Espacio generado de forma compacta

Dejar${\displaystyle (X,T)}$sea ​​un espacio topológico , donde${\displaystyle T}$es la topología , es decir, la colección de todos los conjuntos abiertos en${\displaystyle X.}$

En la literatura existen múltiples definiciones (no equivalentes) de espacio generado de forma compacta o espacio k . Estas definiciones comparten una estructura común, que comienza con una familia adecuadamente especificada.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de mapas continuos desde algunos espacios compactos hasta${\displaystyle X.}$ Las distintas definiciones difieren en su elección de la familia.${\displaystyle {\mathcal {F}},}$como se detalla a continuación.

La topología final${\displaystyle T_{\mathcal {F}}}$en${\displaystyle X}$con respecto a la familia${\displaystyle {\mathcal {F}}}$se llama la k-ificación de${\displaystyle T.}$ Dado que todas las funciones en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$fueron continuos en${\displaystyle (X,T),}$la k-ificación de${\displaystyle T}$es más fino que (o igual a) la topología original${\displaystyle T}$. Los conjuntos abiertos en la k-ificación se llamanconjuntos k-abiertos en${\displaystyle X;}$son los conjuntos${\displaystyle U\subsetequ X}$de tal manera que${\displaystyle f^{-1}(U)}$está abierto en${\displaystyle K}$por cada${\displaystyle f:K\to X}$en${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ De manera similar, elconjuntos k-cerrados en${\displaystyle X}$son los conjuntos cerrados en su k-ificación, con una caracterización correspondiente. En el espacio${\displaystyle X,}$Todo conjunto abierto es k-abierto y todo conjunto cerrado es k-cerrado. El espacio${\displaystyle X}$junto con la nueva topología${\displaystyle T_{\mathcal {F}}}$se suele denotar${\displaystyle kX.}$^{[ 1 ]}

El espacio${\displaystyle X}$se denomina espacio generado de forma compacta o espacio k (con respecto a la familia${\displaystyle {\mathcal {F}}}$) si su topología está determinada por todos los mapas en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, en el sentido de que la topología en${\displaystyle X}$es igual a su k-ificación; equivalentemente, si cada conjunto k-abierto es abierto en${\displaystyle X,}$o si cada conjunto k-cerrado es cerrado en${\displaystyle X;}$o en resumen, si${\displaystyle kX=X.}$

En cuanto a las diferentes opciones para la familia${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, se pueden tomar todos los mapas de inclusión de ciertos subespacios de${\displaystyle X,}$por ejemplo todos los subespacios compactos, o todos los subespacios compactos de Hausdorff. Esto corresponde a elegir un conjunto${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de subespacios de${\displaystyle X.}$ El espacio${\displaystyle X}$entonces se genera de forma compacta exactamente cuando su topología es coherente con esa familia de subespacios; es decir, un conjunto${\displaystyle A\subsetequ X}$está abierto (o cerrado) en${\displaystyle X}$exactamente cuando la intersección${\displaystyle A\cap K}$está abierto (o cerrado) en${\displaystyle K}$por cada${\displaystyle K\in {\mathcal {C}}.}$ Otra opción es tomar la familia de todos los mapas continuos de espacios arbitrarios de un cierto tipo a${\displaystyle X,}$por ejemplo, todos esos mapas desde espacios compactos arbitrarios, o desde espacios compactos de Hausdorff arbitrarios.

Estas diferentes opciones para la familia de mapas continuos en${\displaystyle X}$conducen a diferentes definiciones de espacio generado de forma compacta . Además, algunos autores requieren${\displaystyle X}$Algunas definiciones incluyen un axioma de separación (como el de Hausdorff o el de Hausdorff débil ), mientras que otras no. Las definiciones de este artículo no incluirán ningún axioma de separación de este tipo.

Como nota general adicional, una condición suficiente que puede ser útil para demostrar que un espacio${\displaystyle X}$se genera de forma compacta (con respecto a${\displaystyle {\mathcal {F}}}$) es encontrar una subfamilia${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$de tal manera que${\displaystyle X}$se genera de forma compacta con respecto a${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$ Para espacios coherentes, esto equivale a demostrar que el espacio es coherente con una subfamilia de la familia de subespacios. Por ejemplo, esto proporciona una forma de demostrar que los espacios localmente compactos son generados de forma compacta.

A continuación se presentan algunas de las definiciones más utilizadas con mayor detalle, en orden creciente de especificidad.

