Topología inicial

La topología inicial en${\displaystyle X}$puede caracterizarse por la siguiente propiedad característica: Una función${\displaystyle g}$desde algún espacio${\displaystyle Z}$a${\displaystyle X}$es continua si y solo si${\displaystyle f_{i}\circ g}$es continuo para cada${\displaystyle i\in I.}$^{[ 5 ]}

Cabe señalar que, a pesar de su apariencia similar, esta no es una propiedad universal . A continuación se ofrece una descripción categórica.

Un filtro${\displaystyle {\mathcal {B}}}$en${\displaystyle X}$converge a un punto${\displaystyle x\in X}$si y solo si el prefiltro${\displaystyle f_{i}({\mathcal {B}})}$converge a${\displaystyle f_{i}(x)}$por cada${\displaystyle i\in I.}$^{[ 5 ]}

Por la propiedad universal de la topología del producto , sabemos que cualquier familia de mapas continuos${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$determina un mapa continuo único $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f:\;&&X&&\;\to \;&\prod _{i}Y_{i}\\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}\\\end{alignedat}}}$$

Este mapa se conoce como elmapa de evaluación .

Una familia de mapas${\displaystyle \{f_{i}:X\to Y_{i}\}}$Se dice quepuntos separados en${\displaystyle X}$si para todos${\displaystyle x\neq y}$en${\displaystyle X}$existe algo${\displaystyle i}$de tal manera que${\displaystyle f_{i}(x)\neq f_{i}(y).}$La familia${\displaystyle \{f_{i}\}}$separa puntos si y solo si el mapa de evaluación asociado${\displaystyle f}$es inyectivo .

El mapa de evaluación${\displaystyle f}$será una incrustación topológica si y solo si${\displaystyle X}$tiene la topología inicial determinada por los mapas${\displaystyle \{f_{i}\}}$y esta familia de mapas separa puntos en${\displaystyle X.}$

Si${\displaystyle X}$tiene la topología inicial inducida por${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$y si cada${\displaystyle Y_{i}}$es Hausdorff, entonces${\displaystyle X}$es un espacio de Hausdorff si y solo si estos mapas separan puntos en${\displaystyle X.}$^{[ 4 ]}

Si${\displaystyle X}$tiene la topología inicial inducida por la${\displaystyle I}$-familia indexada de mapeos${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$y si por cada${\displaystyle i\in I,}$la topología en${\displaystyle Y_{i}}$es la topología inicial inducida por alguna${\displaystyle J_{i}}$-familia indexada de mapeos${\displaystyle \left\{g_{j}:Y_{i}\to Z_{j}\right\}}$(como${\displaystyle j}$abarca${\displaystyle J_{i}}$), entonces la topología inicial en${\displaystyle X}$inducido por${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$es igual a la topología inicial inducida por la${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}J_{i}}}$-familia indexada de mapeos${\displaystyle \left\{g_{j}\circ f_{i}:X\to Z_{j}\right\}}$como${\displaystyle i}$abarca${\displaystyle I}$y${\displaystyle j}$abarca${\displaystyle J_{i}.}$^{[ 6 ]} A continuación se presentan varios corolarios importantes de este hecho.

En particular, si${\displaystyle S\subseteq X}$entonces la topología del subespacio que${\displaystyle S}$hereda de${\displaystyle X}$es igual a la topología inicial inducida por el mapa de inclusión${\displaystyle S\to X}$(definido por${\displaystyle s\mapsto s}$). En consecuencia, si${\displaystyle X}$tiene la topología inicial inducida por${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$entonces la topología del subespacio que${\displaystyle S}$hereda de${\displaystyle X}$es igual a la topología inicial inducida en${\displaystyle S}$por las restricciones${\displaystyle \left\{\left.f_{i}\right|_{S}:S\to Y_{i}\right\}}$del${\displaystyle f_{i}}$a${\displaystyle S.}$^{[ 5 ]}

La topología del producto en${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}}$es igual a la topología inicial inducida por las proyecciones canónicas${\displaystyle \operatorname {pr} _{i}:\left(x_{k}\right)_{k\in I}\mapsto x_{i}}$como${\displaystyle i}$abarca${\displaystyle I.}$^{[ 5 ]} En consecuencia, la topología inicial en${\displaystyle X}$inducido por${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$es igual a la imagen inversa de la topología del producto en${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}}$por el mapa de evaluación${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}\,.}$^{[ 5 ]} Además, si los mapas${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}_{i\in I}}$puntos separados en${\displaystyle X}$entonces el mapa de evaluación es un homeomorfismo sobre el subespacio${\displaystyle f(X)}$del espacio de productos${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}.}$^{[ 5 ]}

Si un espacio${\displaystyle X}$viene equipado con una topología, a menudo es útil saber si la topología en${\displaystyle X}$es la topología inicial inducida por alguna familia de mapas en${\displaystyle X.}$Esta sección proporciona una condición suficiente (pero no necesaria).

