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Objeto compacto (matemáticas)

En matemáticas, los objetos compactos , también llamados objetos finitamente presentados u objetos de presentación finita , son objetos de una categoría que satisfacen una deter...

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En matemáticas, los objetos compactos , también llamados objetos finitamente presentados u objetos de presentación finita , son objetos de una categoría que satisfacen una determinada condición de finitud. La terminología se inspira en (y generaliza a partir de) el concepto de compacidad en topología .

Definición

Un objeto X en una categoría C que admite todos los colímites filtrados (también conocidos como límites directos ) se llama compacto si el functor

Iniciodo⁡(incógnita,⋅):do→Smits,Y↦Iniciodo⁡(incógnita,Y){\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(X,\cdot ):C\to \mathrm {Sets} ,Y\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}

conmuta con colímites filtrados, es decir, si el mapa natural

colim⁡Iniciodo⁡(incógnita,Yi)→Iniciodo⁡(incógnita,colimi⁡Yi){\displaystyle \operatorname {colim} \operatorname {Hom} _{C}(X,Y_{i})\to \operatorname {Hom} _{C}(X,\operatorname {colim} _{i}Y_{i})}

es una biyección para cualquier sistema filtrado de objetosYi{\displaystyle Y_{i}}en C . [ 1 ] Dado que los elementos en el colímite filtrado de la izquierda están representados por mapasincógnita→Yi{\displaystyle X\to Y_{i}}, para algún i , la sobreyectividad del mapa anterior equivale a exigir que un mapaincógnita→colimi⁡Yi{\displaystyle X\to \operatorname {colim} _{i}Y_{i}}factores sobre algunosYi{\displaystyle Y_{i}}.

La terminología se basa en un ejemplo de topología mencionado más adelante. Varios autores también emplean una terminología más relacionada con las categorías algebraicas: Adámek y Rosický (1994) utilizan el término objeto finitamente presentado en lugar de objeto compacto. Kashiwara y Schapira (2006) los denominan objetos de presentación finita .

Compacidad en categorías infinitas

La misma definición también se aplica si C es una ∞-categoría , siempre que el conjunto anterior de morfismos se reemplace por el espacio de mapeo en C (y los colímites filtrados se entiendan en el sentido ∞-categórico, a veces también denominados colímites de homotopía filtrados).

Compacidad en categorías trianguladas

Para una categoría triangulada C que admite todos los coproductos , Neeman (2001a) define un objeto como compacto si

Iniciodo⁡(incógnita,⋅):do→Ab,Y↦Iniciodo⁡(incógnita,Y){\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(X,\cdot ):C\to \mathrm {Ab} ,Y\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}

conmuta con coproductos. La relación de esta noción y la anterior es la siguiente: supongamos que C surge como la categoría de homotopía de una ∞-categoría estable que admite todos los colímites filtrados. (Esta condición se satisface ampliamente, pero no es automática). Entonces, un objeto en C es compacto en el sentido de Neeman si y solo si es compacto en el sentido ∞-categórico. La razón es que en una ∞-categoría estable,Iniciodo⁡(incógnita,−){\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(X,-)}Siempre conmuta con colímites finitos, ya que estos son límites. Luego, se utiliza una presentación de colímites filtrados como un coecualizador (que es un colímite finito) de un coproducto infinito.

Ejemplos

Los objetos compactos en la categoría de conjuntos son precisamente los conjuntos finitos.

Para un anillo R , los objetos compactos en la categoría de R -módulos son precisamente los R -módulos finitamente presentados . En particular, si R es un cuerpo, entonces los objetos compactos son espacios vectoriales de dimensión finita.

Resultados similares se obtienen para cualquier categoría de estructuras algebraicas dadas por operaciones sobre un conjunto que obedece leyes de igualdad. Dichas categorías, llamadas variedades , pueden estudiarse sistemáticamente utilizando teorías de Lawvere . Para cualquier teoría de Lawvere T , existe una categoría Mod( T ) de modelos de T , y los objetos compactos en Mod( T ) son precisamente los modelos finitamente presentados. Por ejemplo: supongamos que T es la teoría de grupos. Entonces Mod( T ) es la categoría de grupos , y los objetos compactos en Mod( T ) son los grupos finitamente presentados.

Los objetos compactos en la categoría derivadaD(R−Mod){\displaystyle D(R-{\text{Mod}})}Los R -módulos son precisamente los complejos perfectos .

