Estado coherente

En física , específicamente en mecánica cuántica , un estado coherente es el estado cuántico específico del oscilador armónico cuántico , a menudo descrito como un estado cuya dinámica se asemeja más al comportamiento oscilatorio de un oscilador armónico clásico . Fue el primer ejemplo de dinámica cuántica cuando Erwin Schrödinger lo derivó en 1926, mientras buscaba soluciones de la ecuación de Schrödinger que satisficieran el principio de correspondencia . ^{[ 1 ]} El oscilador armónico cuántico (y por lo tanto los estados coherentes) surgen en la teoría cuántica de una amplia gama de sistemas físicos. ^{[ 2 ]} Por ejemplo, un estado coherente describe el movimiento oscilatorio de una partícula confinada en un pozo de potencial cuadrático (para una referencia temprana, véase, por ejemplo, el libro de texto de Schiff ^{[ 3 ]} ). El estado coherente describe un estado en un sistema para el cual el paquete de ondas del estado fundamental está desplazado del origen del sistema. Este estado puede relacionarse con las soluciones clásicas mediante una partícula que oscila con una amplitud equivalente al desplazamiento.

Estos estados, expresados ​​como autovectores del operador de descenso y formando una familia sobrecompleta , fueron introducidos en los primeros trabajos de John R. Klauder , p. ej. ^{[ 4 ]} En la teoría cuántica de la luz ( electrodinámica cuántica ) y otras teorías cuánticas de campos bosónicos , los estados coherentes fueron introducidos por el trabajo de Roy J. Glauber en 1963 y también se conocen como estados de Glauber .

El concepto de estados coherentes se ha abstraído considerablemente; se ha convertido en un tema fundamental en la física matemática y en las matemáticas aplicadas , con aplicaciones que abarcan desde la cuantización hasta el procesamiento de señales y el procesamiento de imágenes (véase Estados coherentes en física matemática ). Por este motivo, los estados coherentes asociados al oscilador armónico cuántico se denominan a veces estados coherentes canónicos (CCS), estados coherentes estándar , estados gaussianos o estados de oscilador.

En óptica cuántica, el estado coherente se refiere a un estado del campo electromagnético cuantizado , etc. ^{[ 2 ] [ 6 ] [ 7 ]} que describe un tipo de coherencia máxima y un tipo de comportamiento clásico. Erwin Schrödinger lo derivó como un paquete de ondas gaussiano de " incertidumbre mínima " en 1926, buscando soluciones de la ecuación de Schrödinger que satisfagan el principio de correspondencia . ^{[ 1 ]} Es un estado de incertidumbre mínima , con el único parámetro libre elegido para que la dispersión relativa (desviación estándar en unidades adimensionales naturales) sea igual para la posición y el momento, siendo cada uno igualmente pequeño a alta energía.

Además, a diferencia de los autoestados de energía del sistema, la evolución temporal de un estado coherente se concentra a lo largo de las trayectorias clásicas . El oscilador armónico lineal cuántico, y por ende los estados coherentes, surgen en la teoría cuántica de una amplia gama de sistemas físicos. Aparecen en la teoría cuántica de la luz ( electrodinámica cuántica ) y en otras teorías cuánticas de campos bosónicos .

Aunque los paquetes de ondas gaussianas de incertidumbre mínima eran bien conocidos, no atrajeron toda la atención hasta que Roy J. Glauber , en 1963, proporcionó una descripción cuántica completa de la coherencia en el campo electromagnético. ^{[ 8 ]} En este sentido, no debe omitirse la contribución simultánea de ECG Sudarshan , ^{[ 9 ]} (sin embargo, hay una nota en el artículo de Glauber que dice: "Usos de estos estados como funciones generadoras para el${\displaystyle n}$Sin embargo, J. Schwinger ^{[ 10 ]} ya había creado estados cuánticos . Glauber se sintió impulsado a hacerlo para describir el experimento de Hanbury-Brown y Twiss , que generó patrones de interferencia de línea de base muy amplia (cientos o miles de millas) que podían utilizarse para determinar diámetros estelares. Esto abrió la puerta a una comprensión mucho más completa de la coherencia. (Para más información, véase la descripción cuántico-mecánica ).