Una familia de mapas${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$separa puntos de conjuntos cerrados en${\displaystyle X}$si para todos los conjuntos cerrados${\displaystyle A}$en${\displaystyle X}$y todo${\displaystyle x\not \in A,}$existe algo${\displaystyle i}$de tal manera que $${\displaystyle f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))}$$ dónde${\displaystyle \operatorname {cl} }$denota el operador de cierre .

Teorema . Una familia de aplicaciones continuas${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$separa puntos de conjuntos cerrados si y solo si los conjuntos cilíndricos${\displaystyle f_{i}^{-1}(V),}$para${\displaystyle V}$abierto en${\displaystyle Y_{i},}$formar una base para la topología en${\displaystyle X.}$

De ello se deduce que siempre que${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$separa puntos de conjuntos cerrados, el espacio${\displaystyle X}$tiene la topología inicial inducida por los mapas${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}.}$Lo contrario no funciona, ya que, por lo general, los conjuntos de cilindros solo formarán una subbase (y no una base) para la topología inicial.

Si el espacio${\displaystyle X}$es un espacio T ₀ , entonces cualquier colección de mapas${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$que separa puntos de conjuntos cerrados en${\displaystyle X}$También deben separarse los puntos. En este caso, el mapa de evaluación será una incrustación.

Si${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}}$es una familia de estructuras uniformes en${\displaystyle X}$indexado por${\displaystyle I\neq \varnothing ,}$entonces el límite superior mínimo estructura uniforme de${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}}$es la estructura uniforme más gruesa en${\displaystyle X}$que es más fino que cada uno${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}.}$Este uniforme siempre existe y es igual al filtro en${\displaystyle X\times X}$generado por la subbase del filtro${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}{\mathcal {U}}_{i}}.}$^{[ 7 ]} Si${\displaystyle \tau _{i}}$es la topología en${\displaystyle X}$inducido por la estructura uniforme${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$luego la topología en${\displaystyle X}$asociado con la estructura uniforme de límite superior mínimo es igual a la topología de límite superior mínimo de${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}.}$^{[ 7 ]}

Ahora supongamos que${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$es una familia de mapas y para cada${\displaystyle i\in I,}$dejar${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ser una estructura uniforme en${\displaystyle Y_{i}.}$Luego, la estructura uniforme inicial de la${\displaystyle Y_{i}}$por las asignaciones${\displaystyle f_{i}}$es la estructura uniforme más gruesa única${\displaystyle {\mathcal {U}}}$en${\displaystyle X}$haciendo todo${\displaystyle f_{i}:\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(Y_{i},{\mathcal {U}}_{i}\right)}$uniformemente continua . ^{[ 7 ]} Es igual a la estructura uniforme de límite superior más baja de la${\displaystyle I}$-familia indexada de estructuras uniformes${\displaystyle f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)}$(para${\displaystyle i\in I}$). ^{[ 7 ]} La topología en${\displaystyle X}$inducido por${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es la topología más gruesa en${\displaystyle X}$de tal manera que cada${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$es continuo. ^{[ 7 ]} La estructura uniforme inicial${\displaystyle {\mathcal {U}}}$también es igual a la estructura uniforme más gruesa tal que las aplicaciones identidad${\displaystyle \operatorname {id}$ :\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(X,f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)\right)} son uniformemente continuas. ^{[ 7 ]}

Hausdorffness : La topología en${\displaystyle X}$inducido por la estructura uniforme inicial${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es Hausdorff si y solo si para siempre${\displaystyle x,y\in X}$son distintos (${\displaystyle x\neq y}$) entonces existe algún${\displaystyle i\in I}$y algunos séquitos${\displaystyle V_{i}\in {\mathcal {U}}_{i}}$de${\displaystyle Y_{i}}$de tal manera que${\displaystyle \left(f_{i}(x),f_{i}(y)\right)\not \in V_{i}.}$^{[ 7 ]} Además, si para cada índice${\displaystyle i\in I,}$la topología en${\displaystyle Y_{i}}$inducido por${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$es Hausdorff entonces la topología en${\displaystyle X}$inducido por la estructura uniforme inicial${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es Hausdorff si y solo si los mapas${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$puntos separados en${\displaystyle X}$^{[ 7 ]} (o equivalentemente, si y solo si elmapa de evaluación${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}}$es inyectivo)

Continuidad uniforme : Si${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es la estructura uniforme inicial inducida por los mapeos${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\},}$luego una función${\displaystyle g}$desde algún espacio uniforme${\displaystyle Z}$en${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$es uniformemente continua si y solo si${\displaystyle f_{i}\circ g:Z\to Y_{i}}$es uniformemente continuo para cada${\displaystyle i\in I.}$^{[ 7 ]}

Filtro de Cauchy : Un filtro${\displaystyle {\mathcal {B}}}$en${\displaystyle X}$es un filtro de Cauchy en${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$si y solo si${\displaystyle f_{i}\left({\mathcal {B}}\right)}$es un prefiltro Cauchy en${\displaystyle Y_{i}}$por cada${\displaystyle i\in I.}$^{[ 7 ]}

Transitividad de la estructura uniforme inicial : Si se reemplaza la palabra "topología" por "estructura uniforme" en la afirmación de " transitividad de la topología inicial " dada anteriormente, entonces la afirmación resultante también será verdadera.