Los espacios topológicos compactos no son los objetos compactos en la categoría de espacios topológicos . En cambio, son precisamente los conjuntos finitos dotados de la topología discreta . [ 2 ] El vínculo entre la compacidad en topología y la noción categórica de compacidad anterior es el siguiente: para un espacio topológico fijoincógnita{\displaystyle X}, existe la categoríaAbierto(incógnita){\displaystyle {\text{Abrir}}(X)}cuyos objetos son los subconjuntos abiertos deincógnita{\displaystyle X}(y las inclusiones como morfismos). Entonces,incógnita{\displaystyle X}es un espacio topológico compacto si y solo siincógnita{\displaystyle X}es compacto como un objeto enAbierto(incógnita){\displaystyle {\text{Abrir}}(X)}.

Sido{\displaystyle C}es cualquier categoría, la categoría de pregavillasPreShv(do){\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}(es decir, la categoría de functores dedoopag{\displaystyle C^{op}}a conjuntos) tiene todos los colímites. La categoría originaldo{\displaystyle C}está conectado aPreShv(do){\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}mediante la incrustación de Yonedah(−):do→PreShv(do),incógnita↦hincógnita:=Inicio⁡(−,incógnita){\displaystyle h_{(-)}:C\to {\text{PreShv}}(C),X\mapsto h_{X}:=\operatorname {Hom} (-,X)}. Para cualquier objetoincógnita{\displaystyle X}dedo{\displaystyle C},hincógnita{\displaystyle h_{X}}es un objeto compacto (dePreShv(do){\displaystyle {\text{PreShv}}(C)}).

En la misma línea, cualquier categoríado{\displaystyle C}puede considerarse una subcategoría completa de la categoríaIndiana(do){\displaystyle {\text{Ind}}(C)}de objetos ind endo{\displaystyle C}. Considerado como un objeto de esta categoría más amplia, cualquier objeto dedo{\displaystyle C}es compacto. De hecho, los objetos compactos deIndiana(do){\displaystyle {\text{Ind}}(C)}son precisamente los objetos dedo{\displaystyle C}(o, más precisamente, sus imágenes enIndiana(do){\displaystyle {\text{Ind}}(C)}).

No ejemplos

Categoría derivada de haces de grupos abelianos en un X no compacto

En la categoría derivada no acotada de haces de grupos abelianosD(Sh(incógnita;Ab)){\displaystyle D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}}))}para un espacio topológico no compactoincógnita{\displaystyle X}Generalmente no es una categoría generada de forma compacta. Se puede encontrar alguna evidencia de esto al considerar una cubierta abierta.U={Ui}i∈I{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}(que nunca se puede refinar a una subcubierta finita utilizando la no compacidad deincógnita{\displaystyle X}) y tomando un mapa

ϕ∈Inicio(F∙,colimi∈IZUi){\displaystyle \phi \in {\text{Hom}}({\mathcal {F}}^{\bullet },{\underset {i\in I}{\text{colim}}}\mathbb {Z} _{U_{i}})}

para algunosF∙∈Transmisión exterior(D(Sh(incógnita;Ab))){\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }\in {\text{Ob}}(D({\text{Sh}}(X;{\text{Ab}})))}. Entonces, para este mapaϕ{\displaystyle \phi }elevar a un elemento

ψ∈colimi∈I Inicio(F∙,ZUi){\displaystyle \psi \in {\underset {i\in I}{\text{colim}}}{\text{ Hom}}({\mathcal {F}}^{\bullet },\mathbb {Z} _{U_{i}})}

tendría que tener en cuenta algunosZUi{\displaystyle \mathbb {Z} _ {U_ {i}}}, lo cual no está garantizado. Demostrar esto requiere demostrar que cualquier objeto compacto tiene soporte en algún subconjunto compacto deincógnita{\displaystyle X}y luego mostrando que este subconjunto debe estar vacío. [ 3 ]

Categoría derivada de haces cuasi-coherentes en una pila de Artin

Para pilas algebraicasincógnita{\displaystyle {\mathfrak {X}}}sobre la característica positiva, la categoría derivada no acotadaDqdo(incógnita){\displaystyle D_{qc}({\mathfrak {X}})}de haces cuasi-coherentes en general no se genera de forma compacta, incluso siincógnita{\displaystyle {\mathfrak {X}}}es cuasicompacto y cuasiseparado . [ 4 ] De hecho, para la pila algebraicaBGRAMOa{\displaystyle B\mathbb {G} _{a}}, no hay objetos compactos aparte del objeto cero. Esta observación se puede generalizar al siguiente teorema: si la pilaincógnita{\displaystyle {\mathfrak {X}}}tiene un grupo estabilizadorGRAMO{\displaystyle G}de tal manera que

