Espacio uniforme

Esta definición adapta la presentación de un espacio topológico en términos de sistemas de vecindad . Una colección no vacía${\displaystyle \Phi }$de subconjuntos de${\displaystyle X\times X}$es unestructura uniforme (o unauniformidad ) si satisface los siguientes axiomas:

1. Si${\displaystyle U\in \Phi }$entonces${\displaystyle \Delta \subseteq U,}$dónde${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$es la diagonal en${\displaystyle X\times X.}$
2. Si${\displaystyle U\in \Phi }$y${\displaystyle U\subseteq V\subseteq X\times X}$entonces${\displaystyle V\in \Phi .}$
3. Si${\displaystyle U\in \Phi }$y${\displaystyle V\in \Phi }$entonces${\displaystyle U\cap V\in \Phi .}$
4. Si${\displaystyle U\in \Phi }$entonces hay algo${\displaystyle V\in \Phi }$de tal manera que${\displaystyle V\circ V\subseteq U}$, dónde${\displaystyle V\circ V}$denota el compuesto de${\displaystyle V}$consigo mismo. El compuesto de dos subconjuntos${\displaystyle V}$y${\displaystyle U}$de${\displaystyle X\times X}$se define por$${\displaystyle V\circ U=\{(x,z)~:~{\text{ there exists }}y\in X\,{\text{ such that }}\,(x,y)\in U\wedge (y,z)\in V\,\}.}$$
5. Si${\displaystyle U\in \Phi }$entonces${\displaystyle U^{-1}\in \Phi ,}$dónde${\displaystyle U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}}$es lo inverso de${\displaystyle U.}$

La no vacuidad de${\displaystyle \Phi }$tomado en conjunto con (2) y (3) establece que${\displaystyle \Phi }$es un filtro en${\displaystyle X\times X.}$Si se omite la última propiedad, llamamos al espaciocuasiuniforme . Un elemento${\displaystyle U}$de${\displaystyle \Phi }$se llama uncercanía oséquito proviene de lapalabrafrancesaalrededores.

Normalmente uno escribe${\displaystyle U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),}$dónde${\displaystyle U\cap (\{x\}\times X)}$es la sección transversal vertical de${\displaystyle U}$y${\displaystyle \operatorname {pr} _{2}}$es la proyección canónica sobre la segunda coordenada. En un gráfico, un entorno típico se dibuja como una mancha que rodea el "${\displaystyle y=x}$" diagonal; todas las diferentes${\displaystyle U[x]}$forman las secciones transversales verticales. Si${\displaystyle (x,y)\in U}$entonces uno dice que${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son${\displaystyle U}$-cerrar . De manera similar, si todos los pares de puntos en un subconjunto${\displaystyle A}$de${\displaystyle X}$son${\displaystyle U}$-cerrar (es decir, si${\displaystyle A\times A}$está contenido en${\displaystyle U}$),${\displaystyle A}$se llama${\displaystyle U}$-pequeño . Un séquito${\displaystyle U}$essimétrico si${\displaystyle (x,y)\in U}$precisamente cuando${\displaystyle (y,x)\in U}$, o equivalentemente, si${\displaystyle U^{-1}=U}$. El primer axioma establece que cada punto es${\displaystyle U}$-cerca de sí mismo para cada séquito${\displaystyle U.}$El tercer axioma garantiza que ser "ambos${\displaystyle U}$-cerrar y${\displaystyle V}$-cerca" también es una relación de cercanía en la uniformidad. El cuarto axioma establece que para cada séquito${\displaystyle U}$Hay un séquito${\displaystyle V}$que no es "más de la mitad de grande". Finalmente, el último axioma establece que la propiedad "cercanía" con respecto a una estructura uniforme es simétrica en${\displaystyle x}$y${\displaystyle y.}$

Abase de séquitos osistema fundamental de séquitos (ovecindades) de una uniformidad${\displaystyle \Phi }$es cualquier conjunto${\displaystyle {\mathcal {B}}}$de séquitos de${\displaystyle \Phi }$de tal manera que cada séquito de${\displaystyle \Phi }$contiene un conjunto perteneciente a${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$Así, por la propiedad 2 anterior, un sistema fundamental de séquitos${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es suficiente para especificar la uniformidad${\displaystyle \Phi }$inequívocamente:${\displaystyle \Phi }$es el conjunto de subconjuntos de${\displaystyle X\times X}$que contienen un conjunto de${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$Todo espacio uniforme posee un sistema fundamental de entornos formado por entornos simétricos.

