distribución exponencial suele ser más importante que la distribución normal . La desviación estándar de una distribución exponencial es igual a su media, por lo que su coeficiente de variación es igual a 1. Las distribuciones con CV < 1 (como una distribución de Erlang ) se consideran de baja varianza, mientras que aquellas con CV > 1 (como una distribución hiperexponencial ) se consideran de alta varianza . Algunas fórmulas en estos campos se expresan utilizando el coeficiente de variación al cuadrado , a menudo abreviado como SCV. En modelado, una variación del CV es el CV(RMSD). Esencialmente, el CV(RMSD) reemplaza el término de desviación estándar con la raíz de la desviación cuadrática media (RMSD) . Si bien muchos procesos naturales muestran una correlación entre el valor promedio y la cantidad de variación a su alrededor, los dispositivos sensores precisos deben diseñarse de tal manera que el coeficiente de variación sea cercano a cero, es decir, que produzcan un error absoluto constante en todo su rango de funcionamiento.

En ciencia actuarial , el CV se conoce como riesgo unitizado . [ 13 ]

En el procesamiento industrial de sólidos, el CV es particularmente importante para medir el grado de homogeneidad de una mezcla de polvos. Comparar el CV calculado con una especificación permitirá definir si se ha alcanzado un grado de mezcla suficiente. [ 14 ]

Medidas de laboratorio de los coeficientes de variación intraensayo e interensayo.

Las medidas de CV se utilizan a menudo como controles de calidad para ensayos de laboratorio cuantitativos . Si bien se podría suponer que los CV intraensayo e interensayo se calculan simplemente promediando los valores de CV de múltiples muestras dentro de un mismo ensayo o promediando múltiples estimaciones de CV interensayo, se ha sugerido que estas prácticas son incorrectas y que se requiere un proceso computacional más complejo. [ 15 ] También se ha observado que los valores de CV no son un índice ideal de la certeza de una medición cuando el número de réplicas varía entre muestras; en este caso, se sugiere que el error estándar en porcentaje es superior. [ 16 ] Si las mediciones no tienen un punto cero natural, entonces el CV no es una medición válida y se recomiendan medidas alternativas como el coeficiente de correlación intraclase . [ 17 ]

Como medida de desigualdad económica

El coeficiente de variación cumple los requisitos para una medida de desigualdad económica . [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] Si x (con entradas x i ) es una lista de los valores de un indicador económico (por ejemplo, riqueza), donde x i es la riqueza del agente i , entonces se cumplen los siguientes requisitos:

  • Anonimato: c v es independiente del orden de la lista x . Esto se deduce del hecho de que la varianza y la media son independientes del orden de x .
  • Invariancia de escala: c v ( x ) = c v ( α x ) donde α es un número real. [ 20 ]
  • Independencia de la población: si { x , x } es la lista x agregada a sí misma, entonces c v ({ x , x }) = c v ( x ). Esto se deduce del hecho de que tanto la varianza como la media obedecen este principio.
  • Principio de transferencia de Pigou-Dalton: cuando la riqueza se transfiere de un agente más rico i a un agente más pobre j (es decir, x i  > x j ) sin alterar su rango, entonces c v disminuye y viceversa. [ 20 ] 

c v toma su valor mínimo de cero para igualdad completa (todos x i son iguales). [ 20 ] Su desventaja más notable es que no está acotada superiormente, por lo que no se puede normalizar para que esté dentro de un rango fijo (por ejemplo, como el coeficiente de Gini , que está restringido a estar entre 0 y 1). [ 20 ] Sin embargo, es matemáticamente más manejable que el coeficiente de Gini.

Como medida de estandarización de los artefactos arqueológicos

Los arqueólogos suelen utilizar los valores de CV para comparar el grado de estandarización de los artefactos antiguos. [ 21 ] [ 22 ] La variación en los CV se ha interpretado como indicativa de diferentes contextos de transmisión cultural para la adopción de nuevas tecnologías. [ 23 ] Los coeficientes de variación también se han utilizado para investigar la estandarización de la cerámica en relación con los cambios en la organización social. [ 24 ] Los arqueólogos también utilizan varios métodos para comparar los valores de CV, por ejemplo, la prueba de razón de verosimilitud con signo modificada (MSLR) para la igualdad de los CV. [ 25 ] [ 26 ]

Ejemplos de mal uso

Comparar los coeficientes de variación entre parámetros utilizando unidades relativas puede dar lugar a diferencias que podrían no ser reales. Si comparamos el mismo conjunto de temperaturas en grados Celsius y Fahrenheit (ambas unidades relativas, donde Kelvin y la escala Rankine son sus valores absolutos asociados):

Celsius: [0, 10, 20, 30, 40]

Fahrenheit: [32, 50, 68, 86, 104]

Las desviaciones estándar de las muestras son 15,81 y 28,46, respectivamente. El coeficiente de variación (CV) del primer conjunto es 15,81/20 = 79%. Para el segundo conjunto (que corresponde a las mismas temperaturas) es 28,46/68 = 42%.

