Topología digital

La topología digital se ocupa de las propiedades y características de las imágenes digitales bidimensionales (2D) o tridimensionales (3D) que corresponden a propiedades topológicas (por ejemplo, conectividad ) o características topológicas (por ejemplo, límites ) de los objetos.

Los conceptos y resultados de la topología digital se utilizan para especificar y justificar algoritmos importantes (de bajo nivel) de análisis de imágenes , incluidos algoritmos para el adelgazamiento , el trazado de bordes o superficies, el conteo de componentes o túneles, o el relleno de regiones.

La topología digital fue estudiada por primera vez a finales de la década de 1960 por el investigador de análisis de imágenes por computadora Azriel Rosenfeld (1931-2004 ) , cuyas publicaciones sobre el tema desempeñaron un papel fundamental en el establecimiento y desarrollo de este campo. El término "topología digital" fue acuñado por el propio Rosenfeld, quien lo utilizó por primera vez en una publicación de 1973.

Un trabajo relacionado llamado topología de celda de cuadrícula , que podría considerarse un vínculo con la topología combinatoria clásica , apareció en el libro de Pavel Alexandrov y Heinz Hopf , Topologie I (1935). Rosenfeld et al. propusieron conectividad digital como 4-conectividad y 8-conectividad en dos dimensiones, así como 6-conectividad y 26-conectividad en tres dimensiones. El método de etiquetado para inferir un componente conectado se estudió en la década de 1970. Theodosios Pavlidis (1982) sugirió el uso de algoritmos de teoría de grafos como el método de búsqueda en profundidad para encontrar componentes conectados. Vladimir A. Kovalevsky (1989) extendió la topología de celda de cuadrícula 2D de Alexandrov-Hopf a tres y más dimensiones. También propuso (2008) una teoría axiomática más general de espacios topológicos localmente finitos y complejos de celdas abstractas previamente sugerida por Ernst Steinitz (1908). Es la topología de Alexandrov . El libro de 2008 contiene nuevas definiciones de bolas y esferas topológicas independientes de una métrica y numerosas aplicaciones al análisis de imágenes digitales.

A principios de la década de 1980, se estudiaron las superficies digitales . David Morgenthaler y Rosenfeld (1981) proporcionaron una definición matemática de superficies en el espacio digital tridimensional. Esta definición incluye un total de nueve tipos de superficies digitales. La variedad digital se estudió en la década de 1990. Chen y Zhang propusieron intuitivamente una definición recursiva de la k-variedad digital en 1993. ^{[ 1 ]} Se encontraron numerosas aplicaciones en el procesamiento de imágenes y la visión por computadora.

Un resultado básico (inicial) en topología digital indica que las imágenes binarias 2D requieren el uso alternativo de adyacencia de 4 u 8 píxeles o " conectividad de píxeles " (para píxeles de "objeto" o "no objeto" ) para garantizar la dualidad topológica básica de separación y conectividad. Este uso alternativo corresponde a conjuntos abiertos o cerrados en la topología de celdas de cuadrícula 2D , y el resultado se generaliza a 3D: el uso alternativo de adyacencia de 6 o 26 píxeles corresponde a conjuntos abiertos o cerrados en la topología de celdas de cuadrícula 3D. La topología de celdas de cuadrícula también se aplica a imágenes 2D o 3D multinivel (por ejemplo, en color), por ejemplo, basándose en un orden total de posibles valores de imagen y aplicando una "regla de etiqueta máxima" (véase el libro de Klette y Rosenfeld, 2004).

La topología digital está estrechamente relacionada con la topología combinatoria . Las principales diferencias entre ellas son: (1) la topología digital estudia principalmente objetos digitales formados por celdas de cuadrícula (las celdas de retículos enteros), en lugar de complejos de celdas más generales , y (2) la topología digital también trata con variedades no Jordan.

Una variedad combinatoria es un tipo de variedad que constituye una discretización de otra variedad. Generalmente, se refiere a una variedad lineal por partes formada por complejos simpliciales . Una variedad digital es un tipo especial de variedad combinatoria definida en el espacio digital, es decir, en el espacio de celdas de la cuadrícula.

Una forma digital del teorema de Gauss-Bonnet es: Sea M una variedad digital cerrada bidimensional en adyacencia directa (es decir, una superficie (6,26) en 3D). La fórmula para el género es

${\displaystyle g=1+(M_{5}+2M_{6}-M_{3})/8}$,

dónde${\displaystyle M_{i}}$indica el conjunto de puntos de la superficie, cada uno de los cuales tiene i puntos adyacentes en la superficie (Chen y Rong, ICPR 2008). Si M es simplemente conexo, es decir,${\displaystyle g=0}$, entonces${\displaystyle M_{3}=8+M_{5}+2M_{6}}$(Véase también característica de Euler ).

• Geometría digital
• Topología combinatoria
• Geometría computacional
• Topología computacional
• Análisis de datos topológicos
• Topología
• matemáticas discretas
• Topología geoespacial

• Herman, Gabor T. (1998). Geometría de espacios digitales . Análisis armónico numérico y aplicado. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 978-0-8176-3897-9. MR 1711168 . 
• Kong, Tat Yung; Rosenfeld, Azriel, eds. (1996). Algoritmos topológicos para el procesamiento de imágenes digitales . Elsevier. ISBN 0-444-89754-2.
• Voss, Klaus (1993). Imágenes discretas, objetos y funciones en${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$Algoritmos y combinatoria. Vol.  11. Berlín: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-3-642-46779-0 . ISBN 0-387-55943-4. MR 1224678 . 
• Chen, L. (2004). Superficies y variedades discretas: una teoría de la geometría y topología digital-discreta . SP Computing. ISBN 0-9755122-1-8.
• Klette, R.; Rosenfeld, Azriel (2004). Geometría digital . Morgan Kaufman. ISBN 1-55860-861-3.
• Morgenthaler, David G.; Rosenfeld, Azriel (1981). "Superficies en imágenes digitales tridimensionales". Information and Control . 51 (3): 227– 247. doi : 10.1016/S0019-9958(81)90290-4 . MR 0686842 . 
• Pavlidis, Theo (1982). Algoritmos para gráficos y procesamiento de imágenes . Lecture Notes in Mathematics. Vol.  877. Rockville, MD: Computer Science Press. ISBN 0-914894-65-X. SR 0643798 . 
• Vladimir A. Kovalevsky. (2008). Geometría de espacios localmente finitos . Berlín: Editorial Dr. Baerbel Kovalevski. 2008. ISBN 978-3-9812252-0-4.