La intuición sobre las uniformidades viene dada por el ejemplo de los espacios métricos : si${\displaystyle (X,d)}$es un espacio métrico, los conjuntos $${\displaystyle U_{a}=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)\leq a\}\quad {\text{where}}\quad a>0}$$ formar un sistema fundamental de séquitos para la estructura uniforme estándar de${\displaystyle X.}$Entonces${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son${\displaystyle U_{a}}$-cerrar precisamente cuando la distancia entre${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$es como máximo${\displaystyle a.}$

Una uniformidad${\displaystyle \Phi }$es más fino que otra uniformidad${\displaystyle \Psi }$en el mismo conjunto si${\displaystyle \Phi \supseteq \Psi$ ;} en ese caso${\displaystyle \Psi }$Se dice que es más grueso que${\displaystyle \Phi .}$

Los espacios uniformes pueden definirse de forma alternativa y equivalente utilizando sistemas de pseudométricas , un enfoque particularmente útil en el análisis funcional (con pseudométricas proporcionadas por seminormas ). Más precisamente, sea${\displaystyle f:X\times X\to \mathbb {R} }$ser una pseudométrica en un conjunto${\displaystyle X.}$Las imágenes inversas${\displaystyle U_{a}=f^{-1}([0,a])}$para${\displaystyle a>0}$Se puede demostrar que forman un sistema fundamental de entornos de uniformidad. La uniformidad generada por la${\displaystyle U_{a}}$es la uniformidad definida por la única pseudométrica${\displaystyle f.}$Algunos autores llaman espacios de calibre a aquellos cuya topología se define en términos de pseudométricas .

Para una familia${\displaystyle \left(f_{i}\right)}$de pseudométricas en${\displaystyle X,}$La estructura uniforme definida por la familia es el límite superior mínimo de las estructuras uniformes definidas por las pseudométricas individuales.${\displaystyle f_{i}.}$Un sistema fundamental de entornos de esta uniformidad viene dado por el conjunto de intersecciones finitas de entornos de las uniformidades definidas por las pseudométricas individuales.${\displaystyle f_{i}.}$ If the family of pseudometrics is finite, it can be seen that the same uniform structure is defined by a single pseudometric, namely the upper envelope${\displaystyle \sup _{}f_{i}}$ of the family.

Less trivially, it can be shown that a uniform structure that admits a countable fundamental system of entourages (hence in particular a uniformity defined by a countable family of pseudometrics) can be defined by a single pseudometric. A consequence is that any uniform structure can be defined as above by a (possibly uncountable) family of pseudometrics (see Bourbaki: General Topology Chapter IX §1 no. 4).

A uniform space${\displaystyle (X,\Theta )}$ is a set ${\displaystyle X}$ equipped with a distinguished family of coverings ${\displaystyle \Theta ,}$ called "uniform covers", drawn from the set of coverings of ${\displaystyle X,}$ that form a filter when ordered by star refinement. One says that a cover ${\displaystyle \mathbf {P} }$ is a star refinement of cover ${\displaystyle \mathbf {Q} ,}$ written ${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} ,}$ if for every ${\displaystyle A\in \mathbf {P} ,}$ there is a ${\displaystyle U\in \mathbf {Q} }$ such that if ${\displaystyle A\cap B\neq \varnothing ,B\in \mathbf {P} ,}$ then ${\displaystyle B\subseteq U.}$ Axiomatically, the condition of being a filter reduces to:

1. ${\displaystyle \{X\}}$ is a uniform cover (that is, ${\displaystyle \{X\}\in \Theta }$).
2. If ${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} }$ with ${\displaystyle \mathbf {P} }$ a uniform cover and ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ a cover of ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ is also a uniform cover.
3. If ${\displaystyle \mathbf {P} }$ and ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ are uniform covers then there is a uniform cover ${\displaystyle \mathbf {R} }$ that star-refines both ${\displaystyle \mathbf {P} }$ and ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

Given a point ${\displaystyle x}$ and a uniform cover ${\displaystyle \mathbf {P} ,}$ one can consider the union of the members of ${\displaystyle \mathbf {P} }$ that contain ${\displaystyle x}$ as a typical neighbourhood of ${\displaystyle x}$ of "size" ${\displaystyle \mathbf {P} ,}$ and this intuitive measure applies uniformly over the space.

Given a uniform space in the entourage sense, define a cover ${\displaystyle \mathbf {P} }$ to be uniform if there is some entourage ${\displaystyle U}$ such that for each ${\displaystyle x\in X,}$ there is an ${\displaystyle A\in \mathbf {P} }$ such that ${\displaystyle U[x]\subseteq A.}$ These uniform covers form a uniform space as in the second definition. Conversely, given a uniform space in the uniform cover sense, the supersets of ${\displaystyle \bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},}$ as ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ranges over the uniform covers, are the entourages for a uniform space as in the first definition. Moreover, these two transformations are inverses of each other. ^[1]

Un espacio topológico se llamaUniformizable si existe una estructura uniforme compatible con la topología.

Todo espacio uniformizable es un espacio topológico completamente regular . Además, para un espacio uniformizable${\displaystyle X}$Los siguientes son equivalentes:

• ${\displaystyle X}$es un espacio de Kolmogorov
• ${\displaystyle X}$es un espacio Hausdorff
• ${\displaystyle X}$es un espacio Tychonoff
• Para cualquier estructura uniforme compatible, la intersección de todos los entornos es la diagonal${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}.}$

Algunos autores (por ejemplo, Engelking) añaden esta última condición directamente en la definición de un espacio uniformizable.