En óptica clásica , la luz se concibe como ondas electromagnéticas que irradian desde una fuente. A menudo, la luz láser coherente se considera luz emitida por múltiples fuentes en fase . En realidad, la idea de que un fotón esté en fase con otro no es válida en la teoría cuántica. La radiación láser se produce en una cavidad resonante cuya frecuencia de resonancia coincide con la frecuencia asociada a las transiciones electrónicas atómicas que proporcionan el flujo de energía al campo. A medida que se acumula energía en el modo resonante, aumenta la probabilidad de emisión estimulada , solo en ese modo. Esto constituye un bucle de retroalimentación positiva en el que la amplitud en el modo resonante aumenta exponencialmente hasta que ciertos efectos no lineales la limitan. Como contraejemplo, una bombilla irradia luz en un continuo de modos, y no hay nada que seleccione un modo sobre otro. El proceso de emisión es altamente aleatorio en el espacio y el tiempo (véase luz térmica ). En un láser , sin embargo, la luz se emite en un modo resonante, y ese modo es altamente coherente . Así, la luz láser se idealiza como un estado coherente. (Clásicamente, describimos dicho estado mediante un campo eléctrico que oscila como una onda estable. Véase la figura 1).

Además de describir láseres, los estados coherentes también se comportan de manera conveniente al describir la acción cuántica de los divisores de haz : dos haces de entrada en estado coherente se convertirán simplemente en dos haces de salida en estado coherente con nuevas amplitudes dadas por fórmulas clásicas de ondas electromagnéticas; ^{[ 11 ]} este comportamiento simple no ocurre para otros estados de entrada, incluidos los estados numéricos. Del mismo modo, si un haz de luz en estado coherente se absorbe parcialmente, el remanente es un estado coherente puro con una amplitud menor, mientras que la absorción parcial de luz en estado no coherente produce un estado mixto estadístico más complejo . ^{[ 11 ]} La luz térmica puede describirse como una mezcla estadística de estados coherentes, y la forma típica de definir la luz no clásica es que no puede describirse como una simple mezcla estadística de estados coherentes. ^{[ 11 ]}

Los autoestados de energía del oscilador armónico lineal (por ejemplo, masas en resortes, vibraciones de la red en un sólido, movimientos vibracionales de núcleos en moléculas u oscilaciones en el campo electromagnético) son estados cuánticos de número fijo. El estado de Fock (por ejemplo, un solo fotón) es el estado más parecido a una partícula; tiene un número fijo de partículas y la fase es indeterminada. Un estado coherente distribuye su incertidumbre cuántico-mecánica de manera uniforme entre las coordenadas canónicamente conjugadas , posición y momento, y la incertidumbre relativa en fase [definida heurísticamente ] y amplitud son aproximadamente iguales, y pequeñas a gran amplitud.

Matemáticamente, un estado coherente${\displaystyle |\alpha \rangle }$se define como el autoestado (único) del operador de aniquilación â con autovalor correspondiente${\displaystyle \alpha }$Formalmente, esto se lee:

${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ~.}$

Dado que â no es hermitiano ,${\displaystyle \alpha }$es, en general, un número complejo . Escribir${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{i\theta }}$,${\displaystyle |\alpha |}$y θ se denominan amplitud y fase del estado${\displaystyle |\alpha \rangle }$.

El estado${\displaystyle |\alpha \rangle }$Se le llama estado coherente canónico en la literatura, ya que existen muchos otros tipos de estados coherentes, como se puede ver en el artículo complementario Estados coherentes en física matemática .

Físicamente, esta fórmula significa que un estado coherente permanece inalterado por la aniquilación de la excitación de campo o, por ejemplo, de una partícula cargada. Un autoestado del operador de aniquilación tiene una distribución numérica de Poisson cuando se expresa en una base de autoestados de energía, como se muestra a continuación. Una distribución de Poisson es una condición necesaria y suficiente para que todas las detecciones sean estadísticamente independientes. Compárese esto con un estado de partícula única (${\displaystyle |1\rangle }$Estado de Fock ): una vez que se detecta una partícula, la probabilidad de detectar otra es cero.