Para los espacios de Hausdorff, las tres definiciones son equivalentes. Por lo tanto, la terminologíaEl espacio de Hausdorff generado de forma compacta es inequívoco y se refiere a un espacio generado de forma compacta (en cualquiera de las definiciones) que también esde Hausdorff.

De manera informal, un espacio cuya topología está determinada por sus subespacios compactos, o equivalentemente en este caso, por todas las aplicaciones continuas desde espacios compactos arbitrarios.

Un espacio topológico${\displaystyle X}$Se denomina espacio generado de forma compacta o espacio k si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

(1) La topología en${\displaystyle X}$es coherente con la familia de sus subespacios compactos; es decir, satisface la propiedad:

un conjunto${\displaystyle A\subsetequ X}$está abierto (o cerrado) en${\displaystyle X}$exactamente cuando la intersección${\displaystyle A\cap K}$está abierto (o cerrado) en${\displaystyle K}$para cada subespacio compacto${\displaystyle K\subseteq X.}$

(2) La topología en${\displaystyle X}$coincide con la topología final con respecto a la familia de todos los mapas continuos${\displaystyle f:K\to X}$desde todos los espacios compactos${\displaystyle K.}$

(3)${\displaystyle X}$es un espacio cociente de una suma topológica de espacios compactos.

(4)${\displaystyle X}$es un espacio cociente de un espacio débilmente localmente compacto .

Como se explica en el artículo final de topología , la condición (2) está bien definida, aunque la familia de aplicaciones continuas de espacios compactos arbitrarios no es un conjunto sino una clase propia.

La equivalencia entre las condiciones (1) y (2) se deduce del hecho de que toda inclusión de un subespacio es una aplicación continua; y por otro lado, toda aplicación continua${\displaystyle f:K\to X}$desde un espacio compacto${\displaystyle K}$tiene una imagen compacta${\displaystyle f(K)}$y por lo tanto factores a través de la inclusión del subespacio compacto${\displaystyle f(K)}$en${\displaystyle X.}$

De manera informal, un espacio cuya topología está determinada por todas las aplicaciones continuas desde espacios compactos de Hausdorff arbitrarios.

Un espacio topológico${\displaystyle X}$Se denomina espacio generado de forma compacta o espacio k si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

(1) La topología en${\displaystyle X}$coincide con la topología final con respecto a la familia de todos los mapas continuos${\displaystyle f:K\to X}$desde todos los espacios compactos de Hausdorff${\displaystyle K.}$ En otras palabras, satisface la condición:

un conjunto${\displaystyle A\subsetequ X}$está abierto (o cerrado) en${\displaystyle X}$exactamente cuando${\displaystyle f^{-1}(A)}$está abierto (o cerrado) en${\displaystyle K}$para cada espacio compacto de Hausdorff${\displaystyle K}$y cada mapa continuo${\displaystyle f:K\to X.}$

(2)${\displaystyle X}$es un espacio cociente de una suma topológica de espacios compactos de Hausdorff.

(3)${\displaystyle X}$es un espacio cociente de un espacio de Hausdorff localmente compacto .

Como se explica en el artículo final de topología , la condición (1) está bien definida, aunque la familia de aplicaciones continuas de espacios de Hausdorff compactos arbitrarios no es un conjunto sino una clase propia. ^{[ 5 ]}

Todo espacio que satisface la Definición 2 también satisface la Definición 1. Lo contrario no es cierto. Por ejemplo, la compactificación de un punto del espacio de Arens-Fort es compacta y, por lo tanto, satisface la Definición 1, pero no satisface la Definición 2.

La definición 2 es la más utilizada en topología algebraica. Esta definición suele combinarse con la propiedad débil de Hausdorff para formar la categoría CGWH de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta .

De manera informal, un espacio cuya topología está determinada por sus subespacios compactos de Hausdorff.