  1. GRAMO{\displaystyle G}se define sobre un campok{\displaystyle k}de característica positiva
  2. GRAMO¯=GRAMO⊗kk¯{\displaystyle {\overline {G}}=G\otimes _{k}{\overline {k}}}tiene un subgrupo isomorfo aGRAMOa{\displaystyle \mathbb {G} _{a}}

entonces el único objeto compacto enDqdo(incógnita){\displaystyle D_{qc}({\mathfrak {X}})}es el objeto cero. En particular, la categoría no se genera de forma compacta.

Este teorema se aplica, por ejemplo, aGRAMO=GRAMOLnorte{\displaystyle G=GL_{n}}mediante la incrustaciónGRAMOa→GRAMOLnorte{\displaystyle \mathbb {G} _{a}\to GL_{n}}enviar un puntoincógnita∈GRAMOa(S){\displaystyle x\in \mathbb {G} _{a}(S)}a la matriz identidad másincógnita{\displaystyle x}alnorte{\displaystyle n}-ésima columna de la primera fila.

Categorías generadas de forma compacta

En la mayoría de las categorías, la condición de ser compacto es bastante fuerte, por lo que la mayoría de los objetos no son compactos. Una categoríado{\displaystyle C}se genera de forma compacta si cualquier objeto puede expresarse como un colímite filtrado de objetos compactos endo{\displaystyle C}Por ejemplo, cualquier espacio vectorial V es el colímite filtrado de sus subespacios de dimensión finita (es decir, compactos). Por lo tanto, la categoría de espacios vectoriales (sobre un cuerpo fijo) es generada de forma compacta.

Las categorías que se generan de forma compacta y que además admiten todos los colímites se denominan categorías accesibles .

Relación con objetos dualizables

Para categorías C con un producto tensorial bien comportado (más formalmente, se requiere que C sea una categoría monoidal ), existe otra condición que impone algún tipo de finitud, a saber, la condición de que un objeto sea dualizable . Si la unidad monoidal en C es compacta, entonces cualquier objeto dualizable también lo es. Por ejemplo, R es compacto como R -módulo, por lo que esta observación puede aplicarse. De hecho, en la categoría de R -módulos, los objetos dualizables son los módulos proyectivos finitamente presentados , que son particularmente compactos. En el contexto de las ∞-categorías, los objetos dualizables y compactos tienden a estar más estrechamente vinculados; por ejemplo, en la ∞-categoría de complejos de R- módulos, los objetos compactos y dualizables coinciden. Este y otros ejemplos más generales donde los objetos dualizables y compactos coinciden se discuten en Ben-Zvi, Francis y Nadler (2010) .

Referencias

  1. ↑ Lurie (2009 , §5.3.4)
  2. ↑ Adámek & Rosický (1994 , Capítulo 1.A)
  3. ↑ Neeman, Amnon (2001b). "Sobre la categoría derivada de haces en una variedad" . Documenta Mathematica . 6 : 483–488 . doi : 10.4171/dm/111 .
  4. ↑ Hall, Jack; Neeman, Amnon; Rydh, David (2015-12-03). "Un resultado positivo y dos negativos para categorías derivadas de pilas algebraicas". arXiv : 1405.1888 [ math.AG ].
  • Adámek, Jiří; Rosický, Jiří (1994), Categorías accesibles y presentables a nivel local , Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511600579 , ISBN 0-521-42261-2, MR 1294136 
  • Ben-Zvi, David; Francis, John; Nadler, David (2010), "Transformadas integrales y centros de Drinfeld en geometría algebraica derivada", Journal of the American Mathematical Society , 23 (4): 909–966 , arXiv : 0805.0157 , doi : 10.1090/S0894-0347-10-00669-7 , MR 2669705 , S2CID 2202294  
  • Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), Categorías y gavillas , Springer Verlag, doi : 10.1007/3-540-27950-4 , ISBN 978-3-540-27949-5, MR 2182076 
  • Lurie, Jacob (2009), Teoría de topos superiores , Annals of Mathematics Studies, vol.  170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0, MR 2522659 
  • Neeman, Amnon (2001a), Categorías trianguladas , Annals of Mathematics Studies, vol.  148, Princeton University Press