La derivación de esto utilizará operadores adimensionales (normalizados de forma no convencional) , X y P , normalmente llamados cuadraturas de campo en óptica cuántica. (Véase Adimensionalización ). Estos operadores están relacionados con los operadores de posición y momento de una masa m en un resorte con constante k ,

${\displaystyle {P}={\sqrt {\frac {1}{2\hbar m\omega }}}\ {\hat {p}}{\text{,}}\quad {X}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\ {\hat {x}}{\text{,}}\quad \quad {\text{donde }}\omega \equiv {\sqrt {k/m}}~.}$

Para un campo óptico ,

${\displaystyle ~E_{\rm {R}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\cos(\theta )X\qquad {\text{y}}\qquad ~E_{\rm {I}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\sin(\theta )X~}$

son las componentes real e imaginaria del modo del campo eléctrico dentro de una cavidad de volumen${\displaystyle V}$. ^{[ 12 ]}

Con estos operadores (adimensionales), el hamiltoniano de cualquiera de los sistemas se convierte en

${\displaystyle {H}=\hbar \omega \left({P}^{2}+{X}^{2}\right){\text{,}}\qquad {\text{con}}\qquad \left[{X},{P}\right]\equiv {XP}-{PX}={\frac {i}{2}}\,{I}.}$

Erwin Schrödinger buscaba los estados más parecidos a los clásicos cuando introdujo por primera vez los paquetes de ondas gaussianas de mínima incertidumbre. El estado cuántico del oscilador armónico que minimiza la relación de incertidumbre con incertidumbre distribuida equitativamente entre X y P satisface la ecuación

${\displaystyle \left({X}-\langle {X}\rangle \right)\,|\alpha \rangle =-i\left({P}-\langle {P}\rangle \right)\,|\alpha \rangle {\text{,}}}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle \left({X}+i{P}\right)\,\left|\alpha \right\rangle =\left\langle {X}+i{P}\right\rangle \,\left|\alpha \right\rangle ~,}$

y por lo tanto

${\displaystyle \langle \alpha \!\mid \left({X}-\langle X\rangle \right)^{2}+\left({P}-\langle P\rangle \right)^{2}\mid \!\alpha \rangle =1~.}$

Así, dado que (∆ X −∆ P ) ² ≥ 0 , Schrödinger encontró que los estados de incertidumbre mínima para el oscilador armónico lineal son los autoestados de ( X + iP ) . Dado que â es ( X + iP ) , esto se reconoce como un estado coherente en el sentido de la definición anterior.

Utilizando la notación para estados multifotónicos, Glauber caracterizó el estado de coherencia completa a todos los órdenes del campo electromagnético como el autoestado del operador de aniquilación; formalmente, en un sentido matemático, el mismo estado que halló Schrödinger. El nombre de estado coherente se popularizó tras el trabajo de Glauber.

Si la incertidumbre se minimiza, pero no necesariamente se equilibra por igual entre X y P , el estado se denomina estado coherente comprimido .

La ubicación del estado coherente en el plano complejo ( espacio de fases ) se centra en la posición y el momento de un oscilador clásico de fase θ y amplitud | α |, dada por el autovalor α (o el mismo valor del campo eléctrico complejo para una onda electromagnética). Como se muestra en la Figura 5, la incertidumbre, distribuida uniformemente en todas las direcciones, está representada por un disco de diámetro 1/2 . A medida que varía la fase, el estado coherente orbita alrededor del origen y el disco no se distorsiona ni se expande. Esta es la aproximación más cercana que un estado cuántico puede tener a un punto único en el espacio de fases.

Dado que la incertidumbre (y por lo tanto el ruido de medición) permanece constante en 1/2 a medida que aumenta la amplitud de la oscilación, el estado se comporta cada vez más como una onda sinusoidal, como se muestra en la Figura 1. Además, dado que el estado de vacío${\displaystyle |0\rangle }$Es simplemente el estado coherente con α = 0; todos los estados coherentes tienen la misma incertidumbre que el vacío. Por lo tanto, se puede interpretar el ruido cuántico de un estado coherente como debido a fluctuaciones del vacío.