La topología de un espacio uniformizable es siempre una topología simétrica ; es decir, el espacio es un espacio R ₀ .

Por el contrario, cada espacio completamente regular es uniformizable. Una uniformidad compatible con la topología de un espacio completamente regular.${\displaystyle X}$puede definirse como la uniformidad más gruesa que hace que todas las funciones continuas de valor real en${\displaystyle X}$uniformemente continuo. Un sistema fundamental de entornos para esta uniformidad viene dado por todas las intersecciones finitas de conjuntos.${\displaystyle (f\times f)^{-1}(V),}$dónde${\displaystyle f}$es una función continua de valor real en${\displaystyle X}$y${\displaystyle V}$es un séquito del espacio uniforme${\displaystyle \mathbf {R} .}$Esta uniformidad define una topología, que es claramente más gruesa que la topología original de${\displaystyle X;}$que también sea más fina que la topología original (y por lo tanto coincida con ella) es una simple consecuencia de la regularidad completa: para cualquier${\displaystyle x\in X}$y un vecindario${\displaystyle X}$de${\displaystyle x,}$Hay una función continua de valor real.${\displaystyle f}$con${\displaystyle f(x)=0}$y es igual a 1 en el complemento de${\displaystyle V.}$

En particular, un espacio de Hausdorff compacto es uniformizable. De hecho, para un espacio de Hausdorff compacto${\displaystyle X}$el conjunto de todos los vecindarios de la diagonal en${\displaystyle X\times X}$forman la uniformidad única compatible con la topología.

Un espacio uniforme de Hausdorff es metrizable si su uniformidad puede definirse mediante una familia numerable de pseudométricas. De hecho, como se mencionó anteriormente , dicha uniformidad puede definirse mediante una única pseudométrica, que necesariamente es una métrica si el espacio es de Hausdorff. En particular, si la topología de un espacio vectorial es de Hausdorff y se puede definir mediante una familia numerable de seminormas , es metrizable.

Al igual que con los espacios métricos, cada espacio uniforme${\displaystyle X}$tiene unCompletitud de Hausdorff : es decir, existe un espacio uniforme de Hausdorff completo.${\displaystyle Y}$y un mapa uniformemente continuo${\displaystyle i:X\to Y}$(si${\displaystyle X}$es un espacio uniforme de Hausdorff entonces${\displaystyle i}$es una incrustación topológica ) con la siguiente propiedad:

para cualquier mapeo uniformemente continuo${\displaystyle f}$de${\displaystyle X}$en un espacio uniforme Hausdorff completo${\displaystyle Z,}$Hay un mapa único uniformemente continuo${\displaystyle g:Y\to Z}$de tal manera que${\displaystyle f=gi.}$

La finalización de Hausdorff${\displaystyle Y}$es único salvo isomorfismo. Como conjunto,${\displaystyle Y}$puede tomarse que consiste en los filtros de Cauchy mínimos en${\displaystyle X.}$A medida que el filtro del vecindario${\displaystyle \mathbf {B} (x)}$de cada punto${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$es un filtro de Cauchy mínimo, el mapa${\displaystyle i}$puede definirse mediante mapeo${\displaystyle x}$a${\displaystyle \mathbf {B} (x).}$El mapa${\displaystyle i}$Así definida, en general no es inyectiva; de hecho, la gráfica de la relación de equivalencia${\displaystyle i(x)=i(x')}$es la intersección de todos los séquitos de${\displaystyle X,}$y por lo tanto${\displaystyle i}$es inyectivo precisamente cuando${\displaystyle X}$es Hausdorff.

La estructura uniforme en${\displaystyle Y}$se define de la siguiente manera: para cadaséquito simétrico${\displaystyle V}$(es decir, de tal manera que${\displaystyle (x,y)\in V}$implica${\displaystyle (y,x)\in V}$), dejar${\displaystyle C(V)}$sea ​​el conjunto de todos los pares${\displaystyle (F,G)}$de filtros de Cauchy mínimos que tienen en común al menos uno${\displaystyle V}$-conjunto pequeño . Los conjuntos${\displaystyle C(V)}$Se puede demostrar que forman un sistema fundamental de séquitos;${\displaystyle Y}$está equipado con la estructura uniforme así definida.

El conjunto${\displaystyle i(X)}$es entonces un subconjunto denso de${\displaystyle Y.}$ Si${\displaystyle X}$es Hausdorff, entonces${\displaystyle i}$ es un isomorfismo sobre${\displaystyle i(X),}$y por lo tanto${\displaystyle X}$puede identificarse con un subconjunto denso de su completitud. Además,${\displaystyle i(X)}$Siempre es Hausdorff; se llama elEspacio uniforme de Hausdorff asociado con${\displaystyle X.}$ Si${\displaystyle R}$denota la relación de equivalencia${\displaystyle i(x)=i(x'),}$entonces el espacio cociente${\displaystyle X/R}$es homeomorfo a${\displaystyle i(X).}$