Un espacio topológico${\displaystyle X}$Se denomina espacio generado de forma compacta o espacio k si su topología es coherente con la familia de sus subespacios compactos de Hausdorff; es decir, satisface la propiedad:

un conjunto${\displaystyle A\subsetequ X}$está abierto (o cerrado) en${\displaystyle X}$exactamente cuando la intersección${\displaystyle A\cap K}$está abierto (o cerrado) en${\displaystyle K}$para cada subespacio compacto de Hausdorff${\displaystyle K\subseteq X.}$

Todo espacio que satisface la Definición 3 también satisface la Definición 2. Lo contrario no es cierto. Por ejemplo, el espacio de Sierpiński${\displaystyle X=\{0,1\}}$con topología${\displaystyle \{\emptyset ,\{1\},X\}}$no satisface la Definición 3, porque sus subespacios compactos de Hausdorff son los singletons.${\displaystyle \{0\}}$y${\displaystyle \{1\}}$y la topología coherente que inducen sería la topología discreta en su lugar. Por otro lado, satisface la Definición 2 porque es homeomorfa al espacio cociente del intervalo compacto.${\displaystyle [0,1]}$obtenido al identificar todos los puntos en${\displaystyle (0,1].}$

La Definición 3, por sí sola, no es tan útil como las otras dos, ya que carece de algunas de las propiedades implícitas en las demás. Por ejemplo, todo espacio cociente de un espacio que satisface la Definición 1 o la Definición 2 es un espacio del mismo tipo. Pero esto no se cumple para la Definición 3.

Sin embargo, para espacios de Hausdorff débiles, las Definiciones 2 y 3 son equivalentes. ^{[ 8 ]} Por lo tanto, la categoría CGWH también puede definirse combinando la propiedad de Hausdorff débil con la Definición 3, que puede ser más fácil de enunciar y usar que la Definición 2.

Los subespacios de un espacio generado de forma compacta no son generados de forma compacta en general, ni siquiera en el caso de Hausdorff. Por ejemplo, el espacio ordinal${\displaystyle \omega _ {1}+1=[0,\omega _ {1}]}$dónde${\displaystyle \omega _{1}}$es el primer ordinal no numerable es compacto de Hausdorff, por lo tanto, generado de forma compacta. Su subespacio con todos los ordinales límite excepto${\displaystyle \omega _{1}}$removedo es isomorfo al espacio Fortissimo , que no es compacto generado (como se menciona en la sección Ejemplos, es anticompacto y no discreto). ^{[ 16 ]} Otro ejemplo es el espacio Arens, ^{[ 17 ] [ 18 ]} que es secuencial Hausdorff, por lo tanto compacto generado. Contiene como subespacio el espacio Arens-Fort , que no es compacto generado.

En un espacio CG-1, todo conjunto cerrado es CG-1. Esto no se aplica a los conjuntos abiertos. Por ejemplo, como se muestra en la sección de Ejemplos, existen muchos espacios que no son CG-1, pero son abiertos en su compactificación de un punto , que sí es CG-1.

En un espacio CG-2${\displaystyle X,}$Todo conjunto cerrado es CG-2; y también lo es todo conjunto abierto (porque existe una función cociente).${\displaystyle q:Y\to X}$para algunos espacios Hausdorff compactos a nivel local${\displaystyle Y}$y para un conjunto abierto${\displaystyle U\subsetequ X}$la restricción de${\displaystyle q}$a${\displaystyle q^{-1}(U)}$(también es una aplicación cociente en un espacio de Hausdorff localmente compacto). Lo mismo es cierto de forma más general para todo conjunto localmente cerrado , es decir, la intersección de un conjunto abierto y un conjunto cerrado. ^{[ 19 ]}

En un espacio CG-3, todo conjunto cerrado es CG-3.

La unión disjunta${\displaystyle {\coprod }_{i}X_{i}}$de una familia${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$de espacios topológicos es CG-1 si y solo si cada espacio${\displaystyle X_{i}}$es CG-1. Las afirmaciones correspondientes también son válidas para CG-2 ^{[ 20 ] [ 21 ]} y CG-3.

Un espacio cociente de un espacio CG-1 es CG-1. ^{[ 22 ]} En particular, todo espacio cociente de un espacio débilmente localmente compacto es CG-1. Recíprocamente, todo espacio CG-1${\displaystyle X}$es el espacio cociente de un espacio débilmente localmente compacto, que puede tomarse como la unión disjunta de los subespacios compactos de${\displaystyle X.}$^{[ 22 ]}

Un espacio cociente de un espacio CG-2 es CG-2. ^{[ 23 ]} En particular, todo espacio cociente de un espacio de Hausdorff localmente compacto es CG-2. Recíprocamente, todo espacio CG-2 es el espacio cociente de un espacio de Hausdorff localmente compacto. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

Un espacio cociente de un espacio CG-3 no es CG-3 en general. De hecho, todo espacio CG-2 es un espacio cociente de un espacio CG-3 (es decir, algún espacio de Hausdorff localmente compacto); pero hay espacios CG-2 que no son CG-3. Por ejemplo, el espacio de Sierpiński no es CG-3, pero es homeomorfo al cociente del intervalo compacto.${\displaystyle [0,1]}$obtenido mediante la identificación${\displaystyle (0,1]}$hasta cierto punto.