La notación ${\displaystyle |\alpha \rangle }$no se refiere a un estado de Fock . Por ejemplo, cuando α = 1 , no se debe confundir.${\displaystyle |1\rangle }$para el estado de Fock de un solo fotón, que también se denota${\displaystyle |1\rangle }$en su propia notación. La expresión${\displaystyle |\alpha \rangle }$donde α = 1 representa una distribución de Poisson del número de estados.${\displaystyle |n\rangle }$con un número medio de fotones de uno.

La solución formal de la ecuación de autovalores es el estado de vacío desplazado a una ubicación α en el espacio de fases, es decir, se obtiene haciendo operar el operador de desplazamiento unitario D ( α ) sobre el vacío,

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$,

donde â = X + iP y â ^† = X - iP .

Esto se puede ver fácilmente, al igual que prácticamente todos los resultados que involucran estados coherentes, utilizando la representación del estado coherente en la base de estados de Fock,

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}{\hat {a}}}}|0\rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle ~,}$

dónde${\displaystyle |n\rangle }$son los autovectores de energía (número) del hamiltoniano

${\displaystyle H=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)~,}$

y la igualdad final se deriva de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff . Para la distribución de Poisson correspondiente , la probabilidad de detectar n fotones es

${\displaystyle P(n)=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}=e^{-\langle n\rangle }{\frac {\langle n\rangle ^{n}}{n!}}~.}$

De manera similar, el número promedio de fotones en un estado coherente es

${\displaystyle ~\langle n\rangle =\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle =|\alpha |^{2}~}$

y la varianza es

${\displaystyle ~(\Delta n)^{2}={\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)=|\alpha |^{2}~}$.

Es decir, la desviación estándar del número detectado es proporcional a la raíz cuadrada del número detectado. Por lo tanto, en el límite de α grande , estas estadísticas de detección son equivalentes a las de una onda estable clásica.

Estos resultados se aplican a los resultados de detección en un solo detector y, por lo tanto, se relacionan con la coherencia de primer orden (véase grado de coherencia ). Sin embargo, para mediciones que correlacionan detecciones en múltiples detectores, interviene la coherencia de orden superior (por ejemplo, correlaciones de intensidad, coherencia de segundo orden, en dos detectores). La definición de coherencia cuántica de Glauber implica funciones de correlación de orden n (coherencia de orden n) para todo n . El estado perfectamente coherente tiene todos los órdenes n de correlación iguales a 1 (coherente). Es perfectamente coherente en todos los órdenes.

El coeficiente de correlación de segundo orden${\displaystyle g^{2}(0)}$proporciona una medida directa del grado de coherencia de los estados de los fotones en términos de la varianza de las estadísticas de los fotones en el haz en estudio. ^{[ 13 ]}

${\displaystyle ~g^{2}(0)=1+{\frac {{\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)-\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle }{(\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle )^{2}}}=1+{\frac {{\rm {Var}}(n)-{\bar {n}}}{{\bar {n}}^{2}}}}$

En el desarrollo de Glauber, se observa que los estados coherentes se distribuyen según una distribución de Poisson . En el caso de una distribución de Poisson, la varianza es igual a la media, es decir

${\displaystyle {\rm {Var}}(n)={\bar {n}}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=1}$.

Un coeficiente de correlación de segundo orden de 1 significa que los fotones en estados coherentes no están correlacionados.

Hanbury Brown y Twiss estudiaron el comportamiento de correlación de los fotones emitidos por una fuente térmica incoherente descrita por la estadística de Bose-Einstein . La varianza de la distribución de Bose-Einstein es

${\displaystyle {\rm {Var(n)}}={\bar {n}}+{\bar {n}}^{2}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=2}$.

Esto se corresponde con las mediciones de correlación de Hanbury Brown y Twiss, e ilustra que los fotones en estados incoherentes de Bose-Einstein están correlacionados o agrupados.

