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Fréchet significa

En matemáticas y estadística , la media de Fréchet es una generalización de los centroides a espacios métricos , que proporciona un único punto representativo o tendencia centra...

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En matemáticas y estadística , la media de Fréchet es una generalización de los centroides a espacios métricos , que proporciona un único punto representativo o tendencia central para un grupo de puntos. Recibe su nombre de Maurice Fréchet . La media de Karcher es el nombre que se le da a la construcción del centro de masa riemanniano desarrollada por Karsten Grove y Hermann Karcher . [ 1 ] [ 2 ] En los números reales, la media aritmética , la mediana , la media geométrica y la media armónica pueden interpretarse como medias de Fréchet para diferentes funciones de distancia.

Definición

Sea ( M , d ) un espacio métrico completo . Sean x 1 , x 2 , …, x N puntos en M . Para cualquier punto p en M , definimos la varianza de Fréchet como la suma de las distancias al cuadrado desde p hasta x i :

Ψ(pag)=∑i=1norted2(pag,incógnitai){\displaystyle \Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}d^{2}(p,x_{i})}

Las medias de Karcher son entonces aquellos puntos, m de M , que minimizanΨ{\displaystyle \Psi }: [ 2 ]

metro=arg minpag∈METRO⁡∑i=1norted2(pag,incógnitai){\displaystyle m=\mathop {\text{arg min}} _{p\in M}\sum _{i=1}^{N}d^{2}(p,x_{i})}

Si existe un único m de M que minimiza estrictamenteΨ{\displaystyle \Psi }, entonces es Fréchet significa .

Ejemplos de Fréchet significa

Media aritmética y mediana

Para los números reales, la media aritmética es una media de Fréchet, que utiliza la distancia euclidiana habitual como función de distancia.

La mediana también es una media de Fréchet, si la definición de la función Ψ se generaliza a la no cuadrática.

Ψ(pag)=∑i=1nortedα(pag,incógnitai),{\displaystyle \Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}d^{\alpha }(p,x_{i}),}

dóndeα=1{\displaystyle \alpha =1}y la distancia euclidiana es la función de distancia d . [ 3 ] En espacios de dimensiones superiores, esto se convierte en la mediana geométrica .

media geométrica

En los números reales positivos, la función de distancia (hiperbólica)d(incógnita,y)=|registro⁡(incógnita)−registro⁡(y)|{\displaystyle d(x,y)=|\log(x)-\log(y)|}se puede definir. La media geométrica es la media de Fréchet correspondiente. De hecho F:incógnita↦miincógnita{\displaystyle f:x\mapsto e^{x}}es entonces una isometría del espacio euclidiano a este espacio "hiperbólico" y debe respetar la media de Fréchet: la media de Fréchet delincógnitai{\displaystyle x_{i}}es la imagen porF{\displaystyle f}de la media de Fréchet (en el sentido euclidiano) de laF−1(incógnitai){\displaystyle f^{-1}(x_{i})}, es decir, debe ser:

F(1norte∑i=1norteF−1(incógnitai))=exp⁡(1norte∑i=1norteregistro⁡incógnitai)=incógnita1⋯incógnitanortenorte{\displaystyle f\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f^{-1}(x_{i})\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}\right)={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}}.

Media armónica

Sobre los números reales positivos , la métrica (función de distancia):

dH(incógnita,y)=|1incógnita−1y|{\displaystyle d_{\operatorname {H} }(x,y)=\left|{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}\right|}

se puede definir. La media armónica es la media de Fréchet correspondiente.

Poder significa

Dado un número real distinto de cerometro{\displaystyle m}, la media de potencia se puede obtener como una media de Fréchet introduciendo la métrica

dmetro(incógnita,y)=|incógnitametro−ymetro|{\displaystyle d_{m}(x,y)=\left|x^{m}-y^{m}\right|}

media f

Dada una función invertible y continuaF{\displaystyle f}, la media f se puede definir como la media de Fréchet obtenida utilizando la métrica:

dF(incógnita,y)=|F(incógnita)−F(y)|{\displaystyle d_{f}(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|}

A esto se le llama a veces media f generalizada o media cuasi-aritmética .

Medias ponderadas

La definición general de la media de Fréchet (que incluye la posibilidad de ponderar las observaciones) puede utilizarse para derivar versiones ponderadas para todos los tipos de medias mencionados anteriormente.

Para la media aritmética, a los x i se les asignan ponderaciones w i . Entonces, las varianzas de Fréchet y la media de Fréchet se definen como:

Ψ(pag)=∑i=1nortewid2(pag,incógnitai),metro=arg minpag∈METRO⁡∑i=1nortewid2(pag,incógnitai).{\displaystyle \Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}w_{i}\,d^{2}(p,x_{i}),\;\;\;\;m=\mathop {\text{arg min}} _{p\in M}\sum _{i=1}^{N}w_{i}d^{2}(p,x_{i}).}

Véase también

Referencias

  1. ^ Arboleda, Karsten; Karcher, Hermann (1973), "Cómo conjugar acciones de grupo cerrado C1, Math.Z. 132", Mathematische Zeitschrift , 132 (1): 11– 20, doi : 10.1007/BF01214029.
  2. 1 2 Nielsen, Frank; Bhatia, Rajendra (2012), Matrix Information Geometry , Springer, p. 171, ISBN  9783642302329.
  3. ↑ Nielsen y Bhatia (2012) , pág.  136 .