Espacio totalmente medible

En matemáticas , un espacio completamente metrizable ^{[ 1 ]} ( espacio topológicamente completo métrico ^{[ 2 ]} ) es un espacio topológico ( X , T ) para el cual existe al menos una métrica d en X tal que ( X , d ) es un espacio métrico completo y d induce la topología T. Es, como tal, un caso especial de espacio metrizable .

El término espacio topológicamente completo es empleado por algunos autores como sinónimo de espacio completamente metrizable , ^{[ 3 ]} pero a veces también se utiliza para otras clases de espacios topológicos, como espacios completamente uniformizables ^{[ 4 ]} o espacios Čech-completos .

La distinción entre un espacio completamente metrizable y un espacio métrico completo radica en la expresión « existe al menos una métrica» en la definición de espacio completamente metrizable, lo cual no es lo mismo que « se da una métrica» (esto último daría lugar a la definición de espacio métrico completo). Una vez que elegimos la métrica en un espacio completamente metrizable (de entre todas las métricas completas compatibles con la topología), obtenemos un espacio métrico completo. En otras palabras, la categoría de espacios completamente metrizables es una subcategoría de la de espacios topológicos, mientras que la categoría de espacios métricos completos no lo es (en cambio, es una subcategoría de la categoría de espacios métricos). La metrizabilidad completa es una propiedad topológica, mientras que la completitud es una propiedad de la métrica. ^{[ 5 ]}

• El espacio (0,1) ⊂ R , el intervalo unitario abierto, no es un espacio métrico completo con su métrica usual heredada de R , pero es completamente metrizable ya que es homeomorfo a R . ^{[ 6 ]}
• El espacio Q de números racionales con la topología de subespacio heredada de R es metrizable pero no completamente metrizable. ^{[ 7 ]}

• Un espacio topológico X es completamente metrizable si y solo si X es metrizable y un G _δ en su compactificación de Stone–Čech β X . ^{[ 8 ]}
• Un subespacio de un espacio completamente metrizable X es completamente metrizable si y solo si es G _δ en X . ^{[ 9 ]}
• Un producto numerable de espacios metrizables no vacíos es completamente metrizable en la topología del producto si y solo si cada factor es completamente metrizable. ^{[ 10 ]} Por lo tanto, un producto de espacios metrizables no vacíos es completamente metrizable si y solo si como máximo numerable cantidad de factores tienen más de un punto y cada factor es completamente metrizable. ^{[ 11 ]}
• Para cada espacio metrizable existe un espacio completamente metrizable que lo contiene como un subespacio denso, ya que cada espacio métrico tiene una completación . ^{[ 12 ]} En general, hay muchos de estos espacios completamente metrizables, ya que las completaciones de un espacio topológico con respecto a diferentes métricas compatibles con su topología pueden dar completaciones topológicamente diferentes.

Cuando hablamos de espacios con más estructura que la topología, como los grupos topológicos , el significado natural de la expresión «completamente metrizable» sería, sin duda, la existencia de una métrica completa que, además de inducir su topología, sea compatible con dicha estructura adicional. En el caso de los grupos topológicos abelianos y los espacios vectoriales topológicos , «compatible con la estructura adicional» podría significar que la métrica sea invariante bajo traslaciones.

Sin embargo, no puede surgir confusión alguna al hablar de un grupo topológico abeliano o un espacio vectorial topológico que sea completamente metrizable: se puede demostrar que todo grupo topológico abeliano (y por lo tanto también todo espacio vectorial topológico) que sea completamente metrizable como espacio topológico (es decir, que admita una métrica completa que induzca su topología) también admite una métrica completa invariante que induzca su topología. ^{[ 13 ]}

Esto implica, por ejemplo, que todo espacio vectorial topológico completamente metrizable es completo. En efecto, un espacio vectorial topológico se denomina completo si y solo si su uniformidad (inducida por su topología y la operación de adición) es completa; la uniformidad inducida por una métrica invariante a traslaciones que induce la topología coincide con la uniformidad original.

• Espacio métrico completo
• Espacio completamente uniformizable
• Espacio medible