conjunto de homotopía

En matemáticas , particularmente en topología algebraica , los conjuntos de cohomotopía son funtores contravariantes particulares de la categoría de espacios topológicos con punto base y aplicaciones continuas que preservan el punto base a la categoría de conjuntos y funciones . Son duales a los grupos de homotopía , pero han sido menos estudiados.

El conjunto de cohomotopía p -ésima de un espacio topológico X con punto central se define por

${\displaystyle \pi ^{p}(X)=[X,S^{p}]}$

el conjunto de clases de homotopía puntiagudas de aplicaciones continuas de${\displaystyle X}$a la esfera p${\displaystyle S^{p}}$. ^{[ 1 ]}

Para p = 1, este conjunto tiene una estructura de grupo abeliano y se denomina grupo de Bruschlinsky . Siempre que${\displaystyle X}$es un complejo CW , es isomorfo al primer grupo de cohomología${\displaystyle H^{1}(X)}$, ya que el círculo${\displaystyle S^{1}}$es un espacio de Eilenberg-MacLane de tipo${\displaystyle K(\mathbb {Z},1)}$.

Un teorema de Heinz Hopf establece que si${\displaystyle X}$es un complejo CW de dimensión como máximo p , entonces ${\displaystyle [X,S^{p}]}$está en biyección con el grupo de cohomología p -ésimo${\displaystyle H^{p}(X)}$.

El conjunto${\displaystyle [X,S^{p}]}$también tiene una estructura de grupo natural si${\displaystyle X}$es una suspensión${\displaystyle \Sigma Y}$, como una esfera${\displaystyle S^{q}}$para${\displaystyle q\geq 1}$.

Si X no es homotópicamente equivalente a un complejo CW, entonces${\displaystyle H^{1}(X)}$podría no ser isomorfo a${\displaystyle [X,S^{1}]}$. Un contraejemplo lo da el círculo de Varsovia , cuyo primer grupo de cohomología se desvanece, pero admite un mapa a${\displaystyle S^{1}}$que no es homotópico a un mapa constante. ^{[ 2 ]}

Algunos datos básicos sobre conjuntos de cohomotopía, algunos más obvios que otros:

• ${\displaystyle \pi ^{p}(S^{q})=\pi _{q}(S^{p})}$para todo p y q .
• Para${\displaystyle q=p+1}$y${\displaystyle p>2}$, el grupo${\displaystyle \pi ^{p}(S^{q})}$es igual a${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$(Para demostrar este resultado, Lev Pontryagin desarrolló el concepto de cobordismo enmarcado ).
• Si${\displaystyle f,g\colon X\to S^{p}}$tiene${\displaystyle \|f(x)-g(x)\|<2}$para todo x , entonces${\displaystyle [f]=[g]}$y la homotopía es suave si f y g lo son.
• Para${\displaystyle X}$un colector liso y compacto ,${\displaystyle \pi ^{p}(X)}$es isomorfo al conjunto de clases de homotopía de mapas suaves${\displaystyle X\to S^{p}}$En este caso, toda aplicación continua puede aproximarse uniformemente mediante una aplicación suave, y cualquier aplicación suave homotópica será suavemente homotópica.
• Si${\displaystyle X}$es un${\displaystyle m}$- colector , entonces${\displaystyle \pi ^{p}(X)=0}$para${\displaystyle p>m}$.
• Si${\displaystyle X}$es un${\displaystyle m}$- variedad con frontera , el conjunto${\displaystyle \pi ^{p}(X,\partial X)}$está canónicamente en biyección con el conjunto de clases de cobordismo de subvariedades enmarcadas de codimensión -p del interior${\displaystyle X\setminus \partial X}$.
• El grupo de cohomotopía estable de${\displaystyle X}$es el colímite

${\displaystyle \pi _{s}^{p}(X)=\varinjlim _{k}{[\Sigma ^{k}X,S^{p+k}]}}$

que es un grupo abeliano.

Los conjuntos de cohomotopía fueron introducidos por Karol Borsuk en 1936. ^{[ 3 ]} Edwin Spanier realizó un examen sistemático en 1949. ^{[ 4 ]} Los grupos de cohomotopía estables fueron definidos por Franklin P. Peterson en 1956. ^{[ 5 ]}