Por ejemplo, si los conjuntos de datos son lecturas de temperatura de dos sensores diferentes (uno en grados Celsius y otro en grados Fahrenheit) y se desea determinar qué sensor es mejor seleccionando el que presenta la menor varianza, el uso de la validación cruzada (CV) puede llevar a un error. El problema radica en que se divide por un valor relativo en lugar de un valor absoluto.

Comparando el mismo conjunto de datos, ahora en unidades absolutas:

Kelvin: [273,15, 283,15, 293,15, 303,15, 313,15]

Rankine: [491.67, 509.67, 527.67, 545.67, 563.67]

Las desviaciones estándar de la muestra siguen siendo 15,81 y 28,46, respectivamente, ya que la desviación estándar no se ve afectada por un desplazamiento constante. Sin embargo, los coeficientes de variación ahora son ambos iguales a 5,39 %.

Matemáticamente hablando, el coeficiente de variación no es completamente lineal. Es decir, para una variable aleatoriaincógnita{\displaystyle X}, el coeficiente de variación deaincógnita+b{\displaystyle aX+b}es igual al coeficiente de variación deincógnita{\displaystyle X}solo cuandob=0{\displaystyle b=0}En el ejemplo anterior, Celsius solo se puede convertir a Fahrenheit mediante una transformación lineal de la formaaincógnita+b{\displaystyle ax+b}conb≠0{\displaystyle b\neq 0}, mientras que los Kelvin se pueden convertir a Rankine mediante una transformación de la formaaincógnita{\displaystyle ax}.

Distribución

Siempre que los valores negativos y los pequeños valores positivos de la media muestral ocurran con una frecuencia insignificante, la distribución de probabilidad del coeficiente de variación para una muestra de tamañonorte{\displaystyle n}Hendricks y Robey han demostrado que la de variables aleatorias normales i.i.d. es [ 27 ].

dFdov=2π1/2Γ(norte−12)exp⁡(−norte2(σμ)2⋅dov21+dov2)dovnorte−2(1+dov2)norte/2∑∑′i=0norte−1⁡(norte−1)¡Γ(norte−i2)(norte−1−i)¡i¡⋅nortei/22i/2⋅(σμ)i⋅1(1+dov2)i/2ddov,{\displaystyle \mathrm {d} F_{c_{\rm {v}}}={\frac {2}{\pi ^{1/2}\Gamma {\left({\frac {n-1}{2}}\right)}}}\exp \left(-{\frac {n}{2\left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{2}}}\cdot {\frac {{c_{\rm {v}}}^{2}}{1+{c_{\rm {v}}}^{2}}}\right){\frac {{c_{\rm {v}}}^{n-2}}{(1+{c_{\rm {v}}}^{2})^{n/2}}}\sideset {}{^{\prime }}\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(n-1)!\,\Gamma \left({\frac {ni}{2}}\right)}{(n-1-i)!\,i!\,}}\cdot {\frac {n^{i/2}}{2^{i/2}\cdot \left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{i}}}\cdot {\frac {1}{(1+{c_{\rm {v}}}^{2})^{i/2}}}\,\mathrm {d} c_{\rm {v}},}

donde el símbolo∑∑′{\textstyle \sideset {}{^{\prime }}\sum }indica que la suma se realiza solo sobre valores pares denorte−1−i{\displaystyle n-1-i}, es decir, sinorte{\displaystyle n}es impar, suma sobre valores pares dei{\displaystyle i}y sinorte{\displaystyle n}es par, suma solo sobre valores impares dei{\displaystyle i}.

Esto resulta útil, por ejemplo, en la construcción de pruebas de hipótesis o intervalos de confianza . La inferencia estadística para el coeficiente de variación en datos con distribución normal se basa a menudo en la aproximación chi-cuadrado de McKay para el coeficiente de variación. [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]

Alternativa

Liu (2012) revisa métodos para la construcción de un intervalo de confianza para el coeficiente de variación. [ 34 ] Cabe destacar que Lehmann (1986) derivó la distribución muestral para el coeficiente de variación utilizando una distribución t no central para proporcionar un método exacto para la construcción del IC. [ 35 ]

Proporciones similares

Los momentos estandarizados son razones similares,μk/σk{\displaystyle {\mu _{k}}/{\sigma ^{k}}}dóndeμk{\displaystyle \mu _{k}}es el k -ésimo momento respecto a la media, que también son adimensionales e invariantes a la escala. La razón varianza-media ,σ2/μ{\displaystyle \sigma ^{2}/\mu }, es otra razón similar, pero no es adimensional y, por lo tanto, no es invariante a la escala. Consulte Normalización (estadística) para obtener más razones.

En el procesamiento de señales , particularmente en el procesamiento de imágenes , la relación recíprocaμ/σ{\displaystyle \mu /\sigma }(o su cuadrado) se denomina relación señal-ruido en general y relación señal-ruido (de imagen) en particular.

Otras proporciones relacionadas incluyen:

Véase también

Referencias

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  • cvequality : paquete de R para probar diferencias significativas entre múltiples coeficientes de variación.