Los cuantos que obedecen la estadística de Fermi-Dirac están anticorrelacionados. En este caso, la varianza es

${\displaystyle {\rm {Var}}(n)={\bar {n}}-{\bar {n}}^{2}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=0}$.

La anticorrelación se caracteriza por un coeficiente de correlación de segundo orden = 0.

El trabajo de Roy J. Glauber fue impulsado por los resultados de Hanbury-Brown y Twiss, quienes produjeron patrones de interferencia de primer orden de largo alcance (cientos o miles de millas) mediante el uso de fluctuaciones de intensidad (falta de coherencia de segundo orden), con filtros de banda estrecha (coherencia parcial de primer orden) en cada detector. (Se puede imaginar, durante duraciones muy cortas, un patrón de interferencia casi instantáneo de los dos detectores, debido a los filtros de banda estrecha, que oscila aleatoriamente debido a la diferencia de fase relativa variable. Con un contador de coincidencias, el patrón de interferencia oscilante sería más fuerte en momentos de mayor intensidad [común a ambos haces], y ese patrón sería más fuerte que el ruido de fondo). Casi toda la óptica se había ocupado de la coherencia de primer orden. Los resultados de Hanbury-Brown y Twiss impulsaron a Glauber a estudiar la coherencia de orden superior, y desarrolló una descripción cuántica completa de la coherencia en todos los órdenes del campo electromagnético (y una descripción cuántica de la señal más ruido). Acuñó el término estado coherente y demostró que estos se producen cuando una corriente eléctrica clásica interactúa con el campo electromagnético.

Para α ≫ 1 , según la Figura 5, la geometría simple da Δθ | α | = 1/2. De esto, parece que hay una compensación entre la incertidumbre numérica y la incertidumbre de fase, Δθ Δn = 1/2, que a veces se interpreta como una relación de incertidumbre numérica-fase; pero esta no es una relación de incertidumbre estricta formal: no hay un operador de fase definido de forma única en mecánica cuántica. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]}

Para hallar la función de onda del estado coherente, el paquete de ondas de Schrödinger de mínima incertidumbre, lo más sencillo es comenzar con la descripción de Heisenberg del oscilador armónico cuántico para el estado coherente.${\displaystyle |\alpha \rangle }$. Tenga en cuenta que

${\displaystyle ~a(t)|\alpha \rangle =e^{-i\omega t}a(0)|\alpha \rangle }$

El estado coherente es un autoestado del operador de aniquilación en la representación de Heisenberg .

Es fácil ver que, en la imagen de Schrödinger , el mismo valor propio

${\displaystyle ~\alpha (t)=e^{-i\omega t}\alpha (0)~}$

ocurre,

${\displaystyle ~a|\alpha (t)\rangle =\alpha (t)|\alpha (t)\rangle }$.

En las representaciones de coordenadas resultantes de operar por${\displaystyle \langle x|}$, esto equivale a la ecuación diferencial ,

${\displaystyle ~{\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi ^{\alpha }(x,t)=\alpha (t)\psi ^{\alpha }(x,t)~,}$

que se resuelve fácilmente para producir

${\displaystyle ~\psi ^{(\alpha )}(x,t)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\Bigg (}-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(x-{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)]\right)^{2}+i{\sqrt {\frac {2m\omega }{\hbar }}}\Im [\alpha (t)]x+i\theta (t){\Bigg )}~,}$

donde θ(t) es una fase aún no determinada, que se fijará exigiendo que la función de onda satisfaga la ecuación de Schrödinger.

Resulta que

${\displaystyle ~\theta (t)=-{\frac {\omega t}{2}}+{\frac {|\alpha (0)|^{2}\sin(2\omega t-2\sigma )}{2}}~,{\text{where}}\qquad \alpha (0)\equiv |\alpha (0)|\exp(i\sigma )~,}$

de modo que σ es la fase inicial del valor propio.