En términos más generales, cualquier topología final en un conjunto inducida por una familia de funciones de espacios CG-1 también es CG-1. Lo mismo ocurre con CG-2. Esto se deduce al combinar los resultados anteriores para uniones disjuntas y espacios cociente, junto con el comportamiento de las topologías finales bajo la composición de funciones.

La suma de cuñas de espacios CG-1 es CG-1. Lo mismo ocurre con CG-2. Esto también es una aplicación de los resultados anteriores para uniones disjuntas y espacios cociente.

El producto de dos espacios generados de forma compacta no tiene por qué ser generado de forma compacta, incluso si ambos espacios son de Hausdorff y secuenciales . Por ejemplo, el espacio${\displaystyle X=\mathbb {R} \setminus \{1,1/2,1/3,\ldots \}}$con la topología de subespacio de la recta real es primero numerable ; el espacio${\displaystyle Y=\mathbb {R} /\{1,2,3,\ldots \}}$con la topología cociente de la recta real con los enteros positivos identificados a un punto es secuencial. Ambos espacios son generados de Hausdorff de forma compacta, pero su producto${\displaystyle X\times Y}$no se genera de forma compacta. ^{[ 26 ]}

Sin embargo, en algunos casos el producto de dos espacios generados de forma compacta también es generado de forma compacta:

• El producto de dos espacios numerables de primer orden es numerable de primer orden, por lo tanto CG-2.
• El producto de un espacio CG-1 y un espacio localmente compacto es CG-1. ^{[ 27 ]} (Aquí, localmente compacto se entiende en el sentido de la condición (3) del artículo correspondiente, es decir, cada punto tiene una base local de vecindades compactas).
• El producto de un espacio CG-2 y un espacio de Hausdorff localmente compacto es CG-2. ^{[ 28 ] [ 29 ]}

Cuando se trabaja en una categoría de espacios generados de forma compacta (como todos los espacios CG-1 o todos los espacios CG-2), la topología de producto habitual en${\displaystyle X\times Y}$En general, no se genera de forma compacta, por lo que no puede servir como producto categórico . Pero su k-ificación...${\displaystyle k(X\times Y)}$pertenece a la categoría esperada y es el producto categórico. ^{[ 30 ] [ 31 ]}

Las funciones continuas en espacios generados de forma compacta son aquellas que se comportan bien en subconjuntos compactos. Más precisamente, sea${\displaystyle f:X\to Y}$Sea una función de un espacio topológico a otro y supongamos que el dominio${\displaystyle X}$es compacto generado según una de las definiciones de este artículo. Dado que los espacios compactos generados se definen en términos de una topología final , se puede expresar la continuidad de${\displaystyle f}$en términos de la continuidad de la composición de${\displaystyle f}$con los distintos mapas de la familia utilizados para definir la topología final. Los detalles son los siguientes.

Si${\displaystyle X}$es CG-1, la función${\displaystyle f}$es continua si y solo si la restricción${\displaystyle f\vert _{K}:K\to Y}$es continuo para cada compacto${\displaystyle K\subseteq X.}$^{[ 32 ]}

Si${\displaystyle X}$es CG-2, la función${\displaystyle f}$es continua si y solo si la composición${\displaystyle f\circ u:K\to Y}$es continuo para cada espacio compacto de Hausdorff${\displaystyle K}$y mapa continuo${\displaystyle u:K\to X.}$^{[ 33 ]}

Si${\displaystyle X}$es CG-3, la función${\displaystyle f}$es continua si y solo si la restricción${\displaystyle f\vert _{K}:K\to Y}$es continuo para cada Hausdorff compacto${\displaystyle K\subseteq X.}$

Para espacios topológicos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y,}$dejar${\displaystyle C(X,Y)}$denotemos el espacio de todas las aplicaciones continuas desde${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$topologizada por la topología compacta-abierta . Si${\displaystyle X}$es CG-1, los componentes de la ruta en${\displaystyle C(X,Y)}$son precisamente las clases de equivalencia homotópica . ^{[ 34 ]}