magma conmutativo

En matemáticas , existen magmas conmutativos pero no asociativos . Un ejemplo sencillo de este tipo de magma se puede obtener del juego infantil de piedra, papel o tijera . Dichos magmas dan lugar a álgebras no asociativas .

Un magma que es a la vez conmutativo y asociativo es un semigrupo conmutativo .

En el juego de piedra, papel o tijera , deja${\displaystyle M:=\{r,p,s\}}$, que representan los gestos de "piedra", "papel" y "tijeras" respectivamente, y consideremos la operación binaria.${\displaystyle \cdot :M\times M\to M}$derivado de las reglas del juego de la siguiente manera: ^{[ 1 ]}

A pesar de${\displaystyle x,y\in M}$:

• Si${\displaystyle x\neq y}$y${\displaystyle x}$ritmos${\displaystyle y}$en el juego, entonces${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=x}$
• ${\displaystyle x\cdot x=x}$  Es decir, cada${\displaystyle x}$es idempotente .

Por ejemplo:

• ${\displaystyle r\cdot p=p\cdot r=p}$ "El papel vence a la piedra";
• ${\displaystyle s\cdot s=s}$ "Atar con tijeras".

Esto da como resultado la tabla de Cayley : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}\cdot &r&p&s\\\hline r&r&p&r\\p&p&p&s\\s&r&s&s\end{array}}}$

Por definición, el magma${\displaystyle (M,\cdot )}$es conmutativa, pero también no asociativa, ^{[ 2 ]} como lo demuestra:

${\displaystyle r\cdot (p\cdot s)=r\cdot s=r}$

pero

${\displaystyle (r\cdot p)\cdot s=p\cdot s=s}$

es decir

${\displaystyle r\cdot (p\cdot s)\neq (r\cdot p)\cdot s}$

Es el magma no asociativo más simple que es conservativo , en el sentido de que el resultado de cualquier operación de magma es uno de los dos valores dados como argumentos a la operación. ^{[ 2 ]}

La media aritmética y las medias generalizadas de números o de cantidades de dimensiones superiores, como las medias de Fréchet , suelen ser conmutativas pero no asociativas. ^{[ 3 ]}

Los magmas conmutativos pero no asociativos pueden utilizarse para analizar la recombinación genética . ^{[ 4 ]}