La posición media y el momento de este "paquete de ondas de Schrödinger mínimo"${\displaystyle \psi ^{(\alpha )}}$están oscilando así igual que un sistema clásico ,

La densidad de probabilidad sigue siendo una gaussiana centrada en esta media oscilante,

${\displaystyle |\psi ^{(\alpha )}(x,t)|^{2}={\sqrt {\frac {m\omega }{\pi \hbar }}}e^{-{\frac {m\omega }{\hbar }}\left(x-\langle {\hat {x}}(t)\rangle \right)^{2}}.}$

Los estados coherentes canónicos descritos hasta ahora tienen tres propiedades que son mutuamente equivalentes, ya que cada una de ellas especifica completamente el estado.${\displaystyle |\alpha \rangle }$, es decir,

1. Son autovectores del operador de aniquilación : ${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \,}$.
2. Se obtienen a partir del vacío mediante la aplicación de un operador de desplazamiento unitario : ${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle \,}$.
3. Son estados de incertidumbre mínima (equilibrada): ${\displaystyle \Delta X=\Delta P={\sqrt {\frac {\hbar }{2}}}\,}$.

Cada una de estas propiedades puede conducir a generalizaciones, en general diferentes entre sí (véase el artículo " Estados coherentes en física matemática " para algunas de ellas). Hacemos hincapié en que los estados coherentes tienen características matemáticas que son muy diferentes de las de un estado de Fock ; por ejemplo, dos estados coherentes diferentes no son ortogonales,

${\displaystyle \langle \beta |\alpha \rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta )}$

(vinculado al hecho de que son autovectores del operador de aniquilación no autoadjunto â ).

Por lo tanto, si el oscilador está en el estado cuántico${\displaystyle |\alpha \rangle }$También existe con probabilidad distinta de cero en el otro estado cuántico. ${\displaystyle |\beta \rangle }$(pero cuanto más alejados estén los estados en el espacio de fases, menor será la probabilidad). Sin embargo, dado que obedecen una relación de cierre, cualquier estado puede descomponerse en el conjunto de estados coherentes. Por lo tanto, forman una base sobrecompleta , en la que se puede descomponer diagonalmente cualquier estado. Esta es la premisa de la representación P de Glauber-Sudarshan .

Esta relación de cierre puede expresarse mediante la resolución del operador identidad I en el espacio vectorial de estados cuánticos,

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |d^{2}\alpha =I\qquad d^{2}\alpha \equiv d\Re (\alpha )\,d\Im (\alpha )~.}$

Esta resolución de la identidad está íntimamente ligada a la transformada de Segal-Bargmann .

Otra peculiaridad es que${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$no tiene eigenket (mientras que â no tiene eigenbra). La siguiente igualdad es el sustituto formal más cercano y resulta útil para cálculos técnicos, ^{[ 22 ]}

${\displaystyle a^{\dagger }|\alpha \rangle \langle \alpha |=\left({\partial \over \partial \alpha }+\alpha ^{*}\right)|\alpha \rangle \langle \alpha |~.}$

Este último estado se conoce como "estado de Agarwal" o estado coherente con adición de fotones y se denota como${\displaystyle |\alpha ,1\rangle .}$

Los estados de Agarwal normalizados de orden n se pueden expresar como ${\displaystyle |\alpha ,n\rangle =[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle /\|[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle \|~.}$^{[ 23 ]}

La resolución anterior de la identidad se puede derivar (restringiendo a una dimensión espacial para simplificar) tomando elementos de matriz entre los autoestados de posición,${\displaystyle \langle x|\cdots |y\rangle }$, en ambos lados de la ecuación. En el lado derecho, esto da inmediatamente δ(xy) . En el lado izquierdo, se obtiene lo mismo insertando

${\displaystyle \psi ^{\alpha }(x,t)=\langle x|\alpha (t)\rangle }$

de la sección anterior (el tiempo es arbitrario), luego integrando sobre ${\displaystyle \Im (\alpha )}$utilizando la representación de Fourier de la función delta y luego realizando una integral gaussiana sobre${\displaystyle \Re (\alpha )}$.

En particular, el estado del paquete de ondas de Schrödinger gaussiano se deduce del valor explícito.

