Hispanopedia WikiEn matemáticas , en particular en geometría algebraica , una variedad algebraica completa es una variedad algebraica X , tal que para cualquier variedad Y el morfismo de proyección
es un mapa cerrado (es decir, mapea conjuntos cerrados sobre conjuntos cerrados). [a] Esto puede verse como un análogo de la compacidad en geometría algebraica: un espacio topológico X es compacto si y solo si el mapa de proyección anterior está cerrado con respecto a los productos topológicos.
La imagen de una variedad completa está cerrada y es una variedad completa. Una subvariedad cerrada de una variedad completa es completa.
Una variedad compleja es completa si y sólo si es compacta como una variedad analítica-compleja .
El ejemplo más común de una variedad completa es una variedad proyectiva , pero existen variedades completas no proyectivas en dimensiones 2 y superiores. Si bien cualquier superficie no singular completa es proyectiva, [1] existen variedades completas no singulares en dimensión 3 y superiores que no son proyectivas. [2] Los primeros ejemplos de variedades completas no proyectivas fueron dados por Masayoshi Nagata [2] y Heisuke Hironaka . [3] Un espacio afín de dimensión positiva no es completo.
El morfismo que lleva una variedad completa a un punto es un morfismo propio , en el sentido de la teoría de esquemas . Una justificación intuitiva de "completo", en el sentido de "sin puntos faltantes", se puede dar sobre la base del criterio valorativo de propiedad , que se remonta a Claude Chevalley .
Véase también
Notas
- ^ Aquí la variedad de producto X × Y no lleva la topología de producto , en general; la topología de Zariski sobre ella tendrá conjuntos más cerrados (excepto en casos muy simples). Véase también incrustación de Segre .
Referencias
- ^ Zariski, Oscar (1958). "Introducción al problema de los modelos mínimos en la teoría de superficies algebraicas". American Journal of Mathematics . 80 : 146–184. doi :10.2307/2372827. JSTOR 2372827.
- ^ ab Nagata, Masayoshi (1958). "Teoremas de existencia para variedades algebraicas completas no proyectivas". Illinois J. Math . 2 : 490–498. doi : 10.1215/ijm/1255454111 .
- ^ Hironaka, Heisuke (1960). Sobre la teoría de la explosión birracional (tesis). Universidad de Harvard.
Fuentes
- Sección II.4 de Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr. 0463157
- Capítulo 7 de Milne, James S. (2009), Geometría algebraica, v. 5.20 , consultado el 4 de agosto de 2010
- Sección I.9 de Mumford, David (1999), El libro rojo de variedades y esquemas , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1358 (segunda edición ampliada), Springer-Verlag , doi :10.1007/b62130, ISBN 978-3-540-63293-1
- Danilov, VI (2001) [1994], "Variedad algebraica completa", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Hartshorne, Robin (1977). "Apéndice B. Ejemplo 3.4.1. (Fig.24)". Geometría algebraica. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 52. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-90244-9.MR 0463157.Zbl 0367.14001 .