Grupo generado de forma compacta

En matemáticas , un grupo topológico (o grupo topológico) generado de forma compacta es un grupo topológico G que es generado algebraicamente por uno de sus subconjuntos compactos . ^{[ 1 ]} Esto no debe confundirse con la noción no relacionada (ampliamente utilizada en topología algebraica ) de un espacio generado de forma compacta , es decir, aquel cuya topología es generada (en un sentido adecuado) por sus subespacios compactos.

Se dice que un grupo topológico G es compactamente generado si existe un subconjunto compacto K de G tal que

${\displaystyle \langle K\rangle =\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(K\cup K^{-1})^{n}=G.}$

Entonces, si K es simétrico, es decir K = K ^{− 1} , entonces

${\displaystyle G=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }K^{n}.}$

Esta propiedad es interesante en el caso de grupos topológicos localmente compactos , ya que los grupos topológicos generados de forma compacta localmente compactos pueden aproximarse mediante grupos de factores métricos separables y localmente compactos de G. Más precisamente, para una secuencia

Un_​

de vecindarios de identidad abierta, existe un subgrupo normal N contenido en la intersección de esa secuencia, tal que

G / N

es localmente compacta métrica separable (el teorema de Kakutani-Kodaira-Montgomery-Zippin ).