${\displaystyle \langle x|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi ^{1/4}}}{e^{-{\frac {1}{2}}{(x-{\sqrt {2}}\Re (\alpha ))^{2}}+ix{\sqrt {2}}\Im (\alpha )-i\Re (\alpha )\Im (\alpha )}}~.}$

La resolución de la identidad también puede expresarse en términos de posición y momento de la partícula. Para cada dimensión de coordenadas (usando una notación adaptada con un nuevo significado para${\displaystyle x}$),

${\displaystyle |\alpha \rangle \equiv |x,p\rangle \qquad \qquad x\equiv \langle {\hat {x}}\rangle \qquad \qquad p\equiv \langle {\hat {p}}\rangle }$

La relación de cierre de los estados coherentes se lee

${\displaystyle I=\int |x,p\rangle \,\langle x,p|~{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} p}{2\pi \hbar }}~.}$

Esto puede insertarse en cualquier valor esperado cuántico-mecánico, relacionándolo con alguna integral cuasiclásica del espacio de fases y explicando, en particular, el origen de los factores de normalización.${\displaystyle (2\pi \hbar )^{-1}}$para funciones de partición clásicas , consistentes con la mecánica cuántica.

Además de ser un autoestado exacto de los operadores de aniquilación, un estado coherente es un autoestado común aproximado de la posición y el momento de la partícula. Restringiéndonos nuevamente a una dimensión,

${\displaystyle {\hat {x}}|x,p\rangle \approx x|x,p\rangle \qquad \qquad {\hat {p}}|x,p\rangle \approx p|x,p\rangle }$

El error en estas aproximaciones se mide por las incertidumbres de posición y momento,

${\displaystyle \langle x,p|\left({\hat {x}}-x\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta x\right)^{2}\qquad \qquad \langle x,p|\left({\hat {p}}-p\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta p\right)^{2}~.}$

• Un condensado de Bose-Einstein (BEC) es una colección de átomos bosónicos que se encuentran todos en el mismo estado cuántico. ^{[ 24 ]} En un sistema termodinámico, el estado fundamental se ocupa macroscópicamente por debajo de una temperatura crítica , aproximadamente cuando la  longitud de onda térmica de De Broglie es mayor que el espaciado interatómico. Se cree que la superfluidez en el helio-4 líquido está asociada con la condensación de Bose-Einstein en un gas ideal. Pero el ^4He tiene interacciones fuertes, y el factor de estructura del líquido (una estadística de segundo orden) juega un papel importante. El uso de un estado coherente para representar el componente superfluido del ^4He proporcionó una buena estimación de las fracciones de condensado/no condensado en la superfluidez, consistente con los resultados de la dispersión de neutrones lentos. ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]} La mayoría de las propiedades especiales de superfluidez se derivan directamente del uso de un estado coherente para representar el componente superfluido , que actúa como un estado de cuerpo único macroscópicamente ocupado con amplitud y fase bien definidas en todo el volumen. (El componente superfluido del ^4He pasa de cero a la temperatura de transición al 100% en el cero absoluto. Pero la fracción de condensado es de aproximadamente el 6% ^{[ 28 ]} a la temperatura del cero absoluto, T=0K).
• Al principio del estudio de la superfluidez, Oliver Penrose y Lars Onsager propusieron una métrica ("parámetro de orden") para la superfluidez. ^{[ 29 ]} Estaba representada por un componente factorizado macroscópico (un autovalor macroscópico) en la matriz de densidad reducida de primer orden. Más tarde, CN Yang ^{[ 30 ]} propuso una medida más generalizada de coherencia cuántica macroscópica, llamada orden de largo alcance fuera de la diagonal (ODLRO), ^{[ 30 ]} que incluía sistemas de fermiones y bosones. El ODLRO existe siempre que haya un componente factorizado (autovalor) macroscópicamente grande en una matriz de densidad reducida de cualquier orden. La superfluidez corresponde a un componente factorizado grande en la matriz de densidad reducida de primer orden. (Y todas las matrices de densidad reducidas de orden superior se comportan de manera similar). La superconductividad implica un componente factorizado grande en la matriz de densidad reducida de segundo orden (" par de electrones de Cooper ").
• Las matrices de densidad reducidas que se utilizan para describir la coherencia cuántica macroscópica en superfluidos son formalmente idénticas a las funciones de correlación que se emplean para describir los órdenes de coherencia en la radiación. Ambas son ejemplos de coherencia cuántica macroscópica. El componente coherente macroscópicamente grande, junto con el ruido, en el campo electromagnético, según la descripción de Glauber de la señal más el ruido, es formalmente idéntico al componente superfluido macroscópicamente grande más el componente fluido normal en el modelo de dos fluidos de la superfluidez.
• La radiación electromagnética cotidiana, como las ondas de radio y televisión, es también un ejemplo de estados casi coherentes (coherencia cuántica macroscópica). Esto debería hacernos reflexionar sobre la distinción convencional entre lo cuántico y lo clásico.
• La coherencia en la superfluidez no debe atribuirse a ningún subconjunto de átomos de helio; se trata de un tipo de fenómeno colectivo en el que participan todos los átomos (similar al apareamiento de Cooper en la superconductividad, como se indica en la siguiente sección).

• Los electrones son fermiones, pero cuando se emparejan en pares de Cooper actúan como bosones y, por lo tanto, pueden formar colectivamente un estado coherente a bajas temperaturas. Este emparejamiento no se produce realmente entre electrones, sino en los estados disponibles para los electrones que entran y salen de dichos estados. ^{[ 31 ]} El emparejamiento de Cooper se refiere al primer modelo de superconductividad. ^{[ 32 ]}
• Estos estados coherentes forman parte de la explicación de efectos como el efecto Hall cuántico en semiconductores superconductores de baja temperatura .

• Para un sistema cuántico con operador de momento angular${\displaystyle \mathbf {J} =(J_{x},J_{y},J_{z})}$y número cuántico de momento angular${\displaystyle j,}$Los estados coherentes de momento angular pueden definirse como aquellos estados que minimizan la cantidad$${\displaystyle (\Delta J_{x})^{2}+(\Delta J_{y}^{2})+(\Delta J_{z})^{2}~,}$$es decir, las sumas de las incertidumbres de las tres componentes cartesianas del momento angular. ^{[ 33 ]} Un estado${\displaystyle |\psi \rangle }$minimiza esta cantidad si y solo si existe un vector unitario${\displaystyle \mathbf {n} }$de tal manera que$${\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} )|\psi \rangle =\hbar j|\psi \rangle ~.}$$

• Según Gilmore y Perelomov, quienes lo demostraron independientemente, la construcción de estados coherentes puede considerarse un problema en la teoría de grupos , y por lo tanto, los estados coherentes pueden asociarse a grupos distintos del grupo de Heisenberg , lo que conduce a los estados coherentes canónicos discutidos anteriormente. ^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]} Además, estos estados coherentes pueden generalizarse a grupos cuánticos . Estos temas, con referencias a trabajos originales, se discuten en detalle en Estados coherentes en física matemática .

• En la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas , se trata de una generalización de los estados coherentes al caso en el que se utilizan infinitos grados de libertad para definir un estado de vacío con un valor esperado de vacío diferente al del vacío original.
• En sistemas cuánticos unidimensionales de muchos cuerpos con grados de libertad fermiónicos, los estados excitados de baja energía pueden aproximarse como estados coherentes de un operador de campo bosónico que crea excitaciones partícula-hueco. Este enfoque se denomina bosonización .
• Los estados coherentes gaussianos de la mecánica cuántica no relativista pueden generalizarse a estados coherentes relativistas de partículas de Klein-Gordon y Dirac. ^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]}
• Los estados coherentes también han aparecido en trabajos sobre gravedad cuántica de lazos o para la construcción de la relatividad general cuántica canónica (semi)clásica. ^{[ 41 ] [ 42 ]}

• Estados coherentes en física matemática
• Teoría cuántica de campos
• Óptica cuántica
• Amplificador cuántico
• Campo electromagnético
• Grado de coherencia
• Teoría de dispersión múltiple de Glauber

• Estados cuánticos del campo de luz
• Estados de Glauber: Estados coherentes del oscilador armónico cuántico
• Mide un estado coherente con la estadística interactiva de fotones